高三数学二轮专项题组题3

作者：496532 | 发布时间：2021-01-28 13:32:38 收藏本文下载本文

2021 高三数学专项题组（3）1.已知等差数列的前项和为，且满足：，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.2 已知数列{a n }满足 a 1 +2a 2 +3a 3 +…+na n =n（n∈N*）．（1）求数列{a n }的通项公式 a n ；（2）令 b n =a n a n+2（n∈N*），Tn =b 1 +b 2 +…+b n，求证：T< ． 3.已知函数的图像经过点.（1）求函数的解析式及最大值；（2）若，求的值.4.在中，角的对边分别为，且，又成等差数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．  na nnS36 a 5 724 a a   na1nS   nnTm x x x f   2cos 2 2 sin)(π(,0)8)(x f3 2 π(),(0,)2 5 2αf α    sinABC  , , A B C , , a b c 2 a b  sin ,sin ,sin A C Bcos()B C 8 153ABCS  = c

6.在平面直角坐标系中，圆 C 的参数方程为，（t 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B 两点的极坐标分别为.（1）求圆 C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）点 P 是圆 C 上任一点，求△PAB 面积的最小值.6.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C：ρsin2 θ=2acosθ（a＞0），过点 P（﹣2，﹣4）的直线 l 的参数方程为（t为参数），l 与 C 分别交于 M，N．（1）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值． 7.某制药厂对 A、B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取 10 次，记录如下表（数值越大表示产品质量越好）：

A B（Ⅰ）画出 A、B 两种产品数据的茎叶图；若要从 A、B 中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（理）（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品 A 今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于 8.5 的次数为，求的分布列及期望．（文）（Ⅱ）在产品 A 不低于 8.3 的数据的中取 2 个数据进行检测，求恰好有 1 个数据是大7.9 9.0 8.3 7.8 8.4 8.9 9.4 8.3 8.5 8.58.2 9.5 8.1 7.5 9.2 8.5 9.0 8.5 8.0 8.5  E 

于 9.0 的概率． 8.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 1～50 名和 951～1000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系?（文）（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 2 人，求 2 人都在 1～50 的概率.（理）（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1～50 的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：

9.如图 3，在多面体中，是菱形 ABCD 的对角线与的交点，四边形都是矩形.（Ⅰ）证明：平面 ACF ⊥平面 BDEG ；（理）（Ⅱ）若，求直线与所成角的余弦值.（文）（Ⅱ）若，求多面体的体积。

X X22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d   ABCD EFG  O AC BD, ABGF ADEF120 , 2, 3 ABC AB AF     CG AE120 , 2, 3 ABC AB AF     ABCD EFG 

.x y T G P M O N 10.如图，是平行四边形，平面，,，.，分别为，的中点．（1）求证:平面 ADPE//平面 GHF；（文)（2）求多面体 ABE-DCP 的体积。

（理）（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。

11.已知椭圆 : 的一个焦点为 ,而且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为 , 是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点 ,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.12.已知函数(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调性； ABCD EA ABCD EA PD// 4 2 B    EA PD D3  AD 5  AB F G H PB EB PCFGH EBCE  2 22 21 0x ya ba b    13,0 F 13,2H   EE1 2, A A P1 2, A A1 2, PA PA x , N MOT , M N G T OT)0.()1 ln()(2    a ax x x f)(x f 0  x a)(x f

高三数学专项题组（3）1 1 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.∵，所以解得 ∴（6 分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得（8 分）所以（9 分）（11 分）（12 分）2 解：（1）∵ a 1 +2a 2 +3a 3 +…+na n =n，a 1 +2a 2 +3a 3 +…+（n﹣1）a n ﹣ 1 =n﹣1，（n＞1）两式相减得，又 a 1 =1，∴ ．（2）证明：b n =a n a n+2（n∈N *），T n =b 1 +b 2 +…+b n = + +…+，则 =（﹣ ﹣）＜． 3.解：（Ⅰ），∴，∴，所以当，即时，取最大值.(Ⅱ)，∴，∵，∴，∴，∴ 4 4..解：（Ⅰ）∵ 成等差数列，∴，{ }na1a d36 a 5 724 a a     11 12 64 6 24a da d a d       .2, 21ad2(1)2 2na n n     1()(2 2)(1)2 2nnn a a n nS n n    )1(1)1(13 212 11 1 1 1 11 2 1      n n n n S S S STn nn 1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1 1 n n n n                                      111 1nn n   ()sin2 cos2 1 f x x x m    ()sin cos 1 1 08 4 4f m m         1 m ()2sin(2)4f x x 2 24 2x k    3,8x k k   Z()f x 23 2()2sin()2 4 5f    3sin()4 5  (0)2 ，()4 4 4     ，24cos()1 sin()4 4 5       sin sin[()]4 4     2 2sin()cos()2 4 2 4      2 3 4 7 2()2 5 5 10  sin ,sin ,sin A C B sin sin 2sin A B C  

由正弦定理得，（3 分）又，可得，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得.5（1）由得消去参数 t，得，所以圆 C 的普通方程为．由，得，即，换成直角坐标系为，所以直线 l 的直角坐标方程为．（2）化为直角坐标为在直线 l 上，并且，设 P 点的坐标为，则 P 点到直线 l 的距离为，所以面积的最小值是 6 解：（1）∵，方程 ρsin2 θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以 ρ，∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2 =2ax（a＞0）；直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去 y 并整理，得 t2 ﹣2（4+a）t+8（4+a）=0（*）△=8a（4+a）＞0．设点 M，N 分别对应参数 t 1，t 2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t 1 |，|PN|=|t 2 |，|MN|=|t 1 ﹣t 2 |． 2 a b c   2 a b 23b c 2 2 22 2 224 1619 9cos22 423c c cb c aAbcc     A B C     B C A   1cos()cos()cos4B C A A       1cos4A 15sin4A 2 21 1 2 15 15sin2 2 3 4 12ABCS bc A c c    215 8 1512 3c  4 2 c 

由题设得（t 1 ﹣t 2）2 =|t1 t 2 |，即（t 1 +t 2）2 ﹣4t1 t 2 =|t 1 t 2 |．由（*）得 t 1 +t 2 =2（4+a），t 1 t 2 =8（4+a）＞0，则有（4+a）2 ﹣5（4+a）=0，得 a=1，或 a=﹣4．∵a＞0，∴a=1． 8（1）设各组的频率为，由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为所以视力在 5．0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人，故全年级视力在 5．0 以下的人数约为（2）因此在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为视力与学习成绩有关系．（3）依题意 9 人中年级名次在 1～50 名和 951～1000 名分别有 3 人和 6 人，可取 0、1、2、3，，的分布列为的数学期望 7.解：（Ⅰ）A、B 两种产品数据的茎叶图如图 ∵（3 分）（4 分）∵，∴从统计学角度考虑，生产 A 型号产品合适.（6 分） 17.8 7.9 8.3 8.3 8.4 8.5 8.5 8.9 9.0 9.4 8.510Ax            17.5 8.0 8.1 8.2 8.5 8.5 8.5 9.0 9.2 9.5 8.510Bx           216.0 ] 9.0 5.0 4.0 0 0)1.0()2.0()2.0()6.0()7.0 [(1012 2 2 2 2 2 2 2 2               As2 2 2 2 2 2 21(1)(0.5)(0.4)(0.3)0 0 0 0.5 0.7 1 0.32410Bs                  A Bx x 2 2A Bs s 

（Ⅱ）的可能取值为 0，1，2，3.（7 分）产品 A 不低于 8.5 的频率为，若将频率视为概率，则 .（8 分）所以，k =0，1，2，3.（9 分）所以的分布列为：

0 1 2 3（10 分）所以.（12 分）9 9（Ⅰ）证明：∵四边形 ABGF，ADEF 都是矩形，所以 AF AB，AF AD，（1 分）又 AB ∩ AD = A，且 AB、AD平面 ABCD，所以 AF平面 ABCD.（2 分）又平面 ABCD，∴ BD ⊥ AF.（3 分）又∵，是菱形 ABCD 的对角线，∴ BD ⊥ AC.（4 分）∵平面 ACF ,，∴ BD ⊥平面 ACF，（5 分）又∵平面 BDFG，∴平面 ACF ⊥平面 BDEG.（6 分）（Ⅱ）解：以为原点，所在直线分别为 x 轴，y 轴，平行于 AF 所在直线为 z 轴，建立如图空间直角坐标系.（7 分）5 110 2 )21, 3(B3333)21()211()21()(k k k kC C k P    P183838181 3 3 1 30 1 2 38 8 8 8 2E          BDAC BD, AF AC  AF AC A BDO , OB OC

∵ ABCD 是菱形，且 ∴ 是等边三角形，OB = OD =1，.（8 分）∵，∴ 的坐标分别为.（9 分）∴，（10 分）所以，（11 分）即直线与所成角的余弦值为.（12 分）10．解（1）(2)设的一个法向量为 ,则由得 ………7 分解得 …8 分又而，平面，为平面的一个法向量 ………10 分 ………11 分平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的余弦值为 ………12 分 11(1)解:椭圆的两个焦点分别为 , 由椭圆的定义可得 ,所以 , ,…（3 分）120 , 2, ABC AB    BCD  3   OA OC3 AF  , , , A C E G(0, 3,0),(0, 3,0),(1,0,3),(1,0,3)A C E G  (1, 3,3),(1, 3,3)CG AE    13513 139 3 1| || |, cos    AE CGAE CGAE CGCG AE513EBC平面)1 , ,(y x n   00n BEn BC   0 2 3 40 3y xy210xy)1 , 0 ,21( n0 0 0230 0 4        FH DB  FH BD  GH BD FH H GH BD   FGH BD FGH2 5cos ,5 544BD nBD nBD n   55   1 23,0 , 3,0 F F 1 27 12 | | | | 42 2a PF PF      2 a 21 b 

所以椭圆的方程为.………………………………………………4 分（2）解:由（Ⅰ）可知 ,设 , 直线 : ,令 ,得;直线 : ,令 ,得;…（6 分）则 ,…（8 分）而 ,所以 , 所以 ,…（10 分）由切割线定理得（11 分）所以 ,即线段的长度为定值.…………………………12 分 12（1）是的一个极值点，则，验证知 =0 符合条件（2）1）若 =0 时，单调递增，在单调递减； 2）若上单调递减 3）若再令在综上所述，若上单调递减，若。

若 E2214xy     1 20,1 , 0, 1 A A   0 0, P x y1PA0011yy xx  0 y 001Nxxy2PA0011yy xx  0 y 001Mxxy20 0 020 0 0| | | |1 1 1x x xOM ONy y y     220014xy    2 20 04 1 x y  2020| | | | 41xOM ONy  2| | | | 4 OT OM ON   | | 2 OT  OT 2