中考数学压轴题100题（1-10题）

2018 年中考数学压轴题 100 题精选 【001】如图，已知抛物线2(1)3 3 y a x   （a≠0）经过点(2)A ，0，抛物线的顶点为 D，过 O 作射线 OM AD ∥ ．过顶点 D平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为()t s ．问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 t()s，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长． x y M C D P Q O A B

【002】如图 16，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t = 2 时，AP =，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接．．写出 t 的值． A C B P Q E D 图 16

【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线 y=ax 2 +bx 过 A、C 两点.(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作PE⊥AB 交 AC 于点 E，①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长? ②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值。

【004】如图，已知直线12 8:3 3l y x   与直线2 :2 16 l y x    相交于点C l l1 2，、分别交 x 轴于 A B、两点．矩形 DEFG 的顶点 D E、分别在直线1 2l l、上，顶点 F G、都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合．（1）求 ABC △ 的面积；（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(0 12)t t ≤ ≤ 秒，矩形 DEFG 与 ABC △ 重叠部分的面积为 S，求 S 关 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围． A D B E O C F x y1l2l（G）（第 4 题）

【005】如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC ∥，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC ∥ 交 CD 于点 F ． 4 6 AB BC  ，60 B   ∠.（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF  交 BC 于点 M，过 M 作 MN AB ∥ 交折线 ADC 于点 N，连结 PN，设 EP x .①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），PMN △ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN △ 的周长；若改变，请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使 PMN △ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.A D E B F C 图 4（备用）A D E B F C 图 5（备用）A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M（第 25 题）

【006】如图 13，二次函数)0(2    p q px x y 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为45。

（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。

【007】如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值．

【008】如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB 的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线；（3）△DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。

【009】一次函数 y ax b   的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 , M N，与反比例函数kyx 的图象相交于点 , A B ．过点 A 分别作 AC x  轴，AE y 轴，垂足分别为 , C E ；过点 B 分别作 BF x  轴，BD y  轴，垂足分别为 F D，AC 与 BD 交于点 K，连接 CD ．（1）若点 A B，在反比例函数kyx 的图象的同一分支上，如图 1，试证明：

①AEDK CFBKS S 四边形 四边形； ② AN BM  ．（2）若点 A B，分别在反比例函数kyx 的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试证明你的结论． O C F M D E N K y x 1 1()A x y，2 2()B x y，（第 25 题图 1）O C D K F E N y x 1 1()A x y，3 3()B x y，M（第 25 题图 2）

【010】如图，抛物线23 y ax bx    与 x 轴交于 A B，两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点(2 3)a ，对称轴是直线 1 x ，顶点是 M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P A C N，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线 3 y x    与 y 轴的交点是 D，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B D，重合），经过 A B E，三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断AEF △ 的形状，并说明理由；（4）当 E 是直线 3 y x    上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． O B x y A M C 1 3 （第 10 题图）

【011】已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）F B A D C E G 第 24 题图① D F B A D C E G 第 24 题图② F B A C E 第 24 题图③

【012】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A B C D、、、四点．抛物线2y ax bx c   与 y 轴交于点 D，与直线 y x  交于点 M N、，且 MA NC、分别与圆 O相切于点 A 和点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连结 DE，并延长 DE 交圆 O 于 F，求 EF 的长．（3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由． O x y N C D E F B M A

【013】如图，抛物线经过(4 0)(10)(0 2)A B C ，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM x  轴，垂足为 M，是否存在P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与 OAC △ 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 DCA △ 的面积最大，求出点 D 的坐标． O x y A B C 4 1 2 （第 26 题图）

【014】在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x  上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y x  于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图）.（1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当 MN 和 AC平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；（3）设 MBN  的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第 26 题)O A B C M N y x  x y

【015】如图，二次函数的图象经过点 D(0，397)，且顶点 C 的横坐标为4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【016】如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A，．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m，求 m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边形OECD 的面积1S 与四边形 OABD 的面积 S 满足：123S S  ？若存在，求点 E的坐标； 若不存在，请说明理由． y x O C D B A 3 3 6

【017】如图，已知抛物线2y x bx c    经过(10)A，(0 2)B，两点，顶点为 D ．（1）求抛物线的解析式；（2）将 OAB △ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为1B，顶点为1D，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △ 的面积是1NDD △ 面积的2倍，求点 N 的坐标． y x B A O D（第 26 题）

【018】如图，抛物线24 y ax bx a    经过(10)A ，、(0 4)C，两点，与 x轴交于另一点 B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m，在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且 45 DBP   °，求点 P 的坐标． y x O A B C

【019】如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO 为边作矩形 CMNO(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由(2)令； 四边形四边形CNMNCFGHSSm ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝31，Q 为 AE 上一点且 QF＝32，抛物线y＝mx 2 +bx+c 经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx 2 +bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF。

解答下列问题：

（1）如果 AB=AC，∠BAC=90°，①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为，数量关系为。

②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。

试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（3）若 AC=4 2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值。

2018 年中考数学压轴题 100 题精选答案 【001】解：（1）抛物线2(1)3 3(0)y a x a     经过点(2 0)A ，30 9 3 33a a       ······································································································· 1 分  二次函数的解析式为：23 2 3 8 33 3 3y x x     ························································· 3 分（2）D 为抛物线的顶点(13 3)D ，过 D 作 DN OB  于 N，则3 3 DN ，2 23 3(3 3)6 60 AN AD DAO       ，° ··························································· 4 分 OM AD ∥ ① 当 AD OP  时，四边形 DAOP 是平行四边形 6 6(s)OP t     ······················································· 5 分 ② 当 DP OM  时，四边形 DAOP 是直角梯形 过 O 作 OH AD  于 H，2 AO ，则 1 AH （如果没求出 60 DAO   ° 可由 Rt Rt OHA DNA △ ∽ △ 求 1 AH ）5 5(s)OP DH t     ·········································································································· 6 分 ③ 当 PD OA  时，四边形 DAOP 是等腰梯形 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t         综上所述：当 6 t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． ···································································································································· 7 分（3）由（2）及已知，60 COB OC OB OCB    °，△ 是等边三角形 则 6 2 6 2(0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t          ，，x y M C D P Q O A B N E H

过 P 作 PE OQ  于 E，则32PE t  ··················································································· 8 分 1 1 36 3 3(6 2)2 2 2BCPQS t t         =23 3 6332 2 8t     ····································· 9 分 当32t  时，BCPQS 的面积最小值为6338 ············································································ 10 分  此时3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE       ，=，222 23 3 9 3 34 4 2PQ PE QE             ······························································ 11 分 【002】解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC 于点F，如图 3，AQ = CP= t，∴ 3 AP t   ． 由△AQF∽△ABC，2 25 3 4 BC   ，得4 5QF t ．∴45QF t  ． ∴1 4(3)2 5S t t   ，即22 65 5S t t    ．（3）能． ①当 DE∥QB 时，如图 4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得AQ APAC AB，即33 5t t  ． 解得98t  ． ②如图 5，当 PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQ APAB AC，即35 3t t  ． 解得158t  ． A C B P Q E D 图 4 A C B P Q D 图 3 E F A C B P Q E D 图 5 A C(E)B P Q D 图 6 G B Q G

（4）52t  或4514t  ． 【注：①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C． 方法一、连接 QC，作 QG⊥BC 于点G，如图 6． PC t ，2 2 2QC QG CG  2 23 4[(5)] [4(5)]5 5t t      ． 由2 2PC QC ，得2 2 23 4[(5)] [4(5)]5 5t t t     ，解得52t  ． 方法二、由 CQCP AQ  ，得QAC QCA   ，进而可得 B BCQ   ，得 CQBQ ，∴52AQ BQ  ．∴52t ． ②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7． 2 2 23 4(6)[(5)] [4(5)]5 5t t t      ，4514t 】 【003】解.(1)点 A 的坐标为（4，8）…………………1 分 将 A(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 得 a=-12,b=4 解 ∴抛物线的解析式为：y=－12x2+4x …………………3 分（2）①在 Rt△ APE 和 Rt△ ABC 中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48 ∴PE=12AP=12t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点 G 的纵坐标为：－12（4+12t）2+4(4+12t）=－18t2+8.…………………5分 ∴EG=－18t2+8-(8-t)=－18t2+t.∵-18＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.…………………7 分 ②共有三个时刻.…………………8 分 t1=163，t2=4013，t3= 8 52 5 ． …………………11 分 【004】（1）解：由2 803 3x ，得4 x A    ．点坐标为  40 ，． 由2 16 0 x   ，得8 x B   ．点坐标为  80，．∴  8 4 12 AB    ．（2分）由2 83 32 16y xy x   ，．解得56xy ，．∴ C 点的坐标为  56，．（3 分）∴1 112 6 362 2ABC CS AB y     △· ．（4 分）（2）解：∵点 D 在1l上且2 88 8 83 3D B Dx x y       ，． ∴ D 点坐标为  88，．（5 分）又 ∵ 点E在2l上 且8 2 1 6 8 4E D E Ey y x x        ，． ．∴ E 点坐标为  48，．（6 分）∴8 4 4 8 OE EF    ，．（7 分）

（3）解法一：

① 当 03 t  ≤时，如图 1，矩形 DEFG 与ABC △重叠部分为五边形 CHFGR（0 t 时，为四边形 CHFG）．过 C 作 CMAB 于M，则 RtRt RGB CMB △ ∽ △ ． ∴BG RGBM CM，即 36t RG，∴2 RG t  ． Rt Rt AFH AMC △ ∽ △，∴   1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t           △ △ △． 即24 16 443 3 3S t t     ．（10 分）【005】（1）如图 1，过点 E 作 EGBC 于点 G． 1 分 ∵ E 为 AB 的中点，∴122BE AB   ． 在 RtEBG △中，60 B   ∠，∴30 BEG   ∠ ． 2 分 ∴2 211 2 1 32BG BE EG     ，． 即点 E 到 BC 的距离为3． 3 分 A D B E O R F x y1l2l M（图 3）G C A D B E O C F x y1l2l G（图 1）R M A D B E O C F x y1l2l G（图 2）R M 图 1 A D E B F C G

（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵ PMEF EG EF  ，∴ PMEG ∥ ． ∵ EFBC ∥，∴ EPGM ，3 PM EG   ． 同理4 MN AB   ． 4 分 如图 2，过点 P 作 PHMN 于 H，∵ MNAB ∥，∴60 30 NMC B PMH      ∠ ∠，∠ ． ∴1 32 2PH PM   ． ∴3cos302MH PM    ． 则3 542 2NH MN MH      ． 在 RtPNH △中，222 25 372 2PN NH PH           ． ∴PMN △的周长=3 7 4 PM PN MN      ． 6 分 ②当点 N 在线段 DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当 PMPN 时，如图 3，作 PRMN 于 R，则 MRNR  ． 类似①，32MR  ． ∴2 3 MN MR   ． 7 分 图 2 A D E B F C P N M G H

∵MNC △是等边三角形，∴3 MC MN   ． 此时，6 1 3 2 x EP GM BC BG MC          ． 8 分 当 MPMN 时，如图 4，这时3 MC MN MP    ． 此时，6 1 3 5 3 x EP GM        ． 当 NPNM 时，如图 5，30 NPM PMN    ∠ ∠ ． 则120 PMN   ∠，又60 MNC   ∠，∴180 PNM MNC    ∠ ∠ ． 因此点 P 与 F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan30 1 MC PM    ． 此时，6 1 1 4 x EP GM       ． 综上所述，当2 x 或 4 或 5 3 时，PMN △为等腰三角形． 【006】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB= 45,得 AB=52，设 A（a,0）,B(b,0)AB=ba=2()4 a b ab  =52，解得 p=32,但 p<0,所以 p=32。

所以解析式为：2312y x x   （2）令 y=0，解 方 程 得231 02x x   ，得1 21, 22x x   , 所 以图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P）C M N G G R G

A(12,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 中可求得 AC=52,同样可求得 BC=5，显然 AC2+BC2=AB2，得△ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为 AB=52,所以5 54 4m   。

（3）存在，AC⊥BC，①若以 AC 为底边，则 BD//AC,易求 AC 的解析式为y=-2x-1,可设 BD 的解析式为 y=-2x+b，把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4，解方程组23122 4y x xy x    得 D（52，9）②若以 BC 为底边，则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b，把 A(12，0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25，解方程组23120.5 0.25y x xy x   得 D(5 3,2 2)综上，所以存在两点：（52,9）或(5 3,2 2)。

【007】

【008】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分（2）∵E 是 AB 中点，∴EB=EA 由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………………5 分 ∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。

即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分（3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分 理由如下：

由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 【009】解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴， 四边形 AEOC 为矩形． BF x ⊥轴，BD y ⊥轴， 四边形 BDOF 为矩形． AC x ⊥轴，BD y ⊥轴， 四边形 AEDKDOCK CFBK，均为矩形． 1 分 1 1 1 1OC x AC y x y k   ，，1 1 AEOCS OC AC x y k   矩形 2 2 2 2OF x FB y x y k   ，，2 2 BDOFS OF FB x y k   矩形． O C F M D E N K y x AB图 1

AEOC BDOFS S 矩形 矩形． AEDK AEOC DOCKS S S  矩形 矩形 矩形，CFBK BDOF DOCKS S S  矩形 矩形 矩形，AEDK CFBKS S 矩形 矩形． 2 分 ②由（1）知AEDK CFBKS S 矩形 矩形．  AK DKBK CK ． AK BKCK DK． 4 分 90 AKB CKD     °，AKB CKD △ ∽△． 5 分 CDK ABK   ．  ABCD ∥． 6 分 AC y ∥轴， 四边形 ACDN 是平行四边形．  ANCD ． 7 分 同理 BMCD ． AN BM  ． 8 分（2）AN 与 BM 仍然相等． 9 分 AEDK AEOC ODKCS S S  矩形 矩形 矩形，BKCF BDOF ODKCS S S  矩形 矩形 矩形，又AEOC BDOFS S k  矩形 矩形，AEDK BKCFS S 矩形 矩形． 10 分  AK DKBK CK ． CK DKAK BK． K K   ，CDK ABK △ ∽△． CDK ABK   ．  ABCD ∥． 11 分 AC y ∥轴， 四边形 ANDC 是平行四边形．  ANCD ． 同理 BMCD ．  ANBM ． 12 分 【010】解：（1）根据题意，得3 4 2 31.2a a bba     ，2 分 O C D K F E N y x ABM 图 2 y x E D N O A C P N 1 F

解得12.ab  ， 抛物线对应的函数表达式为22 3 y x x   ． 3 分（2）存在． 在22 3 y x x   中，令0 x ，得3 y  ． 令0 y ，得22 3 0 x x   ，1 21 3 x x   ，．(10)A  ，(30)B，(0 3)C ，． 又2(1)4 y x   ， 顶点(1 4)M ，． 5 分 容易求得直线 CM 的表达式是3 y x   ． 在3 y x   中，令0 y ，得3 x  ．(30)N  ，2 AN  ． 6 分 在22 3 y x x   中，令3 y  ，得1 20 2 x x  ，． 2 CP AN CP    ，． AN CP ∥， 四边形 ANCP 为平行四边形，此时(2 3)P ，． 8 分（3）AEF △是等腰直角三角形． 理由：在3 y x   中，令0 x ，得3 y ，令0 y ，得3 x ．  直线3 y x   与坐标轴的交点是(0 3)D，(30)B，． OD OB  ，45 OBD   ° ． 9 分 又 点(0 3)C ，OB OC  ．45 OBC   ° ． 10 分 由图知45 AEF ABF     °，45 AFE ABE     ° ． 11 分

90 EAF   °，且 AE AF ．AEF △是等腰直角三角形． 12分（4）当点 E 是直线3 y x   上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 【011】解：（1）证明：在 Rt△FCD 中，∵G 为 DF 的中点，∴ CG= FD．………1 分 同理，在 Rt△DEF 中，EG= FD．…………2 分∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，∵ AM=EN，MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC，……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5 分∴ 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC 为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8 分（3）（1）中的结论仍然成立，即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分 【012】解：（1）圆心 O 在坐标原点，圆 O 的半径为 1， 点 AB C D、、、的坐标分别为(10)(0 1)(10)(01)A B C D  ，、，、，、，抛物线与直线y x 交于点 MN、，且 MANC、分别与圆 O 相切于点

A 和点 C，(1 1)(11)M N  ，、，． 点D M N、、在 抛 物 线 上，将(01)(1 1)(11)D M N  ，、，、，的 坐 标 代 入2y ax bx c   ，得 ：111ca b ca b c       解之，得：111abc    抛物线的解析式为：21 y x x   ． 4 分（2）221 512 4y x x x            抛物线的对称轴为12x ，1 1 512 4 2OE DE     ，． 6 分 连结90 BF BFD  ，°，BFD EOD △ ∽△，DE ODDB FD ，又51 22DE OD DB   ，，4 55FD  ，4 5 5 3 55 2 10EF FD DE      ． 8 分（3）点 P 在抛物线上． 9 分 O x y N C D E F B M A P

设过 DC、点的直线为：y kx b  ，将点(10)(01)C D，、，的坐标代入 y kx b  ，得：1 1 k b   ， 直线 DC 为：1 y x   ． 10 分 过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x 轴平行，P 点的纵坐标为1 y  ，将1 y  代入1 y x   ，得：2 x ．  P 点的坐标为(21)，当2 x 时，2 21 2 2 1 1 y x x       ，所以，P 点在抛物线21 y x x   上． 12 分 【013】解：（1）该抛物线过点(0 2)C ， 可设该抛物线的解析式为22 y ax bx   ． 将(4 0)A，(1 0)B，代入，得16 4 2 02 0a ba b.     ，解得1252ab.  ， 此抛物线的解析式为21 522 2y x x    ．（3 分）（2）存在．（4 分）如图，设 P 点的横坐标为 m，则 P 点的纵坐标为21 522 2m m   ，当 14 m  时，O x y A B C 4 1 2 （第 26 题图）D P M E

4 AM m  ，21 522 2PM m m    ． 又90 COA PMA     °， ①当21AM AOPM OC 时，APM ACO △ ∽△，即21 54 2 22 2m m m        ． 解得1 22 4 m m  ，（舍去），(21)P ，．（6 分）② 当12A M O CP M O A 时，A P M C A O △ ∽△，即21 52(4)22 2m m m     ． 解得14 m ，25 m （均不合题意，舍去） 当 14 m  时，(2 1)P，．（7 分）类似地可求出当4 m 时，(5 2)P ，．（8 分）当1 m 时，(3 14)P  ，． 综上所述，符合条件的点 P 为(2 1)，或(52)，或(3 14) ，．（9 分）（3）如图，设 D 点的横坐标为(0 4)t t  ，则 D 点的纵坐标为21 522 2t t   ．

过 D 作y轴的平行线交AC于 E ．由题意可求得直线AC的解析式为122y x  ．（10 分）E 点 的 坐 标 为122t t   ，．2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t            ．（11分）2 2 21 12 4 4(2)42 2DACS t t t t t               △．  当2 t 时，DAC △面积最大．(2 1)D ，．（13 分）【014】（1）解：∵ A 点第一次落在直线y x 上时停止旋转，∴ OA 旋转了045.∴ OA 在旋转过程中所扫过的面积为245 2360 2  .……………4 分（2）解 ：

∵MN∥AC，∴45 BMN BAC      , 45 BNM BCA     .∴BMN BNM  .∴ BMBN .又∵ BABC ，∴ AMCN .又 ∵O A O C ,OAM OCN  , ∴OAM OCN   .∴AOM CON  .∴1(90 452AOM      .∴旋转过程中，当MN和AC平行 时，正 方 形OABC旋 转 的 度 数 为

45  .……………………………………………8 分（3）答 ：p值 无 变 化.证 明 ：

延 长BA交y轴 于E点，则045 AOE AOM   ，0 0 090 45 45 CON AOM AOM      ，∴AOE CON   .又∵ OAOC ，0 0 0180 90 90 OAE OCN     .∴OAE OCN   .∴, OE ON AE CN  .又∵045 MOE MON   , OMOM , ∴OME OMN   .∴ MNME AM AE   .∴ MNAM CN  ，∴4 p MN BN BM AM CN BN BM AB BC          .∴在旋转正方形 OABC 的过程中，p值无变化.……………12 分 【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a 16 397 ………………① 又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6 ∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k ………………②由①②解得 a=93，k=3 －∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3（第 26O A B C M N y x  x y E

⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO∴BOBMDOPM ∴3373 397 PM∴点 P 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点 C(4，3 )，又∵AM=3，∴在 Rt△AMC 中，cot∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，3 3)，如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2，3 3)②当点 Q 在 x 轴下方时，△QAB 就是△ACB，此时点 Q 的坐标是(4，3 )，经检验，点(10，3 3)与(-2，3 3)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC 点 Q 的坐标为(10，3 3)或(-2，3 3)或(4，3 )．

【016】解：（1）设正比例函数的解析式为1 1(0)y k x k  ，因为1y k x 的图象过点(33)A，所以13 3k ，解得11 k ． 这个正比例函数的解析式为y x ．（1 分）设反比例函数的解析式为22(0)ky kx ．因为2kyx的图象过点(3 3)A，所以 233k，解得29 k ．这个反比例函数的解析式为9yx．（2 分）（2）因为点(6)B m，在9yx的图象上，所以9 36 2m  ，则点362B   ，．（3 分）设一次函数解析式为3 3(0)y k x b k   ．因为3y k x b  的图象是由y x 平移得到的，所以31 k ，即y x b  ．又因为y x b  的图象过点362B   ，所以 362b  ，解得92b  ， 一次函数的解析式为92y x  ．（4 分）（3）因为92y x  的图象交y轴于点 D，所以 D 的坐标为902   ，． 设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a    ． 因为2y ax bx c   的图象过点(33)A，、362B   ，、和 D902   ，所以9 3 3336 629.2a b ca b cc      ，（5 分）解得1249.2abc   ，这个二次函数的解析式为21 942 2y x x    ．（6 分）（4）92y x  交 x 轴于点 C， 点 C 的坐标是902   ，如图所示，15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S            9 945 184 2    814． 假设存在点0 0()E x y，使12 81 2 273 4 3 2S S    ． 四边形 CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方，00 y ，1 OCD OCES S S   △ △ 01 9 9 1 92 2 2 2 2y     081 98 4y  ． 081 9 278 4 2y   ，032y  ．0 0()E x y，在二次函数的图象上，20 01 9 342 2 2x x    ．解得02 x 或06 x ． y x O C D B A 3 3 6 E

当06 x 时，点362E   ，与点 B 重合，这时 CDOE 不是四边形，故06 x 舍去， 点 E 的坐标为322   ，．（8 分）【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c   经过(10)(0 2)A B，，0 12 0 0b cc       解得32bc    所求抛物线的解析式为23 2 y x x   ． 2 分（2）(10)A，(0 2)B，1 2 OA OB   ，可得旋转后 C 点的坐标为(31)，3 分 当3 x 时，由23 2 y x x   得2 y ，可知抛物线23 2 y x x   过点(3 2)， 将原抛物线沿y轴向下平移 1 个单位后过点 C ． 平移后的抛物线解析式为：23 1 y x x   ． 5 分（3）点 N 在23 1 y x x   上，可设 N 点坐标为20 0 0(3 1)x x x  ，将23 1 y x x   配方得23 52 4y x     ， 其对称轴为32x ． 6 分 ①当0302x  时，如图①，1 12NBB NDDS S △ △ y x C B A O N D B1 D1 图①

0 01 1 31 2 12 2 2x x           01 x  此时20 03 1 1 x x    N 点的坐标为(11)，． 8 分 ②当032x 时，如图② 同理可得0 01 1 31 22 2 2x x         03 x   此时20 03 1 1 x x     点 N 的坐标为(31)，． 综上，点 N 的坐标为(11)，或(31)，． 10 分 【018】解：（1）抛物线24 y ax bx a   经过(10)A ，(0 4)C，两点，4 04 4.a b aa     ，解得13.ab  ， 抛物线的解析式为23 4 y x x   ．（2）点(1)D m m，在抛物线上，21 3 4 m m m      ，即22 3 0 m m   ，1 m   或3 m ． 点 D 在第一象限， 点 D 的坐标为(3 4)，． y x C B A O D B1 D1 图② N y x O A B C D E

由（1）知45 OA OB CBA   ，° ． 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．(0 4)C，CD AB  ∥，且3 CD ，45 ECB DCB     °，E 点在y轴上，且3 CE CD  ． 1 OE  ，(01)E ，． 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作 PFAB ⊥于 F，DEBC ⊥于 E ． 由（1）有：4 45 OB OC OBC    ，°，45 DBP CBD PBA      °，．(0 4)(34)C D，，CD OB  ∥且3 CD ． 45 DCE CBO     °，3 22DE CE   ． 4 OB OC  ，4 2 BC  ，5 22BE BC CE    ，3tan tan5DEPBF CBDBE     ． 设3 PF t ，则5 BF t ，5 4 OF t   ，(5 43)P t t   ，． y x O A B C D E P F

P 点在抛物线上，23(5 4)3(5 4)4 t t t       ，0 t  （舍去）或2225t ，2 665 25P    ，． 方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q，过点 D 作 DHx ⊥轴于 H ．过 Q 点作 QGDH ⊥于 G ． 45 PBD QD DB     °，． QDG BDH  90  °，又90 DQG QDG    °，DQG BDH  ． QDG DBH △ ≌△，4 QG DH   ，1 DG BH  ． 由（2）知(3 4)D，(13)Q  ，．(4 0)B， 直线 BP 的解析式为3 125 5y x   ． 解方程组23 43 125 5y x xy x      ，得1140xy ，；222566.25xy  ， 点 P 的坐标为2 665 25   ，． 【019】（1）EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC 中，EF 为斜边，∴EF＞EC，故 EO＞EC …2分（2）m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)y x O A B C D P Q G H

S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO ∴1  CMNOCFGHSSm四边形四边形 ……………………………………………………4 分（3）∵CO=1，3231  QF CE，∴EF=EO=QF   32311 ∴cos∠FEC= 21 ∴∠FEC=60°，∴          30 60260 180EAO OEA FEA，∴ △ EFQ 为 等 边 三 角 形，32 EQ …………………………………………5 分 作 QI⊥EO 于 I，EI=3121 EQ，IQ=3323 EQ ∴ IO=313132  ∴ Q 点 坐 标 为)31,33(……………………………………6 分 ∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)，Q)31,33(，m=1 ∴可求得3   b，c=1 ∴ 抛 物 线 解 析 式 为1 32   x x y ……………………………………7 分

（4）由（3），3323   EO AO 当332 x时，311 3323)332(2     y＜AB ∴P 点坐标为)31,33 2(…………………8 分 ∴BP=32311  AO 方法 1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：

①33 23232BK时，93 2 BK∴K 点坐标为)1 ,93 4(或)1 ,93 8(②323233 2BK时，33 2 BK ∴K 点坐标为)1 ,33 4(或)1 , 0(…………10 分 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为)1 , 0()31, 0()37, 0()35, 0(或 或 或   …………………………………………12 分 方法 2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P 作PR⊥y 轴于 R，则∠RTP=60°或 30° ①当∠RTP=30°时，2 333 2   RT ②当∠RTP=60°时，32333 2   RT

∴)1 , 0()31, 0()35, 0()37, 0(4 3 2 1T T T T，，  ……………………………12 分 【020】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA，AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1 分）（2）当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC，理由如下：

如图：过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1 分）∴△GAD≌△CAF（SAS）∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2 分）（3）如图：作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴ △ ADQ ∽ △DPC …（1 分）∴DQPC=AQCD 设 CD 为 x（0 ＜ x ＜ 3）则 DQ=CQ － CD=4 － x 则xPC 4= 4x …………（1分）∴PC= 41(－x2+4x)=－ 41(x－2)2+1≥1 当 x=2 时，PC 最长，此时 PC=1 ………（1分）

中考数学压轴题

中考数学压轴题100题二答案

中考数学压轴题训练

中考圆压轴题

中考压轴题集1