小升初数学阅读题3
1 类型 1 代数型新定义问题 例 1【2017·重庆 A 】对任意一个三位数 n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)．例如 n＝123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若 s，t 都是“相异数”，其中 s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y 都是正整数)，规定：k＝ F()sF()t.当 F(s)＋F(t)＝18时，求 k 的最大值． 针对训练 1．对于一个两位正整数 xy(0≤y≤x≤9，且 x、y 为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做 t 的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做 t 的“平方差数”．例如：对数 62 来说，62 ＋2 2 ＝40，6 2 －22 ＝32，所以 40 和 32 就分别是 62 的“平方和数”与“平方差数”．(1)75 的“平方和数”是________，5 可以是________的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为 10，它的“平方差数”为 8，则这个数是________．(2)求证：当 x≤9，y≤8 时，t 的 2 倍减去 t的“平方差数”再减去 99 所得结果也是另一个数的“平方差数”．(3)将数 t 的十位上的数与个位上的数交换得到数 t′，若 t 与 t 的“平方和数”之和等于t′与 t′的“平方差数”之和，求 t.2 2．将一个三位正整数 n 各数位上的数字重新排列后(含 n 本身)．得到新三位数 abc(a＜c)，在所有重新排列中，当 | | a＋c－2b 最小时，我们称 abc 是 n 的“调和优选数”，并规定 F(n)＝b2 －ac.例如 215 可以重新排列为 125、152、215，因为 | | 1＋5－2×2 ＝2，| | 1＋2－2×5 ＝7，| | 2＋5－2×1 ＝5，且 2＜5＜7，所以 125是 215 的“调和优选数”，F(215)＝22 －1×5＝－1.(1)F(236)＝________；(2)如果在正整数 n 三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；(3)设三位自然数 t＝100x＋60＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y 为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数 t′.若 t－t′＝693，那么我们称 t 为“和顺数”．求所有“和顺数”中 F(t)的最大值． 3．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 X 进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X 进制就是逢 X 进一．为与十进制进行区分，我们常把用 X 进制表示的数 a 写成(a)X.类比于十进制，我们可以知道：
X 进制表示的数(1111)X 中，右起第一位上的 1 表示 1× X0，第二位上的 1 表示 1× X1，第三位上的 1 表示1× X2，第四位上的 1 表示 1× X 3.故(1111)X ＝1× X3 ＋1× X 2 ＋1× X 1 ＋1× X 0，即：(1111)X 转化为十进制表示的数为 X3 ＋ X 2 ＋ X 1 ＋ X 0.如：(1111)2 ＝1×23 ＋1×2 2 ＋1×2 1 ＋1×2 0 ＝15，(1111)5 ＝1×53 ＋1×5 2 ＋1×5 1 ＋1×5 0 ＝156.根据材料，完成以下问题：
(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：
(101011)2 ＝________；(302)4 ＝________；(257)7 ＝________(2)若一个五进制三位数(a4b)5 与八进制三位数(ba4)8 之和能被 13 整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且 a、b 均为整数)，求 a 的值；(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)6 与(nn5)8 是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由．
3 4.我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q 是正整数，且 p≤q)，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分解．并规定：F(n)＝ pq.例如 12 可以分解成1×12，2×6 或 3×4，因为 12－1＞6－2＞4－3，所以 3×4 是 12 的最佳分解，所以 F(12)＝34.(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数 m 是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F(m)＝1.(2)如 果 一 个 两 位 正 整 数 t，t ＝ 10x ＋y(1≤x≤y≤9，x，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求 F(t)的最大值．
4 类型 2 函数型新定义问题 例 2 已知一个大于 1 的正整数 t 可以分解成 t＝ac＋b2 的形式(其中 a≤c，a，b，c 均为正整数)，在 t 的所有表示结果中，当 bc－ba 取得最小值时，称“ac＋b2 ”是 t 的“等比中项分解”，此时规定：P(t)＝b＋c2（a＋b），例如：7＝1×6＋12 ＝2×3＋1 2 ＝1×3＋2 2，1×6－1×1＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以 2×3＋12 是7 的“等比中项分解”，P(7)＝ 23.(1)若一个正整数 q＝m2 ＋n 2，其中 m、n 为正整数，则称 q 为“伪完全平方数”，证明：对任意一个“伪完全平方数”q 都有 Ρ(q)＝ 12.(2)若一个两位数 s＝10x＋y(1≤y≤x≤5，且x，y 均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14 倍，结果被 8 除余 4，称这样的数 s 为“幸福数”，求所有“幸福数”的 P(s)的最大值． 针对训练 1.如果关于 x 的一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：
①方程 x2 －x－2＝0 是倍根方程； ②若(x－2)(mx＋n)＝0 是倍根方程，则 4m2 ＋5mn＋n2 ＝0； ③若点(p，q)在反比例函数 y＝ 2x 的图象上，则关于 x 的方程 px2 ＋3x＋q＝0 是倍根方程． 其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
5 2.先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2 ＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令 x＋y＝A，则原式＝A2 ＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因 式 分 解 ：
1 ＋ 2(x － y)＋(x － y)2＝________；(2)因 式 分 解 ：
(a ＋ b)(a ＋ b － 4)＋ 4 ＝________；(3)证明：若 n 为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2 ＋3n)＋1 的值一定是某一个整数的平方． 3．若一个整数能表示成 a2 ＋b 2(a，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为 5＝22 ＋1 2.再如，M＝x 2 ＋2xy＋2y2 ＝(x＋y)2 ＋y 2(x，y 是整数)，所以 M也是“完美数”．(1)请你再写一个小于 10 的“完美数”，并判断 29 是否为“完美数”．(2)已知 S＝x2 ＋4y 2 ＋4x－12y＋k(x，y 是整数，k 是常数)，要使 S 为“完美数”，试求出符合条件的一个 k 值，并说明理由．(3)如果数 m，n 都是“完美数”，试说明 mn也是“完美数”．
6 4.若将自然数中能被 3 整除的数，在数轴上的对应点称为“3 倍点”P，取任意的一个“3 倍点”P，到点 P 距离为 1 的点所对应的数分别记为 a，b.定义：若数 K＝a2 ＋b 2 －ab，则称数 K为“尼尔数”．例如：若 P 所表示的数为 3，则 a＝2，b＝4，那么 K＝22 ＋4 2 －2×4＝12；若P 所表示的数为 12，则 a＝11，b＝13，那么 K＝132 ＋11 2 －13×11＝147，所以 12，147 是“尼尔数”．(1)请直接判断 6 和 39 是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被 9 除余 3；(2)已知两个“尼尔数”的差是 189，求这两个“尼尔数”．
