中考数学题
51 1．（湖南长沙 10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），点 P是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧作等边三角线 APQ。
当点 P 运动到原点 O 处时，记 Q 得位置为 B。
（1）求点 B 的坐标；（2）求证：当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 Q 重合）时，∠ABQ 为定值；（3）是否存在点 P，使得以 A、O、Q、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
2.（湖南永州 10 分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的 点，且满足∠EAF=45°，连接 EF，求证 DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转 可得：
AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90° ＋90°=180°，因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°． ∵∠1=∠2，∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又 AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故 DE＋BF=EF． ⑵方法迁移：
如图②，将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的 点，且∠EAF= 21∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF= 21∠DAB, 试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说 明 理由）． 3.（湖南常德 10 分）如图，已知抛物线过点 A（0，6），B（2，0），C(7，52)。
（1）求抛物线的解析式；（2）若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点，F 与 E 关于 D 对称，求证：∠CFE=∠AFE;（3）在 y 轴上是否存在这样的点 P，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若没有，请说明理由。
4.（湖南郴州 10 分）如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P 是线段 AB 上的一动点（不与 A、B 重合），坐标为（m，1﹣m）（m 为常数）．（1）求经过 O、P、B 三点的抛物线的解析式；（2）当 P 点在线段 AB 上移动时，过 O、P、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着 P 的移动而改变；（3）当 P 移动到点（12，12）时，请你在过 O、P、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与 P、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 5.（湖南湘潭 10 分）已知，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 C 在⊙O 的半径 OA 上运动，PC⊥AB，垂足为 C，PC=5，PT为⊙O 的切线，切点为 T．（1）如图（1），当 C 点运动到 O 点时，求 PT 的长；（2）如图（2），当 C 点运动到 A 点时，连接 PO、BT，求证：PO∥BT；（3）如 图（3），设 PT2=y，AC=x，求y与x的 函 数 关 系 式 及y的 最 小值． 6.（湖南张家界 12 分）如图，抛物线bx ax y 2经过点 A（—4，0）、B（—2，2），连接 OB、AB，（1）求该抛物线的解析式.（2）求证：△OAB 是等腰直角三角形.（3）将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 135°，得到△OA′B′，写出 A′B′的 中点P 的坐标，试判断点 P 是否在此抛物线上.（4）在抛物线上是否存在这样的点 M，使得四边形 ABOM 成直角梯形，若存在，请求出点 M 坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.7.（湖南衡阳 10 分）已知抛物线21 722 2y= x mx m ．（1）试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线 x =3 时，抛物线的顶点为点 C，直线y= x﹣1 与抛物线交于 A、B 两点，并与它的对称轴交于点 D． ①抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线 CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 8.（湖南怀化 10 分）在矩形 AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以 OB，OA 所在直线为x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），过 F 点的反比例函数(0)ky kx 的图象与 AC 边交于点 E．（1）求证：AE•AO=BF•BO；（2）若点 E 的坐标为（2，4），求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点 F，使得将△CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 的长：若不存在，请说明理由． 9.（湖南益阳 12 分）图是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，四边形 ACDE 是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．（1）证明：△ABE≌△CBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不 添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现 AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段 BD 的长． 10.（湖南邵阳 12 分）如图所示，在平面直角坐标系 O xy中，已知点 A(－ 94，0)，点 C(0，3)，点 B 是 x 轴上一点(位于点 A 的右侧)，以 AB 为直径的圆恰好经过点 C．（1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线23 y ax bx 经过 A、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段 BC 上是否存在点 D，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
11.（湖南岳阳 10 分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为 10m，隧道顶部最高处距地面 6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽 3m，最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形 ABCD，使顶点 C、D 落在拋物线上，顶点 A、B 落在 x 轴 上．设矩形 ABCD 的周长为 l，求 l 的最大值． II•如图④，过原点作一条y= x 的直线 OM，交抛物线于点 M，交抛物线对称轴于点 N，P 为直线 0M 上一动点，过 P点作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q．问在直线 OM 上是否存在点 P，使以 P、N、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 12.(湖南湘西 20 分)如图.抛物线22 3 y x x 与 x 轴相交于点 A 和点 B,与y轴交于点 C.(1)求点 A、点 B 和点 C 的坐标.(2)求直线 AC 的解析式.(3)设点 M 是第二象限内抛物线上的一点,且 S△MAB=6 求点 M 的坐标.(4)若点 P 在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 运动(不与B,A 重合),同时,点 Q 在射线 AC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 A向 C 运动.设运动的时间为 t 秒,请求出△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求出当 t 为何值时, △APQ 的面积最大,最大面积是多少? 13.（湖南娄底 10 分）在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD=2，以CD 为直径作⊙O1，交 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于 F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知 A，B 两点的坐标分
别为 A（0，23），B（﹣2，0）．（1）求 C，D 两点的坐标．（2）求证：EF 为⊙O1 的切线．（3）探究：如图，线段 CD 上是否存在点 P，使得线段 PC 的长度与 P 点到y轴的距离相等？如果存在，请找出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14.（湖南株洲 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛 物线2(0)y ax a 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原 点 O，两直角边与该抛物 线交于 A、B 两点，请解 答以下问题：
（1）若测得 OA=OB= 2 2（如图 1），求 a 的值；（2）对同一条抛物 线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位 置时，过 B 作 BFx 轴于点 F，测得 OF=1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 15.（湖北武汉 12 分）如图 1，抛物线23 y ax bx 经过 A（－3，0），B（－1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 M，直线2 9 y x 与y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D.现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上.若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图 2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q（0，3）作不平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点.问在 y轴的负半轴上是否存在点 P，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.16.（湖北黄石 10 分）已知二次函数22 4 8 y x mx m （1）当2 x时，函数值y 随 x的增大而减小，求 m 的取值范围。
（2）以抛物线22 4 8 y x mx m 的顶点 A 为一个顶点作该抛 物线的内接正三角形 AMN（M，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线22 4 8 y x mx m 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值。
17.（湖北十堰 12 分）如图，已知抛物线2y x bx c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，－3）。
（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），已知点 H（0，－1）.问在抛物线上是否存在点 G（点 G 在y轴的左侧），使得 S△GHC=S△GHA？若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点 D 在 x 轴上的正投影为点 E（－2，0），F 是 OC 的中点，连接 DF，P 为线段 BD 上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段 PE 的长.18.（湖北荆州 12 分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC、OA 所在直线为 x 轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴正半轴上）.若⊙P 过 A、B、E 三点(圆心在 x 轴上)，抛物线c bx x y 241经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为 G，M 是 FG 的中点，正方形 CDEF 的面积为（1）求 B 点坐标；
（2）求证：ME 是⊙P 的切线；（3）设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N，Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点，① 求△ACQ 周长的最小值；②若 FQ＝ t，S△ACQ＝ s，直接写出 s 与 t 之间的函数关系式 19.（湖北宜昌 11 分）已知抛物线2y ax bx c 与直线y =m x+n 相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣12）和（m﹣ b，m2﹣m b +n），其中 a，b，c，m，n 为实数，且 a，m 不为 0．（1）求 c 的值；（2）设抛物线2y ax bx c 与 x 轴的两个交点是（x 1，0）和（x 2，0），求 x 1▪ x 2的值；（3）当﹣1≤ x ≤1 时，设抛物线2y ax bx c 上与 x 轴距离最大的点为 P（x 0，y 0），求这时| y 0 丨的最小值． 20.（湖北襄阳 13 分）如图，在平面直角坐标系 x oy中，AB 在 x 轴上，AB=10，以 AB为直径的⊙O"与y轴正半轴交于点 C，连接 BC，AC．CD 是⊙O"的切线，AD 丄 CD 于点 D，tan∠CAD=12，抛物线2y ax bx c 过 A，B，C 三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式； ②判断抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点 P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 21.（湖北黄冈、鄂州 14 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kx+b 与抛物线 y=14 x2 交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中 x1＜0，x2＞0）．（1）求 b 的值．
（2）求 x1•x2 的值．（3）分别过 M，N 作直线 l：y=﹣1 的垂线，垂足分别是 M1 和 N1．判断△M1FN1 的形状，并证明你的结论．（4）对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由． 22.（湖北荆门 12 分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF的边 OC、OA 所在直线为 x 轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴正半轴上）.若⊙P 过 A、B、E 三点(圆心在 x 轴上)，抛物线c bx x y 241经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为 G，M 是 FG 的中点，正方形 CDEF 的面积为（1）求 B 点坐标；（2）求证：ME 是⊙P 的切线；（3）设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N，Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ＝ t，S△ACQ＝ s，直接写出 s 与 t 之间的函数关系式 23.（湖北孝感 14 分）如图（1），矩形 ABCD 的一边 BC 在直接坐标系中 x 轴上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F处，折痕为 AE，已知 AB=8，AD=10，并设点 B 坐标为（, 0 m），其中0 m＞.（1）求点 E、F 的坐标（用含的式子表示）；（5 分）（2）连接 OA，若△OAF 是等腰三角形，求 m 的值；（4 分）（3）如图（2），设抛物线2(6)y a x m h 经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若∠OAM=90°，求 a、h、m的值.（5 分）E EF FD DC C B BA AO Oy yx xM Mx xy yO OA AB B C CD DE E
图（1）图（2）24.（湖北咸宁 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线434 x y分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，点 C 为 OB 的中点，点 D 在第二象限，且四边形 AOCD 为矩形．（1）直接写出点 A，B 的坐标，并求直线 AB 与 CD 交点的坐标；（2）动点 P 从点 C 出发，沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段AB 以每秒 35个单位长度的速度向终点 B 运动，过点 P 作 PH⊥OA，垂足为 H，连接 MP，MH．设点 P 的运动时间为 t 秒． ①若△MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积为 1，求 t 的值； ②点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点，问 BP+PH+HQ 是否有最小值，如果有，求出相应的点 P 的坐标；如果没有，请说明理由． 25.（湖北恩施 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AC：4= +83y x与 x 轴交于点 A，与y轴交于点 C，抛物线2y ax bx c 过点 A、点 C，且与 x 轴的另一交点为 B（x 0，0），其中 x 0＞0，又点 P 是抛物线的对称轴 l 上一动点．（1）求点 A 的坐标，并在图 1 中的 l 上找一点 P0，使 P0 到点 A 与点 C 的距离之和最小；（2）若△PAC 周长的最小值为 10+2 41，求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标；（3）如图 2，在线段 CO 上有一动点 M 以每秒 2 个单位的速度从点 C 向点 O 移动（M 不与端点 C、O 重合），过点 M作 MH∥CB 交 x 轴于点 H，设 M 移动的时间为 t 秒，试把△P0HM 的面积 S 表示成时间 t 的函数，当 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当 S=7532 时，过 M 作 x 轴的平行线交抛物线于 E、F 两点，问：过 E、F、C 三点的圆与直线CN 能否相切于点 C？请证明你的结论．（备用图图 3）
26.（湖北潜江仙桃天门江汉油田 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线32 bx ax y与 x 轴的两个交点分别为 A（-3，0）、B（1，0），过顶点 C 作 CH⊥ x 轴于点 H.（1）直接填写：
a =，b=，顶点 C 的坐标为 ；（2）在y 轴上是否存在点 D，使得△ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求 出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQ⊥AC 于点 Q，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点 P 的坐标.27.（湖北省随州 15 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kx+b与抛物线 y=14 x2 交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中 x1＜0，x2＞0）．（1）求 b 的值．（2）求 x1•x2 的值．（3）分别过 M，N 作直线 l：y=﹣1 的垂线，垂足分别是 M1 和 N1．判断△M1FN1 的形状，并证明你的结论．（4）对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由． 28.（吉林省 10 分）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD 于点 E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时
刻开始，动点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发，运动速度均为 1 cm /s, 动点 P 沿 A--B--C--E 的方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B--C--E--D 的方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 x s， PA Q 的面积为 y cm2，（这里规定：线段是面积为 0 的三角形)解答下列问题：
(1)当 x=2s 时，y=_____ cm2;当 x = 29 s 时，y=_______ cm2(2）当 5 ≤ x ≤ 14 时，求 y 与 x 之间的函数关系式。
(3）当动点 P 在线段 BC 上运动时，求出154 yS 梯形 ABCD 时 x 的值。
（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值． DBAECQP（备用图）DBAEC 29.（吉林长春 10 分）如图，∠C=90°，点 A、B 在∠C 的两边上，CA=30，CB=20，连接 AB．点 P 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿 BC 方向运动，到点 C 停止．当点 P 与 B、C 两点不重合时，作 PD⊥BC 交 AB 于 D，作 DE⊥AC 于 E．F 为射线 CB 上一点，且∠CEF=∠ABC．设点 P 的运动时间为 x（秒）．（1）用含有 x 的代数式表示 CF 的长．（2）求点 F 与点 B 重合时 x 的值．（3）当点 F 在线段 CB 上时，设四边形 DECP 与四边形 DEFB 重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求 y 与 x 之间的函数关系式．（4）当 x 为某个值时，沿 PD 将以 D、E、F、B 为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的 x 值． 30.（河北省 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以毎秒 1 个单位长的速度运动 t秒（t＞0），抛物线2y x bx c 经过点 O 和点 P，已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（用含 t 的代数式表示）：
（2）当 4＜t＜5 时，设抛物线分别与线段 AB，CD 交于点 M，N． ①在点 P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；
②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 t 为何值时，21S8；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围．
