数学题,,,,,2
1.如图,在四棱锥 P−ABCD 中,AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(Ⅰ)PA⊥底面 ABCD；(Ⅱ)BE∥平面 PAD；(Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.2.如图,三棱柱 ABC−A 1 B 1 C 1 中,侧棱 A 1 A⊥底面 ABC,且各棱长均相等.D,E,F 分别为棱 AB,BC,A 1 C 1 的中点。
(Ⅰ)证明：EF∥平面 A 1 CD；(Ⅱ)证明：平面 A 1 CD⊥平面 A 1 ABB 1 ；(Ⅲ)求直线 BC 与平面 A 1 CD 所成角的正弦值。
3.如图，正三棱锥 O−ABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积。
∵
4.如图，AB 是圆 O 的直径，PA⊥圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点。
(1)求证：BC⊥平面 PAC；(2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG∥平面 PBC.5.如图，在三棱锥 S−ABC 中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB⊥BC，AS=AB，过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点。
求证：
(1)平面 EFG∥平面 ABC；(2)BC⊥SA
6.（2013 浙江）20．(文 20)(本题满分 15 分)如图，在四棱锥 P － ABCD 中，PA平面 ABCD，AB ＝ BC ＝2，AD ＝ CD ＝，PA ＝，∠ ABC ＝120°，G 为线段 PC 上的点．(1)证明：
BD ⊥平面 APC ；(2)若 G 为 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值；(3)若 G 满足 PC ⊥平面 BGD，求 的值．
7.如图．在直棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA 1 =3，D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB 1 上运动．（1）证明：AD⊥C 1 E；（2）当异面直线 AC，C 1 E 所成的角为 60°时，求三棱锥 C 1-A 1 B 1 E 的体积．
8.如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A−BCF,其中 BC=2√2.(1)证明：DE∥平面 BCF；(2)证明：CF⊥平面 ABF；(3)当 AD=23 时,求三棱锥 F−DEG 的体积 V F−DEG.9.如图,四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60∘,已知 PB=PD=2,PA=√.6
10.如图,直四棱柱 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2√,AA 1 =3，E 为 CD 上一点，DE=1，EC=3(1)证明：BE⊥平面 BB 1 C 1 C；(2)求点 B 1 到平面 EA 1 C 1 的距离。
11.如图,在三棱柱 ABC−A 1 B 1 C 中,侧棱 AA 1 ⊥底面 ABC,AB=AC=2AA 1 =2,∠BAC=120 ∘ ,D,D 1 分别是线段BC,B 1 C 1 的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点。
(Ⅰ)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A 1 BC平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD 1 A 1 ；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A 1 −QC 1 D 的体积.(锥体体积公式：V=13Sh,其中 S 为底面面积,h为高)
12.如图,四棱锥 P−ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=23√,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=π3.(Ⅰ)求证：BD⊥平面 PAC；(Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC，求三棱锥 P−BDF 的体积。
13.如图,四棱锥 P−ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点。
(Ⅰ)求证：CE∥平面 PAD(Ⅱ)求证：平面 EFG⊥平面 EMN.15.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量 AD⃗的方向相同时，画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM∥平面 PBC；(3)求三棱锥 D-PBC 的体积..16 如图,四棱锥 P−ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90 ∘，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是边长为 2 的等边三角形。
(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点 A 到平面 PCD 的距离。
14.如图, 四棱柱 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心, A 1 O⊥平面 ABCD, AB= AA 1 = √.2
(Ⅰ)证明：平面 A 1 BD ∥平面 CD 1 B 1 ；(Ⅱ)求三棱柱 ABD−A 1 B 1 D 1 的体积。
