中考数学压轴题
0 2010 全国各地 中考 数学压轴题精选（一）（附答案）（绵阳、桂林、长沙、嘉兴、鸡西、昆明、济南、凉山、中山、宁德、德州、河北、丽水、深圳、成都、广安、珠海、江西、武汉、黄石、山西、宜宾、徐州、潜江、荆州、大连、厦门）未完待续 ………………………….1．如图，△ABC 内接于⊙O，且∠B = 60．过点 C 作圆的切线 l 与 直径 AD 的延长线交于点 E，AF⊥l，垂足为 F，CG⊥AD，垂足为 G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若 AF = 4 3，求图中阴影部分的面积． 2．如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（－4，0）、B（2，0），与y 轴交于点 C，顶点为 D．E（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．（本题满分 10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长． 4．（本题满分 12 分）如图，过 A（8，0）、B（0，8 3）两点的直线与直线 x y 3 交于点 C．平行于 y 轴的直线 l 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右平移，C E D G A x y O B F B D F A O G E C l AB CDEFOH
到 C 点时停止； l 分别交线段 BC、OC 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边△DEF，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为 S（平方单位），直线 l 的运动时间为 t（秒）．（1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围；（2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）设直线 l 与 x 轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：二次函数22 y ax bx 的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中 0 a b 且 a、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含 b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为 x 1、x 2，求| x 1 －x 2 |的范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，8 2 OA cm，OC=8cm，现有两动点 P、Q 分别从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒．（1）用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S；（2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c 经过 B、P 两点，过线段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N，当线段 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比． A8COB备用图18 3 x y 3 y x A8 PCEODFBl 3 y x x y 8 3 B A P x C Q O y 第 26 题图
7 7．如图，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿 PQ 排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△A 1 B 1 C 1 的顶点 A 1 与点 P 重合，第二个△A 2 B 2 C 2 的顶点 A 2是 B 1 C 1 与 PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点 B n、C n 在圆上．（1）如图 1，当 n ＝1 时，求正三角形的边长 a 1 ；（2）如图 2，当 n ＝2 时，求正三角形的边长 a 2 ；（3）如题图，求正三角形的边长 a n（用含 n 的代数式表示）． 8 8．如图，已知抛物线 y ＝－12x2 ＋ x ＋4 交x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B．（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 P（x，y）（x ＞0）是直线 y ＝ x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值． 9．（9 分）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E 是 AD 的中点，点 P 是 BC 边上的动点（不与点 B 重合），EP 与 BD 相交于点 O.（1）当 P 点在 BC 边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；（2）设（1）中的相似比为 k，若 AD ︰ BC = 2 ︰ 3.请探究：当 k 为下列三种情况时，四边形 ABPE 是什么四边形？①当 k = 1 时，是 ；②当 k = 2 时，是 ；③当 k = 3 时，是.并证明．．． k= 2 时的结论.A B C D E P O
x 10．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线经过 O（0，0）、A（4，0）、B（3，2 33）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作⊙M 的切线 l，且 l 与 x 轴的夹角为 30°，若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）11、如图所示，抛物线22 3 y x x 与 x 轴交于 A、B 两点，直线 BD 的函数表达式为 3 3 3 y x ，抛物线的对称轴 l 与直线 BD 交于点 C、与 x 轴交于点 E． ⑴求 A、B、C 三个点的坐标． ⑵点 P 为线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），以点 A 为圆心、以 AP 为半径的圆弧与线段 AC 交于点 M，以点 B 为圆心、以 BP 为半径的圆弧与线段 BC 交于点 N，分别连接 AN、BM、MN． ①求证：AN=BM． ②在点 P 运动的过程中，四边形 AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.D C M N O A B P l 第 24 题图 y E
12．如图，B 为线段 AD 上一点，△ABC 和 △BDE 都是等边三角形，连接 CE 并延长，交 AD 的延长线于 F，△ABC 的外接圆⊙O 交 CF 于点 M ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）求证：
CF CM AC 2；（3）若过点 D 作 DG//BE 交 EF 于 G，过 G 作 GH//DE 交 DF 于 H，则易知△DHG 是等边三角形．设 △ABC、△BDE、△DHG 的面积分别为1S、2S、3S，试探究1S、2S、3S 之间的数量关系，并说明理由． 13．已知：抛物线)0(2 a c bx ax y，顶点 C（1，-4），与 x 轴交于 A、B 两点，A（-1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线的对称轴交于 E，依次连接 A、D、B、E，点 Q 为 AB 上一个动点（Q 与 A、B 两点不重合），过点 Q 作 QF ⊥ AE 于 F，QG ⊥ DB 于 G，请判断 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点 H 是线段 EQ 上一点，过点 H 作 MN ⊥ EQ，MN 分别与边 AE、BE 相交于 M、N（M 与 A、E 不重合，N 与 E、B 不重合），请判断 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． ADQGBEQFENEMQBQA（第 27 题）
14．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2。动点M、N 分别 从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动。连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的 时间为 x 秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？ 当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。
15．（本题满分 10 分）据宁德网报道：第三届海峡两岸茶业博览会在宁德市的成功举办，提升了闽东茶叶的国内外知名度和市场竞争力，今年第一季茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的 10 倍.茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响，第一季茶青产量为198.6 千克，比去年同期减少了 87.4 千克，但销售收入却比去年同期增加 8500 元.求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元？ 16.（本题满分 12 分）如图 1，抛物线 341412 x x y 与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于 B 点，与直线 b kx y 交于 A、D 两点。
⑴直接写出 A、C 两点坐标和直线 AD 的解析式； ⑵如图 2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字 m 记做 P 点的横坐标，第二次着地一面的数字 n 记做 P点的纵坐标.则点 n m P , 落在图 1 中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？ 第 22 题图（1）A B M C F D N W P Q 第 22 题图（2）A B C D F M N W P Q
17．（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 1 3 时，求正方形的边长.18.（本题满分 13 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ B＝ 90°，BC＝ 6，AD＝3，∠ DCB＝ 30°.点 E、F 同时从 B 点出发，沿射线 BC 向右匀速移动.已知 F 点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF 为一边在 CB 的上方作等边△ EFG ．设 E 点移动距离为 x（x＞0）.⑴△ EFG 的边长是____（用含有 x 的代数式表示），当 x＝2 时，点 G 的位置在_______； ⑵若△ EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求 ①当 0＜ x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式； ②当 2＜ x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出 y x 0 D(5,-2)C B A 图 1 E A D B C N M B E→ F→ C A D G 图 2-1 3
19 ．(本题满分 10 分)如图，在△ ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE平分∠BAD 交 BC 于点 E，点 O 是 AB上一点，⊙O 过 A、E 两点, 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F．（1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG 的度数． 20 ．(本题满分 10 分)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为 5000 元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过 100 个，按原价付款；若一次购买 100 个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10 元，但太阳能路灯的售价不得低于 3500 元/个．乙店一律按原价的 80℅销售．现购买太阳能路灯 x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为 y 1 元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为 y 2 元.（1）分别求出 y 1、y 2 与 x 之间的函数关系式；（2）若市政府投资 140 万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 21 ．(本题满分 10 分)● 探究(1)在图 1 中，已知线段 AB，CD，其中点分别为 E，F． ①若 A(-1，0)，B(3，0)，则 E 点坐标为__________； ②若 C(-2，2)，D(-2，-1)，则 F 点坐标为__________；(2)在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A(a，b)，B(c，d)，求出图中 AB 中点 D 的坐标（用含 a，b，c，d 的 代数式表示），并给出求解过程． ● 归纳 无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A(a，b)，B(c，d)，AB 中点为 D(x，y)时，x=_________，y=___________．（不必证明）● 运用 在图 2 中，一次函数 2 x y 与反比例函数 得 分 评 卷 人 B A C D E G O F 第 20 题图 O x y D B 第 22 题图 2 A 第 22 题图 1 O x y D B A C
xy3 的图象交点为 A，B． ①求出交点 A，B 的坐标； ②若以 A，O，B，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点 P 的坐标． 22．（本小题满分 10 分）在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交 于点 O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到 图 15-2，其中 AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；（3）将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到 图 15-3，求ACBD的值． 23．（本小题满分 12 分）如图 16，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，90 B ，AD = 6，BC = 8，3 3 AB，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC上匀速运动．在点 P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形 ABCD在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止． 设点 P，Q 运动的时间是 t 秒(t＞0)．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）． x y y=x3 y=x-2 A B O 第 22 题图 3 图 15-2 A D O B C 2 1 M N 图 15-1 A D B M N 1 2 图 15-3 A D O B C 2 1 M N O
（2）当 BP = 1 时，求△EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出 t的取值范围；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分 12 分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售． 若只在国内销售，销售价格 y（元 / 件）与月销量 x（件）的函数关系式为 y =1001 x＋150，成本为 20 元 / 件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为 w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）． 若只在国外销售，销售价格为 150 元 / 件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元 / 件（a 为 常数，10≤a≤40），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳1001x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当 x = 1000 时，y = 元 / 件，w 内 = 元；（2）分别求出 w 内，w 外 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a 的顶点坐标是24(,)2 4b ac ba a ． 25.小刚上午 7：30 从家里出发步行上学，途经少年宫时走了 1200 步，用时 10 分钟，到达学校的时间是 7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完 100 米用了 150 步．(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2)下午 4：00，小刚从学校出发，以 45 米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫 300 米处与同伴玩了M A D C B P Q E 图 16 A D C B（备用图）M t(分)s(米)(第 23 题)
半小时后，赶紧以 110 米/分的速度回家，中途没有再停留．问：
① 小刚到家的时间是下午几时？ ② 小刚回家过程中，离家的路程 s(米)与时间 t(分)之间的函数关系如图，请写出点 B 的坐标，并求出线段 CD 所在直线的函数解析式． 26.△ABC 中，∠A=∠B=30°，AB= 2 3 ．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O(如图)，△ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转．(1)当点 B 在第一象限，纵坐标是62时，求点 B 的横坐标；(2)如果抛物线2y ax bx c (a≠0)的对称轴经过点 C，请你探究：
① 当54a ，12b ，3 55c 时，A，B 两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由； ② 设 b=-2am，是否存在这样的 m 的值，使 A，B 两点不 可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的值； 若不存在，请说明理由． 27、28．已知：如图，ABC 内接于 O，AB 为直径，弦 CE AB 于 F，C 是 AD 的中点，连结 BD 并延长交 EC 的延长线于点 G，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q ．（1）求证：
P 是 ACQ 的外心； O y x C B A(第 24 题)1 1-1-1
（2）若3tan , 84ABC CF ,求 CQ 的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG ． 29．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2y ax bx c 与 x 轴交于 A B、两点（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为(30)，若将经过 A C、两点的直线y kx b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 2 x ．（1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果 P 是线段 AC 上一点，设 ABP 、BPC 的面积分别为ABPS 、BPCS ，且: 2:3ABP BPCS S ，求点 P 的坐标；（3）设 Q 的半径为 l，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为 r，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？
1．（1）如图，连结 CD，OC，则∠ADC =∠B = 60． ∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60． 由于 ∠ODC = 60，OC = OD，∴ △OCD 为正三角形，得 ∠DCO = 60． 由 OC⊥l，得 ∠ECD = 30，∴ ∠ECG = 30 + 30 = 60． 进而 ∠ACF = 180－2×60 = 60，∴ △ACF≌△ACG．（2）在 Rt△ACF 中，∠ACF = 60，AF = 4 3，得 CF = 4． 在 Rt△OCG 中，∠COG = 60，CG = CF = 4，得 OC =38． 在 Rt△CEO 中，OE =316． 于是 S 阴影 = S △ CEO －S 扇形 COD =36060212OCCG OE =9)3 3(32 ． 2．（1）由题意，得 , 0 4 2 4, 0 4 4 16b ab a 解得21 a，b =－1． 所以抛物线的解析式为 4212 x x y，顶点 D 的坐标为（－1，29）．（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M．因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH + CH 最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =13232 2 DM BM． 而 25)429(12 2 CD ． ∴ △CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH =213 3 5 ． 设直线 BD 的解析式为 y = k 1 x + b，则 ,29, 0 21 11 1b kb k 解得 231 k，b 1 = 3． 所以直线 BD 的解析式为 y =23 x + 3． 由于 BC = 2 5，CE = BC∕2 = 5，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）． 同理可求得直线 EF 的解析式为 y =21x +23． 联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点 H（43，815）．（3）设 K（t，4212 t t），x F ＜t＜x E ．过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N． B D F A O G E C l
则 KN = y K －y N = 4212 t t－（21t +23）=2523212 t t． 所以 S △ EFK = S △ KFN + S △ KNE =21KN（t + 3）+21KN（1－t）= 2KN = －t 2 －3t + 5 =－（t +23）2 +429． 即当 t =－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时 K（－23，835）． 3．(本题 10 分)证明（1）连结 OF ∵FH 是 ⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ……………1 分 ∵FH∥BC，∴OF 垂直平分 BC ………2 分 ∴ BF FC ∴AF平分∠BAC …………3 分（（2））证明：由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4 分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5 分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD … ……………6 分（3））解：
：
在△BFE 和△AFB 中 ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7 分 ∴BF AFFE BF，……………8 分 ∴2BF FE FA ∴2BFFAFE ……………………9 分 ∴27 494 4FA ∴AD=4974 =214 …………………10 分 4．(本题 12 分)解（1）C（4，4 3）……………………………2 分 t 的取值范围是：0≤ t ≤4 ……………………………… 3 分（2）∵D 点的坐标是（t，3 8 3 t ），E 的坐标是（t，3t）∴DE= 3 8 3 t -3t = 8 3 2 3t ……………………4 分 AB CDEFO1 2345H AB CDEFO1 2H
∴等边△DEF 的 DE 边上的高为：
12 3t ∴当点 F 在 BO 边上时：
12 3t = t，∴ t =3 ……………………5 分 ① 当 0≤ t <3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：
8 3 2 3t -2 33t …7 分 S=2 3(8 3 2 3 8 3 2 3)2 3tt t t =14(16 3 3)2 3tt =273 8 33t t ………………………………8 分 ② 当 3≤ t ≤4 时，重叠部分为等边三角形 S=1(8 3 2 3)(12 3)2t t ………………… 9 分 =23 3 24 3 48 3 t t ……………………10 分（3）存在，P（247，0）……………………12 分 说明：∵FO≥ 4 3，FP≥ 4 3，OP≤4 ∴以 P，O，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP, 若 FO=FP 时，t =2（12-3 t），t =247，∴P（247，0）5．解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为 y=kx ∵一次函数过（1，－b）∴y=－bx ……………………………3 分（2）∵y=ax 2 +bx－2 过（1，0）即 a+b=2 …………………………4 分 由2(2)2y bxy b x bx 得 ……………………………………5 分 22(2)2 0 ax a x ① ∵△＝2 24(2)8 4(1)12 0 a a a ∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点． ………………………………………6 分（3）∵两交点的横坐标 x 1、x 2 分别是方程①的解 ∴1 22(2)2 4 a ax xa a 1 22x xa ∴21 2 1 2 1 2()4 x x x x x x ＝2224 8 16 4(1)3a aa a 或由求根公式得出 ………………………………………………………8 分 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1 A8 PCEODFBl 3 y x x y 8 3
令函数24(1)3 ya ∵在 1 2 8 y x …………………8 分 设 M（m, 2 8 m）、N(m，212 2 84m m )∵M 在 BP 上运动 ∴ 4 2 8 2 m ∵2112 2 84y x x 与22 8 y x 交于 P、B 两点且抛物线的顶点是 P ∴当 4 2 8 2 m 时，1 2y y ………………………………9 分 ∴1 2MN y y ＝21(6 2)24m ∴当 6 2 m 时，MN 有最大值是 2 ∴设 MN 与 BQ 交于 H 点则(6 2,4)M、(6 2,7)H ∴S △ BHM ＝13 2 22 ＝ 3 2 ∴S △ BHM ：S 五边形 QOPMH ＝ 3 2 :(32 2 3 2) ＝3:29 ∴当 MN 取最大值时两部分面积之比是 3：29． …………………10 分 9．（9分）（1）证明：∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE ……………1分 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE ∠BOP = ∠DOE …………………2分 ∴△BOP∽△DOE(有两个角对应相等的两 三角形相似)……………3分（2）①平行四边形 …………………4分 ② 直角梯形 …………………5分 ③ 等腰梯形 …………………6分 证明：∵k = 2时，BP2DE ∴ BP = 2DE = AD 又∵AD ︰ BC = 2 ︰ 3 BC = 32AD PC = BC-BP =32AD-AD =12AD = ED ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90° ∴四边形PCDE是矩形 …………………7分 ∴ ∠EPB = 90° …………………8分 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行 四边形ABPE是直角梯形 ………………………9分（本题其它证法参照此标准给分）10．(12分)解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a 由题意得：016 4 02 39 33 ca b ca b c ……………1分 解得：2 3 8 3, , 09 9a b c ………………2分 ∴抛物线的解析式为：22 3 8 39 9y x x ………………3 分（2）存在 ………………4分 抛物线22 3 8 39 9y x x 的顶点坐标是8 3(2,)9，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC ∴∠BCM = 90°，∠BMC = 60°，BM = 2CM = 4 , ∴B(-2, 0)在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM-∠CMD = 30° ∴DM = 1, CD = 2 2CM DM = 3 ∴ C(1, 3)设切线 l 的解析式为:(0)y kx b k = + ?，点B、C在 l 上，可得： 32 0k bk b 解得： 3 2 3,3 3k b ∴切线BC的解析式为：3 2 33 3y x ∵点P为抛物线与切线的交点 由22 3 8 39 93 2 33 3y x xy x 解得：111232xy 2268 33xy l′ ′ ∴点P的坐标为：11 3(,)2 2P ，28 3(6,)3P ………………8分 ∵ 抛物线22 3 8 39 9y x x 的对称轴是直线 2 x 此抛物线、⊙M都与直线 2 x 成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线 2 x 的对称直线 l′(如图)得到B、C关于直线 2 x 的对称点B 1、C 1 l′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2 关于直线 2 x 的对称点： 39 3(,)2 2P，48 3(2,)3P 即为所求的点.∴这样的点P共有4个：11 3(,)2 2P ，28 3(6,)3P，39 3(,)2 2P，48 3(2,)3P ………12分（本题其它解法参照此标准给分）11.解：⑴令22 3 0 x x ，解得：1 21, 3 x x ，∴A(－1，0)，B(3，0)························ 2 分 ∵22 3 y x x =2(1)4 x ，∴抛物线的对称轴为直线 x=1，将 x=1 代入 3 3 3 y x ，得 y=2 3，∴C（1，2 3）.··························· 3 分 ⑵①在 Rt△ ACE 中，tan∠CAE= 3CEAE，∴∠CAE=60º，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴△ABC 为等边三角形，····················································· 4 分 ∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN = CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM.········································································· 5 分 ②四边形 AMNB 的面积有最小值． ········································· 6 分 设 AP=m，四边形 AMNB 的面积为 S，D C M N O A B P 第 24 题图 l x y F E 由①可知 AB= BC= 4，BN = CM=BP，S △ ABC =34×4 2 = 4 3，∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，过 M 作 MF⊥BC,垂足为 F, 则 MF=MC•sin60º=3(4)2m ，∴S △ CMN =12CN MF =12m •3(4)2m =2334m m ，···················· 7 分 ∴S=S △ ABC －S △ CMN = 4 3 －（2334m m ）=23(2)3 34m ······························································ 8 分 ∴m=2 时，S 取得最小值 3 3.·············································· 9 分 12、（1）证明：连结 OB，∵ △ABC 和 △BDE 都是等边三角形 ∴ ∠ABC=∠EBD=60° ……………………………1分 ∴ ∠CBE=60°，∠OBC=30° ∴ ∠OBE=90° ……………………………………2分 ∴ BE 是⊙O 的切线 ………………………………3 分（2）证明：连结 MB ,则 ∠CMB=180°-∠A=120° …………4 分 ∵ ∠CBF=60°+60°=120° ∴ ∠CMB=∠CBF ∵ ∠BCM=∠FCB ∴ △CMB≌△CBF …………………………………5分 ∴CFCBCBCM 即 CF CM CB 2 ∵ AC=CB ∴ CF CM AC 2 …………………………………6 分（3）解：作 DG//BE，GH//DE ………………………………7 分 ∵ AC∥BE∥DG ∴EGCEBDAB ∵ BC∥DE∥HG ∴EGCEDHBD ∴DHBDBDAB ………………………………………8 分 ∴2 2 DHBDBDAB ∵221BDABSS,232DHBDSS ∴3221SSSS 即2 122S S S ……………………………9 分 13、解：（1）设抛物线解析式为 4)1(2 x a y ………………1 分 将 A（-1，0）带入 4)1(2 x a y 得 1 a ……………………………………………2 分 ∴ 4)1(2 x y 即 3 22 x x y ……………………………………3 分（2）是定值 1…………………………………4 分 ∵ AB 是直径 ∴ ∠AEB=90° ∵ QF ⊥ AE ∴ QF∥BE ∴ 同理可得 ………………………………5 分 ∴ ∴ 为固定值 1.…………………………6 分（3）成立……………………………………7 分 ∵直线 EC 为抛物线对称轴 ∴ EC 垂直平分 AB ∴ AE=EB ∴ ∠FAQ=45° ADQGBEQFABQBADQGABAQBEQF1 ABABABQB AQABQBABAQADQGBEQFADQGBEQFENEMQBQA ∴ AF=FQ ……………………………………………8分 ∵ QF∥BE ∴ ∴ ………………………………………9分 ∵ MN ⊥ EQ ∴ ∠QEF=∠MNE 又∵ ∠QFE=∠MEN=90° ∴ △QEF≌△MNE ∴ ……………………………………10 分 ∴ ∴ ……………………………………11分 14、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF 同理可得：∠PQW =∠NFM 或∠PWQ =∠NFM ∴△ FMN∽△ QWP（2）当443x x 或 时，△ PQW 为直角三角形； 当 0≤x<43，43 （3）2 2 3 15.（满分 10 分）解法一： 设去年第一季茶青每千克的价格为 X 元，则今年第一季茶青每千克的价格为 10X 元，…2 分 依题意，得： （198.6＋87.4）x＋8500＝198.6×10x.………………7 分 解得 x＝5.………………9 分 198.6×10×5＝9930（元）.答：茶农叶亮亮今年第一季茶青的总收入为 9930 元.………………10 分 解法二： EFAFQBQAEFQFQBQANEEFMEQFNEMEEFQFENEMQBQA 设今年第一季茶青的总收入为 x 元，………………2 分 依题意，得： 6.198x=10×4.87 6.1988500 x………………7 分 解得 x=9930.………………9 分 答：茶农叶亮亮今年第一季茶青的总收入为 9930 元.………………10 分 16．（满分 12 分）解：⑴ A 点坐标：(－3，0)，C 点坐标：C(4，0)；………………2 分 直线 AD 解析式：4341 x y.………………5 分 ⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）：………………8 分 第一次 第二次 －1 1 3 4 －1（－1，－1）（－1，1）（－1，3）（－1，4）1（1，－1）（1，1）（1，3）（1，4）3（3，－1）（3，1）（3，3）（3，4）4（4，－1）（4，1）（4，3）（4，4）总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图 1 中抛物线与直线围成区域内的结果有 7 种： （－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）.…………11 分 因此 P（落在抛物线与直线围成区域内）＝167.………………12 分（注：落在抛物线与直线围成区域内的点列举错误 1 个扣 1 分，2 个及 2 个以上扣 2 分。由点列举错误引起概率计算错误不扣分。）17．（满分 13 分）解：⑴∵△ABE 是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.………………5 分 ⑵①当 M 点落在 BD 的中点时，AM＋CM 的值最小.………………7 分 ②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小.………………9 分 理由如下：连接 MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，F E A D B C N M ∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN 是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.………………10 分 根据“两点之间线段最短”，得 EN＋MN＋CM＝EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小，即等于 EC 的长.……11 分 ⑶过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为 x，则 BF＝23x，EF＝2x.在 Rt△EFC 中，∵EF2 ＋FC 2 ＝EC 2，∴（2x）2 ＋（23x＋x）2 ＝ 21 3 .………………12 分 解得，x＝ 2（舍去负值）.∴正方形的边长为 2.………………13 分 18．（满分 13 分）解：⑴ x，D 点；………………3 分 ⑵ ①当 0＜ x≤2 时，△ EFG 在梯形 ABCD 内部，所以 y＝43x2 ；………………6 分 ②分两种情况： Ⅰ.当 2＜ x ＜ 3 时，如图 1，点 E、点 F 在线段 BC 上，△ EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在 Rt△NMG 中，∠G＝60°，所以，此时 y＝43x2 －83（3 x－6）2 ＝23 923 983 72 x x.………………9 分 Ⅱ.当 3 ≤x≤6 时，如图 2，点 E 在线段 BC 上，点 F 在射线 CH 上，△ EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为△ECP，∵EC＝6－x, ∴ y＝83（6－x）2 ＝23 923 3832 x x.………………11 分 ⑶当 0＜ x≤2 时，∵ y＝43x2 在 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，∴x＝2 时，y 最大 ＝ 3 ； 当 2＜ x ＜ 3 时，∵ y ＝23 923 983 72 x x 在 x＝718时，y 最大 ＝73 9； 当 3 ≤x≤6 时，∵ y ＝23 923 3832 x x 在 x＜6 时，y 随 x 增大而减小，∴x＝3 时，y 最大 ＝83 9.………………12 分 综上所述：当 x＝718时，y 最大 ＝73 9.………………13 分 19 ．(本题满分 10 分)（1）证明：连接 OE，------------------------------1 分 ∵AB=AC 且 D 是 BC 中点，∴AD⊥BC． ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3 分 ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA． ∴∠OEA=∠DAE． ∴OE∥AD． ∴OE⊥BC． ∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6 分（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．----------------------------7 分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8 分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9 分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10 分 20 ．（本题满分 10 分）B E F C A D G N M 图 1 B E C F A D G P H 图 2 B A C D E G O F 解：（1）由题意可知，当 x≤100 时，购买一个需 5000 元，故15000 y x ；-------------------1 分 当 x≥100 时，因为购买个数每增加一个，其价格减少 10 元，但售价不得低于 3500 元/个，所以 x≤103500 5000+100=250．------------------------2 分 即 100≤x≤250 时，购买一个需 5000-10(x-100)元，故 y 1 =6000x-10x 2 ；----------4 分 当 x>250 时，购买一个需 3500 元，故13500 y x ；----------------5 分 所以， xx xxy350010 6000500021).250()250 100()100 0( xxx，25000 80% 4000 y x x ．-------------------------------7 分(2)当 0 探究(1)①(1，0)；②(-2，21)；-------------------------------2 分(2)过点 A，D，B 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A，D，B，则 AA ∥ BB ∥ CC ．-------------------------------3 分 ∵D 为 AB 中点，由平行线分线段成比例定理得 A D=D B． ∴OD=2 2c a a ca ． 即 D 点的横坐标是2c a ．------------------4 分 同理可得 D 点的纵坐标是2d b． ∴AB 中点 D 的坐标为(2c a ，2d b)．--------5 分 归纳：2c a ，2d b．-------------------------------6 分 x y y=x3 y=x-2 AB O P A ′ D ′ B′ O x y D B A 运用 ①由题意得 xyx y32.，解得13yx.，或 31yx.，． ∴即交点的坐标为 A(-1，-3)，B(3，1)．-------------8 分 ②以 AB 为对角线时，由上面的结论知 AB 中点 M 的坐标为(1，-1)． ∵平行四边形对角线互相平分，∴OM=OP，即 M 为 OP 的中点． ∴P 点坐标为(2，-2)．---------------------------------9 分 同理可得分别以 OA，OB 为对角线时，点 P 坐标分别为(4，4)，(-4，-4)． ∴满足条件的点 P 有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．------10 分 22 ．（本题满分 11 分）解：(1)∵二次函数 c bx ax y 2的图象经过点 C(0，-3)，∴c =-3． 将点 A(3，0)，B(2，-3)代入 c bx ax y 2得 .3 2 4 33 3 9 0b ab a，解得：a=1，b=-2． ∴ 3 22 x x y ．-------------------2 分 配方得： 4 12 ）（x y，所以对称轴为 x=1．-------------------3 分(2)由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点 B，点 C 的纵坐标相等，∴BC∥OA． 过点 B，点 P 作 BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为 D，E． 要使四边形 ABPQ 为等腰梯形，只需 PQ=AB． 即 QE=AD=1． x y O A B C P Q D E G M N F 又 QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1． 解得 t=5． 即 t=5 秒时，四边形 ABPQ 为等腰梯形．-------------------6 分 ②设对称轴与 BC，x 轴的交点分别为 F，G． ∵对称轴 x=1 是线段 BC 的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ，∴PF=QG． 又∵∠PMF=∠QMG，∴△ MFP≌△MGQ． ∴MF=MG． ∴点 M 为 FG 的中点-------------------8 分 ∴S=BPN ABPQS-S 四边形，=BPN ABFGS-S 四边形． 由 ABFGS 四边形 FG AG BF)(21 =29． t FG BP SBPN4032121 ． ∴S= t40329 ．-------------------10 分 又 BC=2，OA=3，∴点 P 运动到点 C 时停止运动，需要 20 秒． ∴0 ①如图 6，若点 P 从点 M 向点 B 运动，有 MB = BC21= 4，MP = MQ = 3，∴PQ = 6．连接 EM，∵△EPQ 是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ 3 3 EM ． ∵AB = 3 3，∴点 E 在 AD 上． A D C B P M Q E 图 6 ∴△EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是△EPQ，其面 积为 3 9 ． ②若点 P 从点 B 向点 M 运动，由题意得 5 t ． PQ = BM + MQ BP = 8，PC = 7．设 PE 与 AD 交于点 F，QE 与 AD 或 AD 的 延长线交于点 G，过点 P 作 PH⊥AD 于点 H，则 HP = 3 3，AH = 1．在 Rt△HPF 中，∠HPF = 30°，∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，∴点 G 与点 D 重合，如图 7．此时△EPQ 与梯形 ABCD 的重叠部分就是梯形 FPCG，其面积为 3227．（3）能．4≤t≤5． 24．解：（1）140 57500；（2）w 内 = x（y-20）-62500 = 1001 x 2 ＋130 x 62500 ，w 外 = 1001 x 2 ＋（150 a ）x．（3）当 x =)1001(2130 = 6500 时，w 内 最大；分 由题意得 2214()(62500)1300(150)1001 14()4()100 100a ，解得 a 1 = 30，a 2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．（4）当 x = 5000 时，w 内 = 337500，w 外 = 5000500000 a ． 若 w 内 ＜ w 外，则 a＜32.5； 若 w 内 = w 外，则 a = 32.5； 若 w 内 ＞ w 外，则 a＞32.5． 所以，当 10≤ a ＜32.5 时，选择在国外销售； 当 a = 32.5 时，在国外和国内销售都一样； 当 32.5＜ a ≤40 时，选择在国内销售． 25.(本题 10 分)解：(1)小刚每分钟走 1200÷10=120(步)，每步走 100÷150=23(米)，A D C B P M Q E F H G 图 7 所以小刚上学的步行速度是 120× 23=80(米/分)． ……2 分 小刚家和少年宫之间的路程是 80×10=800(米)． ……1 分 少年宫和学校之间的路程是 80×(25-10)=1200(米)． ……1 分(2)① 1200 300 800 30030 6045 110 (分钟)，所以小刚到家的时间是下午 5：00． ……2 分 ② 小刚从学校出发，以 45 米/分的速度行走到离少年宫 300 米处时实际走了 900 米，用时9002045 分，此时小刚离家 1 100 米，所以点 B 的坐标是（20，1100）． ……2 分 线段 CD 表示小刚与同伴玩了 30 分钟后，回家的这个时间段中离家的路程 s(米)与行走时间 t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 1100 110(50)s t ，即线段 CD 所在直线的函数解析式是 6600 110 s t ． ……2 分(线段 CD 所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得： 点 C 的坐标是（50，1100），点 D 的坐标是（60，0）设线段 CD 所在直线的函数解析式是 s kt b ，将点 C，D 的坐标代入，得 50 1100,60 0.k bk b 解得 110,6 600.kb 所以线段 CD 所在直线的函数解析式是 110 6600 s t )26.(本题 12 分)解：(1)∵ 点 O 是 AB 的中点，∴ 132OB AB ． ……1 分 设点 B 的横坐标是 x(x>0)，则2 2 26()(3)2x ，……1 分 解得 162x ，262x (舍去)． ∴ 点 B 的横坐标是62． ……2 分(2)① 当54a ，12b ，3 55c 时，得 25 1 3 54 2 5y x x ……(＊)25 5 13 5()4 5 20y x ． ……1 分 以下分两种情况讨论． 情况 1：设点 C 在第一象限(如图甲)，则点 C 的横坐标为55，3tan30 3 13OC OB ． ……1 分 由此，可求得点 C 的坐标为(55，2 55)，……1 分 点 A 的坐标为(2 155，155)，∵ A，B 两点关于原点对称，O y x C B A(甲)1 1-1-1 ∴ 点 B 的坐标为(2 155，155)． 将点 A 的横坐标代入(＊)式右边，计算得155，即等于点 A 的纵坐标； 将点 B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得155，即等于点 B 的纵坐标． ∴ 在这种情况下，A，B 两点都在抛物线上． ……2 分 情况 2：设点 C 在第四象限(如图乙)，则点 C 的坐标为(55，-2 55)，点 A 的坐标为(2 155，155)，点 B 的坐标为(2 155，155)． 经计算，A，B 两点都不在这条抛物线上． ……1 分(情况 2 另解：经判断，如果 A，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以 A，B 两点不可能都在这条抛物线上)② 存在．m 的值是 1 或-1． ……2 分(2 2()y a x m am c ，因为这条抛物线的对称轴经过点 C，所以-1≤m≤1．当 m=±1时，点 C 在 x 轴上，此时 A，B 两点都在 y 轴上．因此当 m=±1 时，A，B 两点不可能同时在这条抛物线上)27 O y x C B A(乙)1 1-1-1 28.（1）证明：∵C 是 AD 的中点，∴ AC CD ，∴∠CAD=∠ABC ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90° 又 CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ 中，PC=PQ，∵CE⊥直径 AB，∴ AC AE ∴ AE CD ∴∠CAD=∠ACE。 ∴在△APC 中，有 PA=PC，∴PA=PC=P...
