数学附加题1

作者：lg007811 | 发布时间：2021-01-13 01:05:11 收藏本文下载本文

附加题强化训练 1 1 B．．修选修 4—2 ：矩阵与变换已知矩阵 A＝＝     1 a－－1 b为的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 α ＝     21．（1）求矩阵 A ；（2）若 A     xy＝     ab，求求 x，y 的值． C．．修选修 4—4 ：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线   ＝＝2cosθ 关于直线 θ ＝ π4(  ∈∈R)对称的曲线的极坐标方程．

22 ．（本小题满分 10 分）某有中学有 4 位学生请申请 A，B，C 三三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．．（（1）求恰有有 2 人申请 A 大学的概率；；（（2））求被申请大学的数个数 X 的概率分布列与数学望期望 E(X)． 23 ．（本小题满分 10 分）设设 f(n)是定义在 N* 上的增函数，f(4)＝5，且满足：

①意任意 n ∈N*，f(n)∈Z；； ②意任意 m，n ∈N*，有有 f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．（（1）求 f(1)，f(2)，f(3)的值；（（2）求 f(n)的表达式．

参考答案 B 解：（1）由题意，得     1 a－－1 b     21＝＝2     21，即      2 ＋a ＝4，－－2 ＋b ＝2，得解得 a ＝2，b ＝4 ．所以 A＝＝     1 2－－1 4．． ………………………………………5 分（2）解法一：A     xy＝     ab，即     1 2－－1 4     xy＝     24，所以      x ＋2y ＝2，－－x ＋4y ＝4，………………………………………8 分分解得      x ＝0，y ＝1．． ………………………………………10 分为解法二：因为 A＝＝     1 2－－1 4以，所以 A－ 1 ＝错误!． ………………………………………7 分因为 A     xy＝     ab，所以     xy＝ A－ 1    ab＝错误!错误!＝错误!．所以      x ＝0，y ＝1．． ………………………………………10 分 C/ 以极点为坐标原点，为极轴为 x 轴建立直角坐标系，则曲线   ＝＝2cosθ 的直角坐标方程为(x －1)2 ＋＋y 2 ＝＝1，且圆心 C 为(1，0)．． ………………………4 分分直线 θ ＝ π4 为的直角坐标方程为 y ＝x，心因为圆心 C(1，0)关于 y ＝x 的对称点为(0，1)，心所以圆心 C 关于 y ＝x 的对称曲线为 x 2 ＋＋(y －1)2 ＝＝1．． ………………………………………8 分分所以曲线   ＝＝2cosθ 关于直线 θ ＝ π4(  R)对称的曲线的极坐标方程为   ＝＝2sinθ．． …………………10 分分 22 ．（本小题满分 10 分）解（1）记“恰有有 2 人申请 A 大学”为事件 A，P(A)＝＝ C4 2 × ×2 23 4＝ 2481 ＝827 ．．答：恰有有 2 人申请 A 大学的概率为827 ．． ………………………………………4 4 分分（（2）X 的所有可能值为 1，2，3．． P(X ＝1)＝＝33 4 ＝127，P(X ＝2)＝＝ C4 3 × ×A 3 2 ＋＋3 ×A 3 23 4＝ 4281 ＝ 1427，P(X ＝3)＝＝ C4 2 × ×A 3 33 4＝ 3681 ＝ 49 ． X 的概率分布列为：

X 1 2 3 P 127 1427 49

以所以 X 望的数学期望 E(X)＝1× ×127 ＋＋2× × 1427 ＋＋3× × 49 ＝ 6527 ．． ……………………………………… 10分分 23．．解：（1）因为 f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以 5 f(1)＝10，则 f(1)＝2．． ……………………………… ……1 分因为 f(n)是单调增函数，所以 2 ＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5 ．因为 f(n)∈Z，所以 f(2)＝3，f(3)＝4 ． ………………………………………3 分（（2）解：由（1）可猜想 f(n)＝n+1 ．证明：为因为 f(n)单调递增，所以 f(n+1)＞f(n)，又 f(n)∈Z，所以 f(n+1)≥f(n)+1 ．首先证明：f(n)≥n+1 ．因为 f(1)＝2，所以 n ＝1 时，命题成立．假设 n=k(k ≥1)时命题成立，即 f(k)≥k+1 ．则则 f(k+1)≥f(k)+1 ≥k+2，即 n ＝k+1 时，命题也成立．综上，f(n)≥n+1 ． ………………………………………5 分由已知可得 f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n+1)，而 f(2)＝3，f(2n)≥2n ＋1，以所以 3 f(n)≥f(n+1)＋2n ＋1，即 f(n+1)≤3 f(n)－2n －1 ．下面证明：f(n)＝n+1 ．为因为 f(1)＝2，所以 n ＝1 时，命题成立．设假设 n=k(k ≥1)时命题成立，即 f(k)＝k+1，则则 f(k+1)≤3f(k)－2k －1 ＝3(k+1)－2k －1 ＝k ＋2，又又 f(k+1)≥k ＋2，所以 f(k+1)＝k ＋2 ．即即 n ＝k+1 时，命题也成立．以所以f(n)＝n+1 ……………………… ………………10 分