《二次根式（第2课时）》教学设计

一、学生起点分析

在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$（a≥0，b≥0），$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析

二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：

1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法；

3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识；

4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

三．教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；

第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结.

第一环节：复习引入

内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？

这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究

1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$（a≥0，b≥0），$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（a≥0，b＞0）．

2．提出问题：能否根据该公式将$$\sqrt{8}$$化成$$2\sqrt{2}$$？

例3 计算：

（1）$$\sqrt{6}\times \sqrt{\frac{2}{3}}$$；（2）$$\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$；（3）$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$$。

解：

（1）；

（2）$$\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$＝$$\frac{\sqrt{6\times 3}}{\sqrt{2}}$$＝$$\sqrt{\frac{6\times 3}{2}}$$＝$$\sqrt{9}$$＝3；

（3）$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$$＝＝$$\sqrt{\frac{2}{5}}$$＝$$\sqrt{\frac{2\times 5}{5\times 5}}$$=$$\frac{\sqrt{\text{10}}}{5}$$.

说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数；一定要使结果化为最简二次根式或整式，如（1）（2）的开方运算.

第三环节：巩固练习

例4 计算：

（1）3$$\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}$$（2）$$\sqrt{\text{12}}\times \sqrt{3}-5$$；（3）$$(\sqrt{5}+1{)}^2$$；（4）$$(\sqrt{\text{13}}+3)(\sqrt{\text{13}}-3)$$；

（5）$$(\sqrt{\text{12}}-\sqrt{\frac{1}{3}})\times \sqrt{3}$$；（6）$$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{\text{18}}}{\sqrt{2}}$$。

解：（1）3$$\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}$$=3$$2$$$$$$$$\sqrt{2\times 3}$$=6$$\sqrt{6}$$；

（2）$$\sqrt{\text{12}}\times \sqrt{3}-5$$＝$$\sqrt{\text{12}\times 3}-5$$＝$$\sqrt{\text{36}}-5$$＝6－5＝1；

（3）$$(\sqrt{5}+1{)}^2$$＝$$(\sqrt{5}{)}^2+2\sqrt{5}+1$$＝5＋$$2\sqrt{5}$$＋1＝6＋$$2\sqrt{5}$$；

（4）$$(\sqrt{\text{13}}+3)(\sqrt{\text{13}}-3)$$＝$$(\text{13}{)}^2-3^2$$＝4；

（5）$$(\sqrt{\text{12}}-\sqrt{\frac{1}{3}})\times \sqrt{3}$$$$=\sqrt{\text{12}}\times \sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{3}}\times \sqrt{3}=\sqrt{\text{36}}-\sqrt{1}=6-1=5$$；

（6）$$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{\text{18}}}{\sqrt{2}}$$$$=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{\text{18}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$$。

说明：（1）对实数运算，有理数的所有运算均成立，如乘方、乘除、加减及括号的优先顺序问题；再者，平方差、完全平方运算也依然成立；

（2）对于5、6两道小题，教师也可引入分母有理化概念，并采用分母有理化进行化简，并让学生对比运算的优劣问题；

（3）两个二次根式相除，把二次根式的系数、被开方数分别相除，再把所得的商相乘，同时注意确定商的符号.

意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。

例5 计算：

（1）；（2）$$\sqrt{5}-\sqrt{\frac{1}{5}}$$；（3）。

解：（1）＝＝＝＝；

（2）$$\sqrt{5}-\sqrt{\frac{1}{5}}$$＝$$\sqrt{5}-\sqrt{\frac{5}{\text{25}}}$$＝$$\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\text{25}}}$$＝$$\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}$$＝$$\frac{4}{5}\sqrt{5}$$；

（3）。

课堂练习1：

1.化简：（1）$$\sqrt{\text{18}}$$；（2）$$\sqrt{\frac{5}{2}}$$；（3）$$3\sqrt{3}-\sqrt{\text{75}}$$；（4）$$\sqrt{\text{12}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$$．（5）$$(\sqrt{\frac{4}{3}}+\sqrt{3})\times \sqrt{6}$$

第四环节：知识拓展

﹡课堂练习2：

化简：（1）$$\sqrt{\text{128}}$$； （2）$$\sqrt{\text{9000}}$$； （3）$$2\sqrt{\text{12}}+\sqrt{\text{48}}$$；

（4）$$\sqrt{\frac{2}{9}}+\sqrt{\text{50}}-\sqrt{\text{32}}$$； （5）$$3\sqrt{\text{20}}-\sqrt{\text{45}}-\sqrt{\frac{1}{5}}$$； （6）$$\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}$$．

解：（1）$$\sqrt{\text{128}}=\sqrt{\text{64}\times 2}=\sqrt{\text{64}}\times \sqrt{2}=8\times \sqrt{2}=8\sqrt{2}$$；

（2）$$\sqrt{\text{9000}}=\sqrt{\text{900}\times \text{10}}=\sqrt{\text{900}}\times \sqrt{\text{10}}=\text{30}\times \sqrt{\text{10}}=\text{30}\sqrt{\text{10}}$$；

（3）

＝；

（4）$$\sqrt{\frac{2}{9}}+\sqrt{\text{50}}-\sqrt{\text{32}}$$

＝$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}+\sqrt{\text{25}\times 2}-\sqrt{\text{16}\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{\text{25}}\times \sqrt{2}-\sqrt{\text{16}}\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}+5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$$；

（5）$$3\sqrt{\text{20}}-\sqrt{\text{45}}-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

＝$$3\sqrt{4\times 5}-\sqrt{9\times 5}-\sqrt{\frac{5}{\text{25}}}=3\times \sqrt{4}\times \sqrt{5}-\sqrt{9}\times \sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\text{25}}}=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\text{14}}{5}\sqrt{5}$$；

（6）$$\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{6}{4}}+\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5}{6}\sqrt{6}$$．

第五环节：课堂小结

在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？

四、教学反思

本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．

《二次根式（第1课时）》教学设计

《二次根式（第3课时）》教学设计

二次根式教学设计

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