《二次根式（第3课时）》教学设计

一、学生情况分析

前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏．为今后的学习扫清计算方面的障碍．

二、教学任务分析

二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．

二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。因此本节课的目标定为：

1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。

2.了解根号内含有字母的二次根式的化简

3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．

4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．

根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；

第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；

第六环节：作业布置.

第一环节：复习引入

内容：

（1）最简二次根式的概念；

（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？

（3）上节课课后作业：若$$\sqrt{2}\approx 1\text{.}\text{414}$$，$$\sqrt{3}\approx 1\text{.}\text{732}$$，$$\sqrt{6}\approx 2\text{.}\text{449}$$，求$$\sqrt{\frac{3}{2}}$$．你是怎样解决的？

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．

第二环节：知识巩固

1.巩固提升

例6计算：

（1）$$\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{2}{3}}$$；（2）$$\sqrt{\text{18}}-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{8}}$$；（3）$$(\sqrt{\text{24}}-\sqrt{\frac{1}{6}})÷\sqrt{3}$$；（4）.

解：（1）$$\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{2}{3}}$$＝$$\sqrt{\frac{3\times 2}{2\times 2}}-\sqrt{\frac{2\times 3}{3\times 3}}$$＝$$\frac{1}{2}\sqrt{6}-\frac{1}{3}\sqrt{6}$$＝$$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\sqrt{6}$$＝$$\frac{1}{6}\sqrt{6}$$；

（2）$$\sqrt{\text{18}}-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{8}}$$＝$$\sqrt{3^2\times 2}-\sqrt{2^2\times 2}+\sqrt{\frac{2}{\text{16}}}$$＝$$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}$$＝$$\frac{5}{4}\sqrt{2}$$；

（3）$$(\sqrt{\text{24}}-\sqrt{\frac{1}{6}})÷\sqrt{3}$$＝$$\sqrt{\text{24}}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{6}}÷\sqrt{3}$$＝$$\sqrt{\text{24}÷3}-\sqrt{\frac{1}{6}÷3}$$

＝$$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{6\times 3}}$$＝$$\sqrt{4\times 2}-\sqrt{\frac{2}{6\times 6}}$$＝$$2\sqrt{2}-\frac{1}{6}\sqrt{2}$$＝$$\frac{\text{11}}{6}\sqrt{2}$$；

（4）.

说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．

2.交流

收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．

3.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？

4.练习

化简：

（1）$$\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{1}{\text{10}}}$$；（2）$$\sqrt{\text{12}}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}$$；（3）$$(\sqrt{\text{18}}-\sqrt{\frac{1}{2}})\times \sqrt{8}$$．

解：（1）$$\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{1}{\text{10}}}$$＝$$\sqrt{\frac{2\times 5}{5\times 5}}-\sqrt{\frac{1\times \text{10}}{\text{10}\times \text{10}}}$$＝$$\frac{1}{5}\sqrt{\text{10}}-\frac{1}{\text{10}}\sqrt{\text{10}}$$＝$$\frac{1}{\text{10}}\sqrt{\text{10}}$$；

（2）$$\sqrt{\text{12}}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}$$＝$$\sqrt{4\times 3}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1\times 3}{3\times 3}}$$＝$$2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$$＝$$\frac{4}{3}\sqrt{3}$$；

（3）$$(\sqrt{\text{18}}-\sqrt{\frac{1}{2}})\times \sqrt{8}$$＝$$\sqrt{\text{18}}\times \sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times \sqrt{8}$$＝$$\sqrt{\text{18}}\times \sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times \sqrt{8}$$

＝$$\sqrt{\text{18}\times 8}-\sqrt{\frac{1}{2}\times 8}$$＝$$\sqrt{\text{144}}-\sqrt{4}$$＝$$\text{12}-2$$＝10．

第三环节：问题解决

如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形

的面积，你有哪些方法，与同伴交流．

1.交流

让学生充分发表意见．

2.答案

（1）直接求法．

过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE

都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得：

AB＝$$5\sqrt{2}$$， CD＝$$\sqrt{2}$$，DE＝$$3\sqrt{2}$$，面积梯形ABCD的面积是

$$\frac{1}{2}(5\sqrt{2}+\sqrt{2})\times 3\sqrt{2}$$＝18.

（2）间接求法．

将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积是$$5\times 7-\frac{1}{2}\times 5\times 5-\frac{1}{2}\times 4\times 2-\frac{1}{2}\times 1\times 1$$＝18．

*第四环节：知识提升（教师根据实际情况进行）

1.知识探索

问题：$$\sqrt{a^2}$$（$$a>0$$）等于多少？

根据算术平方根的定义，可知$$\sqrt{a^2}=a$$（$$a>0$$）．

2.知识运用

例7 化简：

（1）$$\sqrt{\text{25}{a}^3{b}^3}$$（$$a>0$$，$$b>0$$）；（2）$$\sqrt{(x+y{)}^3}$$（$$x+y\ge 0$$）；（3）$$\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}$$（$$a>0$$，$$b>0$$）．

解：（1）$$\sqrt{\text{25}{a}^3{b}^3}$$＝$$\sqrt{5^2{a}^2{b}^2\cdot \text{ab}}$$＝$$\sqrt{5^2{a}^2{b}^2}\cdot \sqrt{\text{ab}}$$＝$$5\text{ab}\sqrt{\text{ab}}$$；

（2）$$\sqrt{(x+y{)}^3}$$＝$$\sqrt{(x+y{)}^2\cdot (x+y)}$$＝$$(x+y)\sqrt{x+y}$$；

（3）$$\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}$$＝$$\frac{a}{b}\sqrt{\frac{\text{ab}}{a^2}}$$＝$$\frac{a}{b}\times \frac{1}{a}\sqrt{\text{ab}}$$＝$$\frac{1}{b}\sqrt{\text{ab}}$$．

3.课堂练习

1.当$$a>0$$，$$b>0$$时化简：

（1）$$\sqrt{\text{ab}}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})$$；（2）$$\sqrt{4a^2{b}^3}$$；（3）$$(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{b})\times \sqrt{\text{ab}}$$；

（4）$$\text{10}{a}^2\sqrt{\text{ab}}\cdot 5\sqrt{\frac{b}{a}}÷\text{15}\sqrt{\frac{a}{b}}$$．

解：（1）$$\sqrt{\text{ab}}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})$$＝$$\sqrt{\text{ab}}\times \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\text{ab}}\times \sqrt{\frac{b}{a}}$$＝$$\sqrt{\text{ab}\times \frac{a}{b}}+\sqrt{\text{ab}\times \frac{b}{a}}$$

＝$$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$$＝$$a+b$$；

（2）$$\sqrt{4a^2{b}^3}$$＝$$\sqrt{2^2{a}^2{b}^2\cdot b}$$＝$$\sqrt{2^2{a}^2{b}^2}\cdot \sqrt{b}$$＝$$2\text{ab}\sqrt{b}$$；

（3）$$(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{b})\times \sqrt{\text{ab}}$$＝$$\sqrt{\frac{1}{a}}\times \sqrt{\text{ab}}-\sqrt{b}\times \sqrt{\text{ab}}$$＝$$\sqrt{\frac{1}{a}\times \text{ab}}-\sqrt{b\times \text{ab}}$$＝$$\sqrt{b}-\sqrt{b^2\times a}$$

＝$$\sqrt{b}-b\sqrt{a}$$；

（4）$$\text{10}{a}^2\sqrt{\text{ab}}\cdot 5\sqrt{\frac{b}{a}}÷\text{15}\sqrt{\frac{a}{b}}$$＝$$(\text{10}{a}^2\times 5÷\text{15})\sqrt{\text{ab}\cdot \frac{b}{a}÷\frac{a}{b}}$$＝$$\frac{\text{10}}{3}{a}^2\cdot \sqrt{\frac{b^3}{a}}$$

＝$$\frac{\text{10}}{3}{a}^2\cdot \sqrt{\frac{b^2\cdot \text{ba}}{a^2}}$$＝$$\frac{\text{10}}{3}{a}^2\cdot \sqrt{\frac{b^2\cdot \text{ba}}{a^2}}$$＝$$\frac{\text{10}}{3}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{b^2\cdot \text{ab}}}{\sqrt{a^2}}$$＝$$\frac{\text{10}}{3}{a}^2\cdot \frac{b}{a}\cdot \sqrt{\text{ab}}$$

＝$$\frac{\text{10}}{3}\text{ab}\sqrt{\text{ab}}$$．

2. 求代数式$$(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{b})\times \sqrt{\text{ab}}$$的值，其中$$a=3$$，$$b=2$$．

解：由题知$$a>0$$，$$b>0$$．

$$(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{b})\times \sqrt{\text{ab}}$$＝$$\sqrt{\frac{1}{a}}\times \sqrt{\text{ab}}-\sqrt{b}\times \sqrt{\text{ab}}$$＝$$\sqrt{\frac{1}{a}\times \text{ab}}-\sqrt{b\times \text{ab}}$$＝$$\sqrt{b}-\sqrt{{\text{ab}}^2}$$

＝$$\sqrt{b}-b\sqrt{a}$$．

当$$a=3$$，$$b=2$$时，$$\sqrt{b}-b\sqrt{a}$$＝$$\sqrt{2}-2\sqrt{3}$$．

第五环节：课堂小结

（1）二次根式的化简：

二次根式的化简一定要化成最简二次根式．

（2）利用式子$$\sqrt{a^2}=a$$（$$a>0$$）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．

第六环节：课后作业

习题 2.11 1， 3

补充作业：

化简：（1）$$(2\sqrt{3}-2)(3\sqrt{6}+\sqrt{2})$$； （2）$$3\sqrt{2}(2\sqrt{\text{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+3\sqrt{\text{48}})$$；

（3）$$(\sqrt{\text{xy}}-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}})\cdot \sqrt{\text{xy}}(x\ge 0,y\ge 0)$$；

（4）$$(\sqrt{a^{3}b}+\sqrt{{\text{ab}}^3}-\text{ab})\cdot \sqrt{\text{ab}}(a\ge 0,b\ge 0)$$；

（5）$$2a\sqrt{3{\text{ab}}^2}-\frac{b}{6}\sqrt{\text{27}{a}^3}+2\text{ab}\sqrt{\frac{3}{4}a}(a\ge 0)$$．

答案：（1）$$\text{16}\sqrt{2}-4\sqrt{6}$$；（2）$$\text{48}\sqrt{6}-6$$；（3）$$\text{xy}-2y+x$$；（4）$$a^{2}b+{\text{ab}}^2-\text{ab}\sqrt{\text{ab}}$$；（5）$$\frac{5\text{ab}}{2}\sqrt{3a}$$．

四、教学反思

本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．

本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度．

《二次根式（第1课时）》教学设计

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二次根式教学设计

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