《二次根式（第1课时）》教学设计

一、学生起点分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．

二、教材任务分析

本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．

为此，确定本节课教学目标是：

1.认识二次根式和最简二次根式的概念；

2.探索二次根式的性质；

3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；

第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结.

第一环节：明晰概念

问题1 ：$$\sqrt{5}$$，$$\sqrt{\text{11}}$$，$$\sqrt{7\text{.}2}$$，$$\sqrt{\frac{\text{49}}{\text{121}}}$$，$$\sqrt{(c+b)(c-b)}$$（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？

答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子$$\sqrt{a}(a\ge 0)$$叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：$$a\ge 0$$、，也就是说二次根式具有双重非负性.

问题2：二次根式怎样进行运算呢？

答：这是我们本节课要解决的新问题．

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第二环节：探究性质

（一）内容：通过探究得出$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$，$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$．

具体过程如下：

（1）$$\sqrt{4}\times \sqrt{9}$$＝ ，$$\sqrt{4\times 9}$$＝ ；

$$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$$＝ ，$$\sqrt{\frac{4}{9}}$$＝ ；

＝ ，＝ ．

（2）用计算器计算：

$$\sqrt{6}\times \sqrt{7}$$＝ ，$$\sqrt{6\times 7}$$＝ ；$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$$＝ ，$$\sqrt{\frac{6}{7}}$$＝ ．

问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：你发现了什么规律，能用字母表示这个规律吗？

问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？

意图：最终归纳出$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$（a≥0，b≥0），$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（a≥0， b＞0）．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；

商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.

说明：（1）公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．如，；

（2），也就是说乘法法则可以推广；

（3），也就是说遇见带分数，必须先化成假分数，即.

第三环节：知识巩固

例1 化简（1）$$\sqrt{\text{81}\times \text{64}}$$；（2）$$\sqrt{\text{25}\times 6}$$；（3）$$\sqrt{\frac{5}{9}}$$。

观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2.化简：（1）；（2）$$\sqrt{\text{27}}$$；（3）$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$；（4）$$\sqrt{\frac{8}{9}}$$；（5）$$\sqrt{\frac{\text{125}}{\text{16}}}$$．

答案：（1）；

（2）；

（3）$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$=；

（4）$$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{4\times 2}}{3}=\frac{\sqrt{4}\times \sqrt{2}}{3}=\frac{2\times \sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$；

（5）$$\sqrt{\frac{\text{125}}{\text{16}}}=\frac{\sqrt{\text{125}}}{\sqrt{\text{16}}}=\frac{\sqrt{\text{25}\times 5}}{4}=\frac{\sqrt{\text{25}}\times \sqrt{5}}{4}=\frac{5\times \sqrt{5}}{4}=\frac{5\sqrt{5}}{4}$$．

问题：

（1）你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断$$\frac{\sqrt{\text{14}}}{7}$$是最简二次根式的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．

（1）在对二次根式进行化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另外一个数的积的形式；

（2）当被开方数是带分数时应化为假分数；

（3）二次根式无论是计算还是化简，结果必须化为最简形式.

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．

第四环节：知识拓展

说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去．

练习：

1.下列平方根中, 已经简化的是（ ）

A. B. C. D.

2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。

① （ ） ； ②（ ） ；

③ （ ）； ④（ ）.

你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？

第五环节：课堂小结

本节课主要内容：

（1）掌握并会运用公式：$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a\cdot b}$$（a≥0，b≥0），$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（a≥0，b＞0）．

（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．

四、教学反思

（一）关注类比，提出重点

本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．

（二）对运算技能要求恰当定位

根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求。

（三）分层教学

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．

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