函数的单调性与最值

第一节 函数的单调性与最值

一、“基础知识”掌握牢

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，区间D叫做y＝f(x)的_______．

2．函数的最值

二、“基本技能”运用好

1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是_______

A．y＝|x| B．y＝3－x

C．y＝ D．y＝－x2＋4

2．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

3．函数y＝在[2,3]上的最小值为________．

三、“基本思想”很重要

1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________．

3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．

考点一 确定函数的单调性或单调区间

1．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是_______

2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是_______

3．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．

判断函数的单调性和求单调区间的方法

[提醒] 求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解．

考点二 求函数的最值

考法(一) 利用性质求最值

[例1] (1)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

(2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．

考法(二) 利用换元法求最值

[例2] 函数f(x)＝x－的最小值为________．

：形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．

[过关集训]

1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

2．函数y＝x＋的最大值为________．

3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

考点三 函数单调性的应用

考法(一) 比较函数值的大小

[例1] 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．

考法(二) 解函数不等式

[例2] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．

考法(三) 求参数范围

[例3] 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．

[提醒] 讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值．

[过关集训]

1．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．

3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．

一、姊妹比比看

1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3的单调递增区间是(－∞，4)，则实数a的取值范围是________．

2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

二、方法串串烧(多题一法：图象法在求解函数单调区间、最值(值域)中的应用)

1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

2．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

三、结论通通用

[二级结论]

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a<0时具有相反的单调性．

(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．

2．复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．

1．函数f(x)＝log(x2－1)的单调递增区间是( )

2．函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

[达标综合练]

1．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )

A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

2.函数f(x)＝在R上是( )

A．减函数 B．增函数

C．先减后增 D．无单调性

3.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是_______

4.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为_______

5.函数f(x)＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是_______

6.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则( )

A．f(1)<f(2)<f(3) B．f(2)<f(3)<f(1)

C．f(3)<f(2)<f(1) D．f(3)<f(1)<f(2)

7.函数y＝的值域为________．

8．记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

9.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．若f(x)在上的值域是，求a=_______

[素养强化练]

1.[数学抽象、逻辑推理]已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是_______

2. [数学抽象、直观想象]已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)_______

3．[数学抽象、逻辑推理]函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

4．[数学抽象、逻辑推理]已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．

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