16题最值专题
武汉市中考数学第 16 题专题练习第一篇．最值基本图形 基本图形一：如图 1，AB 最小，P异于 P，则 AB B P A P ； 基本图形二：如图 2，作 A 点关于直线 l 的对称点A，P异于 P，则 B P A P PB PA PB A P ； 基本图形三：如图 3，延长 BA 交直线 l 于 P，P异于 P，则 PA PB AB A P B P ； 基本图形四：如图 4，分别作 A、B 两点的对称点，则 NB MN AM B N MN M A B N N M M A ； 基本图形五：如图 5，将 A 沿与河边垂直方向平移河宽至A，则 CB AD B A B C C A B C D A ； 基本图形六：如图 6，P 为 AB 上一点，AB=4，AC=2，DB=2，PD PC 最小值为 2 4，基本图形七：如图 7，PO 交⊙O 于 AB，则 P P P O PO OB PO PB ； AP P O AP OA PO P O P P ； 基本图形八：如图8，过P作异于CD的非直径弦 D C ，则 P O OP 进而得 P C CP ；由 C O P C 进而得 AB D C ； 基本图形九：如图 9，PQOQOPQ tan，Q PQ OQ P O tan，由 OQ Q O 得 Q P PQ 得Q PQ OPQOQ 故 Q P O OPQ ； 基本图形十：如图 10，由同弧所对的圆周角大于它所对的圆外角得 Q E P Q E P PEQ ； 其他方法一：垂线段最小； 其他方法二：利用二次函数求最大值最小值； 其他方法三：2 2b a ≥ ab 2 得224xx ≥ 422 xx ． 基本方法：把变化后的问题转化为基本问题 PABl P"PABl P"B AO PP"P"D"DCB AO PC"Q"NQB AOPMD" DCA"ABC"O"PQO xyE E” E"PlABP"1 图 2 图 3 图 4 图 5 图7 图 8 图 9 图 10 图河流草地NMA"B"lABM"N"6 图PBAP"CD
一．圆的直径有关最值问题 1．如图，点 O 为矩形 ABCD 的中心，3 AB，4 BC，过 O，D 两点的圆分别交边 AD、CD 于 M、N，则 MN 的最小值为_______________． 2．如图，△ABC 中， 90 ACB，8 BC AC，D 为 AB 的中点，过 C、D 两点的圆分别交边 AC、BC 于 E、F，则（1）△CEF 的面积的最大值为____________．（2）EF 的最小值为____________．（3）EF 的最大值为_____________． 3．如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长度为 3 2，以 AB 为直径作⊙M，点 C 为优弧 AB 上一点，连接 AC、BC 分别交⊙M于 D、E，则线段 CD 的最大值为_______________． 4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一定点，AC=3，BC=4，点 P 为⊙O 上一动点（与 C 在 AB 两侧，且不与AB 重合），CP CD 交 PB 延长线于 D，则PCDS △ 的最大值是_______________． 5．如图，在△ABC 中，12 AC AB，BC AD 于 D，3 AD，⊙O 是△ABC 的外接圆，当⊙O 的面积最大时，AB 的长为_______________． 二．面积最值（高的最值）1．如图，AB 是半圆的直径，线段 CA⊥AB 于 A，线段 DB⊥AB 于 B，2 AB，1 AC，3 BD，P 是半圆上一点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是____________． 2．如图，同心圆⊙O 中，小圆⊙O 和大圆⊙O 的半径分别为 10 2 和 5 3，点 A 为大圆⊙O 上一点，点 B 为小圆⊙O 上一点，若点 O、A、B 不在同一条直线上，则△OAB 的最大面积为_______________． 3．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆， 75 ACB， 45 BAC，6 AC，点 E 为半径为 1 的⊙C 上一点，设△ABE 的面积为 S，则 S 的取值范围是__________． 4．如图，⊙O 的直径 AB=2，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 且⊙O 于 E 交 AM、BN 于 D、C，则四边形 ABCD 面积 S 的最小值为_______________． NMODCAB题图 第1FEDB CAO题图 第2EDM ABOC题图 第3DCO A BP题图 第4DBOAC题图 第5DCB A OPOB AOBC AEECAB OD MN题图 第1 题图 第2 题图 第3 题图 第4HGF DAB CE题图 第5MDBAC题图 第6
5．如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接 CF 交 BD 于 G．连接 AG 交 BF 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_________________． 6．如图，在 ABC Rt△ 中， 90 ACB，D 为 AC 的中点，M 为 BD 的中点，将线段 AD 绕 A 点任意旋转（旋转过程中总是保持 M 为 BD 的中点），若 4 AC，3 BC，则线段 CM 的最大值是_______，线段 CM 的最小值是_______． 三．两条线段和最值 1．如图，矩形 ABCD 中，2 AB，1 BC，A、B 两点分别在 y 轴、x 轴正半轴上移动，则 OD 的最大值是__________． 2．已知边长为 2 的正△ABC 的两个顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴正半轴上移动，则 OC 的最大值是__________． 四．其它最值 1．如图，A 点是半圆上的一个三等分点 B 是 AN 的中点 P 是直径 MN 上一点，⊙O 的半径为 1，则 PA+PB 的最小值为__________． 2．如图，△ABC 中， 60 A，3 8 AC，9 3 4 AB，⊙O 与边 AB、AC 相切于 E、F，若⊙O 在变化过程中都是落在△ABC 内（含相切）时，则线段 AE 的最大值为________________． 3．如图，⊙O 的直径 AB=6，弦 CD⊥AB 于 H 点，⊙O分别切⊙O、AB、CD 于 E、F、G．则当⊙O的半径取最大值时，边 BC 的长度是___________． BAMONFEAB COCDAOyxB题图 第1CBO xyA题图 第2FEGCABODO"
4．如图，在锐角△ ABC 中，AB=4，BC=5，∠ ACB=45°，将△ ABC 绕点 B 旋转，得到△ A 1 BC 1 ．P 为 AB 的中点，在△1 1 BCA 旋转过程中，P 点和线段1 1 CA 上的任意点 Q 的最短距离是______，P 点和线段1 1 CA 上的任意点 Q 的最长距离是_____． 5． 如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥AB于点 P，若 CD=3，AB=8，PM= a，则 a 的最大值是_____________． 6．如图，半径为 1 的半圆 O 上有两个动点 C、D．若 CD=1，则四边形 ABCD 的面积的最大值是_____________． 7．在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为______________． 8．如图，在锐角△ ABC 中，AB=，∠ BAC=45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 边上的动点，则 BM+MN 的最小值是 ． 9．如图，ABC △ 内接于⊙O， 60 A，直径 DE∥BC 交 AC、AB 于 F、G，⊙O 的半径为 4，则线段 FG 的最大值是_____________． PA 1AC BC 1MDPAB OCMFEBC APG FE D OBCAHGF EDPBAC
