函数的单调性与导数练习题

A级 基础巩固

一、选择题

1．在下列结论中，正确的有( )

(1)单调增函数的导数也是单调增函数；

(2)单调减函数的导数也是单调减函数；

(3)单调函数的导数也是单调函数；

(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个

B．2个

C．3个

D．4个

2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )

A．a≤0

B．a<1

C．a<2

D．a≤

3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )

A．y＝sinx B．y＝xe2

C．y＝x3－x D．y＝lnx－x

5．y＝xlnx在(0,5)上是( )

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增

D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减

6．(2019·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )

二、填空题

7．(2019·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为____________

8．(2019·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cosx(0≤x≤2π)的单调递减区间为__________

三、解答题

9．(2018·天津理，20(1)改编)已知函数f(x)＝ax，其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间．

10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)·ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

B级 素养提升

一、选择题

1．(2019·和平区二模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为( )

A．(－1,2) B．(－2,1)

C．(－∞，－1) D．(2，＋∞)

2．(2019·黔东南州一模)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，则函数y＝lnf(x)的单调递增区间是( )

A．(kπ－，kπ＋](k∈Z)

B．[kπ－，kπ＋)(k∈Z)

C．[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)

D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)

3．若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )

A．[－1,1] B．[－1，]

C．[－，] D．[－1，－]

二、填空题

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.

(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为_____________.

(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为__________.

三、解答题

5．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0.

(1)求a，b，c的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

6．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f ′(x)＝0的两根．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

答案：

A级 基础巩固

1、[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，

(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．

2、[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.

3、[解析] ∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．

又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，

f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，

又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．

4、[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．

5、[解析] ∵y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，

∴当0<x<时，lnx<－1，即y′<0，

∴y在(0，)上单调递减．

当<x<5时，lnx>－1，即y′>0，

∴y在(，5)上单调递增．

6、[解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，

即有导数小于0，可排除C，D；

再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，

函数f(x)递减，再递增，后递减，

即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，

可排除A；则B正确．

故选B．

7、[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋)(x－1)．

令f′(x)>0，解得x>1或x<－.

函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(1，＋∞)．

故答案为(－∞，－)，(1，＋∞)．

8、[解析] ∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0，

∴sinx＞，

又∵x∈[0,2π]，∴x∈(，)，故答案为(，)．

9、[解析] 由已知，h(x)＝ax－xln a，有h′(x)＝axln a－ln a＝lna(ax－1)，

由a>1，得lna>0，令h′(x)>0得x>0，

令h′(x)<0，得x<0，

所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．

10、[解析] ∵f(x)＝(x2－2ax)ex，

∴f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex

＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，∵ex>0，

令f ′(x)>0，即x2＋2(1－a)x－2a>0，

得x<a－1－或x>a－1＋，

令f ′(x)<0得递减区间为a－1－<x<a－1＋，

∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.f(x)在区间(－1,1)上单调递减，

∴x2≥1，即a－1＋≥1，

∴a≥.

B级 素养提升

1、[解析] 因为函数f(x)，(x∈R)上任一点(x0，y0)的切线方程为

y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，

即函数在任一点(x0，y0)的切线斜率为k＝x－x0－2，

即知任一点的导数为f ′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，

由f ′(x)＜0，得－1＜x＜2，即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)．

故选A．

2、[解析] 由已知，化简得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，

又y＝lnf(x)与y＝f(x)的单调性相同且f(x)＞0，

所以2x＋∈(2kπ，2kπ＋]，

∴x∈(kπ－，kπ＋](k∈Z)，

故选A．

3、[解析] 函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，

则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，

所以，

解得－≤a≤.故选C．

4、[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．

(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，

∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，

∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．

(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有≥1，∴a≤0，

∴a的取值集合为{a|a≤0}．

5、[解析] (1)因为f ′(x)＝3ax2＋2bx，

所以f ′(1)＝3a＋2b，又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以3a＋2b＝－1，a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1，所以f(1)＝a＋b＋c＝c，由点(1，c)在直线x＋y＝1上，可得1＋c＝1，即c＝0，所以a＝－1，b＝1，c＝0.

(2)由(1)令f ′(x)＝－3x2＋2x＝0，

解得x1＝0，x2＝，

当x∈(－∞，0)时f ′(x)<0；当x∈(0，)时f ′(x)>0；

当x∈(，＋∞)时f ′(x)<0，

所以f(x)的增区间为(0，)，减区间为(－∞，0)和(，＋∞)．

6、[解析] (1)因为f ′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx

＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．

又x＝－2和x＝1为f ′(x)＝0的两根，

所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0.故有

解方程组得a＝－，b＝－1.

(2)因为a＝－，b＝－1，

∴f ′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．

令f ′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.

当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0；

当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x)<0，

∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．

导数与函数的单调性的教学反思

函数单调性与导数教学设计（共4篇）

函数的单调性与最值

函数单调性教学设计

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