2023届高考数学二轮专题复习讲义

阿基米德三角形的性质

【概念】

一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一即为阿基米德三角形）.

重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.

图（一） 图（二）

阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论.

【证明】：如图（三）是

中

边上的中线，则平行于轴（下面的性质1证明会证到），过作抛物线的切线，分别交、于，则

、

也是阿基米德三角形，可知

是

中

边上的中线，且

平行于轴，可得点

是的中点，同理

是的中点，故

是的中点，则

是

的

，由此可知：

是

的

，

是

的

，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的

，累加至无穷尽处，便证得重要结论.

【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

【证明】：设

A(x1,y1)

，

B(x2,y2)

，

M

为弦

AB

的中点，则过

A

的切线方程为

y1y=p(x+x1)

，过

B

的切线方程为

y2y=p(x+x2)

，联立方程，

y12=2px1

，

y22=2px2

，解得两切线交点

Q(y1y22p,y1+y22)

【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦

AB

过抛物线内的定点

C

，则另一顶点

Q

的轨迹为一条直线；

【证明】：设

A(x1,y1)

，

B(x2,y2)

，为抛物线内的定点，弦

AB

的过定点

C

，则过

A

的切线方程为

y1y=p(x+x1)

，过

B

的切线方程为

y2y=p(x+x2)

，则设另一顶点，满足且，故弦

AB

所在的直线方程为，又由于弦

AB

过抛物线内的定点，故，即点

Q

的轨迹方程为直线 .

【性质3】：抛物线以

C

点为中点的弦平行于

Q

点的轨迹；

【证明】：由【性质2】的证明可知：点

Q

的轨迹方程为直线 .因为点

C

为弦

AB

的中点，故

Q

的轨迹方程为，斜率；而弦

AB

所在的直线方程为，由【性质1】的证明可知：

，

，故弦

AB

所在的直线方程为，斜率，又因为直线

AB

与

Q

的轨迹方程不重合，故可知两者平行.

【性质4】：若直线

l

与抛物线没有公共点，以

l

上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线

方程为：

，则定点的坐标为

；

【证明】：任取直线

：

上的一点

，则有

，即

┅①，过点

作抛物线

的两条切线，切点分别为

，则又由【性质2】的证明可知：弦

AB

所在的直线方程为，把①式代入可得：

，即

，令

且

，可得：弦

AB

所在的直线过定点

.

【性质5】：底边为

a

的阿基米德三角形的面积最大值为

a38p

；

【证明】：

，设

到

的距离为

，由性质1知：

（直角边与斜边），

设直线

的方程为

，则

，

所以

.

【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点

Q

的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为

p2

；

【证明】：由性质2，若底边过焦点，则

，

点的轨迹方程是

，即为准线；易验证

，即

，故阿基米德三角形为直角三角形，且

为直角顶点。所以

，

而

.

【性质7】：在阿基米德三角形中，

∠QFA=∠QFB

；

【证明】：作

准线，

准线，连接

，则

，

显然

，所以

，又因为

，由三角形全等可得

，所以

同理可得

所以

【证明】：设

、

、

，可求得过

的切线交点

方程为：

，它和抛物线

准线的交点的纵坐标为

同理可知：

，它和抛物线准线的交点的纵坐标为：

【性质9】：

|AF|⋅|BF|=|QF|2

；

【证明】：

而

.

【性质10】：

QM

的中点

P

在抛物线上，且

P

处的切线与

AB

平行；

【证明】：由性质1知

，可得

点坐标为

，此点显然在抛物线上；过

点的切线斜率为

，结论得证.

【性质11】：抛物线上任取一点

I

（不与

A,B

重合），过

I

作抛物线切线交

QA

，

QB

于

S,T

，连接

AI,BI

，则

ΔABI

的面积是

ΔQST

面积的2倍.

【证明】：如图所示：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二可知：

ΔABI

的面积是弦

与抛物线围成的面积减去弦

和弦

与抛物线围成的面积，

即

（

），而

ΔQST

的面积则是

（

），故

ΔABI

的面积是

ΔQST

面积的2倍.

二、特殊的阿基米德三角形：过抛物线焦点

作抛物线的弦，与抛物线交于

两点，线段

的中点为

，分别过

两点做抛物线的切线

相交于

点，得到阿基米德三角形

，过

做准线的垂线，分别交准线于

点，该图形满足以下特性：

1、

点必在抛物线的准线上（性质6）；

点必在抛物线的准线上（性质6）；

点必在抛物线的准线上（性质6）；

2、

平行于

轴（性质1）且

是线段

的中点；

平行于

轴（性质1）且

是线段

的中点；

轴（性质1）且

是线段

的中点；

是线段

的中点；

的中点；

3、

为直角三角形，且角

为直角；

为直角三角形，且角

为直角；

为直角；

【证明】：如图：由

（中位线），

可得：

为直角.

4、

为直角三角形，且角

为直角；

【证明1】：如图：

，

，

且

，可知

，即：

为直角.

【证明2】：如图：

，

（性质7的证明），且

，

可得：

且

，故有：

，

即：

为直角.

5、

.

【证明】：如图：由

（由上式得），可得：

，

即：

.

6、若弦

的倾斜角为

，则

.

【证明】：

（这个结论证法很多）.

【高考案例】

1、（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线,且与抛物线分别相切于两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A、B坐标分别为

(x,x02)和(x1,x12)((x1≠x0)

，

∴切线AP的方程为：

2x0x−y−x02=0;

切线BP的方程为：

2x1x−y−x12=0;

解得P点的坐标为：

xP=x0+x12,yP=x0x1

所以△APB的重心G的坐标为 ，

yG=y0+y1+yP3=x02+x12+x0x13=(x0+x1)2−x0x13=4xP2−yp3,

所以

yp=−3yG+4xG2

，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

x−(−3y+4x2)−2=0,即y=13(4x2−x+2).

（2）方法1：因为

FA⃗=(x0,x02−14),FP⃗=(x0+x12,x0x1−14),FB⃗=(x1,x12−14).

由于P点在抛物线外，则

|FP⃗|≠0.

∴

cos∠AFP=FP⃗⋅FA⃗|FP⃗||FA⃗|=x0+x12⋅x0+(x0x1−14)(x02−14)|FP⃗|x02+(x02−14)2=x0x1+14|FP⃗|,

同理有

cos∠BFP=FP⃗⋅FB⃗|FP⃗||FB⃗|=x0+x12⋅x1+(x0x1−14)(x12−14)|FP⃗|x12+(x12−14)2=x0x1+14|FP⃗|,

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当

x1x0=0时,由于x1≠x0,不妨设x0=0,则y0=0,

所以P点坐标为

(x12,0)

，则P点到直线AF的距离为：

d1=|x1|2;而直线BF的方程:y−14=x12−14x1x,

即

(x12−14)x−x1y+14x1=0.

所以P点到直线BF的距离为：

d2=|(x12−14)x12+x14|(x12−14)2+(x1)2=(x12+14)|x1|2x12+14=|x1|2

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当

x1x0≠0

时，直线AF的方程：

y−14=x02−14x0−0(x−0),即(x02−14)x−x0y+14x0=0,

直线BF的方程：

y−14=x12−14x1−0(x−0),即(x12−14)x−x1y+14x1=0,

所以P点到直线AF的距离为：

d1=|(x02−14)(x0+x12)−x02x1+14x0|(x02−14)2+x02=|x0−x12)(x02+14)x02+14=|x0−x1|2

，同理可得到P点到直线BF的距离

d2=|x1−x0|2

，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB

2、(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF＝λFB（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明FM·AB为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB，

即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，

即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分

所以FM·AB＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0

所以FM·AB为定值，其值为0． ……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是S＝|AB||FM|＝(＋)3，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

3、（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

（1）若，求的值；（5分）

（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以

，即，

所以，即所以

（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以

因为，所以P为AB的中点。

4、（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）证明：由题意设．

由得，得，

所以，．

因此直线的方程为，

直线的方程为．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，

将其代入①、②并整理得：

，

，

所以是方程的两根，

因此，，

又，

所以．

由弦长公式得．

又，

所以或，

因此所求抛物线方程为或．

（Ⅲ）解：设，由题意得，

则的中点坐标为，

设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，

代入得．

若在抛物线上，则，

因此或．

即或．

（1）当时，则，此时，点适合题意．

（2）当，对于，此时，

，

又，，

所以，

即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴，

又，

所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．

5、（2008江西卷，理21题）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(1m，0)．

（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；

（2）求证：三点共线．

证明：（1）设，由已知得到，且，，

设切线的方程为：由得

从而,解得

因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，

即点都在直线上

又也在直线上,所以三点共线

（2）垂线的方程为：，

由得垂足，

设重心

所以 解得

由 可得即为重心所在曲线方程.

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