教辅：高考数学二轮复习考点-三角函数图象与性质

考点九三角函数的图象与性质 一、选择题 1．(2020·陕西西安中学第四次模拟)为得到函数y＝－sin2x 的图象，可将函数y＝sin的图象()A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案A 解析y＝－sin2x＝cos＝cos，y＝sin＝cos＝cos＝cos，则要得到函数y＝－sin2x的图象，可将函数y＝sin的图象向右平移π－＝个单位． 2．(2020·山东济宁嘉祥县一中考前训练二)若函数f(x)＝sinx＋cosx在[2π，α]上单调递增，则α的最大值为()A．3π B． C． D． 答案D 解析由题意可得f(x)＝sin，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，令k＝1，得≤x≤，所以α的最大值为.故选D.3．(2020·吉林第四次调研测试)函数f(x)＝sin＋asin的一条对称轴方程为x＝，则a＝()A．1 B． C．2 D．3 答案B 解析∵f(x)＝sin－acos＝·sin，其中tanφ＝a，函数f(x)的一条对称轴方程为x＝，∴f＝±，∴cos＋acos＝±，化简得a＝.4．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：

①f(x)的最小正周期为2π；

②f是f(x)的最大值；

③把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是()A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 答案B 解析因为f(x)＝sin，所以最小正周期T＝＝2π，故①正确；

f＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；

将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，故③正确．故选B.5．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)若f(x)＝sin(x∈[0，π]，ω>0)有零点，值域为M⊆，则ω的取值范围是()A.B． C． D． 答案D 解析x∈[0，π]，则ωx－∈，又f(x)有零点，值域为M⊆，故0≤ωπ－≤，解得≤ω≤.故选D.6．(2020·山东日照一模)已知函数f(x)＝sinωx和g(x)＝cosωx(ω>0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象()A．向左平移1个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移个单位 答案A 解析如图所示，令f(x)＝sinωx＝g(x)＝cosωx，则tanωx＝1，x＝＋，k∈Z.取靠近原点的三个交点，A，B，C，由△ABC为等腰直角三角形，得＋＝＝4，故ω＝，故f(x)＝sinx，g(x)＝cosx＝sin，故为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象向左平移1个单位．故选A.7．(多选)(2020·山东泰安四模)设函数g(x)＝sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，在(0,2π)上有且只有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 答案CD 解析依题意得f(x)＝g＝sin＝sin，T＝，如图，对于A，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故A不正确；

对于B，根据图象可知，xA≤2π

对于D，因为xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝，所以≤2π<，解得≤ω<，故D正确；

对于C，因为－＋T＝－＋×＝，由图可知f(x)在上单调递增，因为ω<<3，所以－＝<0，所以f(x)在上单调递增，故C正确．故选CD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为偶函数，且最小正周期为，则()A．y＝f(x)的图象关于对称 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)＝g在上有且仅有3个解 D．g(x)在上有且仅有3个极大值点 答案AC 解析函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝sin，再将横坐标缩短为原来的，可得g(x)＝sin，因为函数g(x)的最小正周期为，即＝，解得ω＝2，可得g(x)＝sin，又函数g(x)为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，当k＝1时，可得φ＝，所以f(x)＝sin，令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，即函数f(x)的图象关于对称，所以A正确；

当x∈时，<2x＋<，所以函数f(x)在区间上不是单调函数，所以B不正确；

由g(x)＝sin＝sin＝－cos4x，f(x)＝g，可得sin＝－cos2x，－sin2x＋cos2x＝0，－sin＝0，所以2x－＝kπ，k∈Z，x＝＋，k∈Z，又因为x∈，所以x＝，，所以f(x)＝g在上有且仅有3个解，所以C正确；

由x∈，得4x∈，当4x＝π或4x＝3π，即x＝或x＝时，g(x)取得极大值，所以g(x)在上有且仅有2个极大值点，所以D不正确．故选AC.二、填空题 9．已知函数f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________． 答案 解析因为f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函数，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，故当k＝0时，φ取得最小值.10．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________． 答案x＝－ 解析将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝3sin＝3sin，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，故与y轴最近的对称轴方程为x＝－.11．(2020·山东德州一模)若函数f(x)＝sin(ω>0)在上存在唯一极值点，且在上单调，则ω的取值范围为________． 答案<ω≤ 解析x∈，则ωx＋∈，故<ω＋≤，解得<ω≤，≥π－＝，故T≥π，ω≤2，即<ω≤2.x∈，则ωx＋∈，故ω＋∈，则πω＋≤，解得ω≤.综上所述，<ω≤.12．(2020·浙江宁波二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，最小正周期T∈，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________． 答案(k∈Z)解析由于f(x)的最小正周期T∈，ω>0，所以∈⇒2<ω<4.由于f(x)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，所以k1，k2∈Z，两式相加得2φ＝(k1＋k2)π＋，k1，k2∈Z，由于0<φ<，0<2φ<π，所以2φ＝⇒φ＝.则ω＋＝k1π⇒ω＝4k1－1，k1∈Z，结合2<ω<4可得ω＝3，所以f(x)＝sin.所以f(x)的最小正周期为T＝.由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 三、解答题 13.(2020·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，设h(x)＝g(x)＋f(x)，求函数h(x)在上的最大值． 解(1)由题意可得A＝2，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2，由f＝2sin＝－2，|φ|<，可得φ＝，所以f(x)＝2sin.(2)由题意可知g(x)＝2sin＝2sin2x，所以h(x)＝g(x)＋f(x)＝2sin2x＋2sin＝2sin2x＋2sin2xcos＋2cos2xsin＝3sin2x＋cos2x＝2sin.由x∈可得2x＋∈，所以函数h(x)在上的最大值为2.14．已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解(1)由题意得f(x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－.所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为1－.(2)令z＝2x－，则函数y＝sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，设A＝，B＝，易知A∩B＝，所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 一、选择题 1．(2020·山东枣庄二调)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是()A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)在上单调递增 D.是f(x)的一个极值点 答案D 解析∵f(x)＝sin，∴最小正周期为T＝＝π，A错误；

f＝sin＝，∴不是函数f(x)图象的对称中心，B错误；

当x∈时，2x－∈，f(x)单调递减，C错误；

f＝sin＝1是函数的最大值，∴是f(x)的一个极值点，D正确．故选D.2．若直线x＝aπ(00)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为()A.B． C.D． 答案A 解析将函数f(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos的图象；

再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)＝cos的图象．若g(x)在上的值域为，此时，ωx－∈，∴0≤－≤，求得≤ω≤，故选A.5．(2020·湖南湘潭三模)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值为1且单调递增，则2－a的最大值为()A．5 B．6 C．7 D．8 答案D 解析由题意可知，[a,2]⊆，f(2)＝2sin2ω＝1,2ω＝，ω＝，则amin＝－6，(2－a)max＝8.故选D.6．(2020·山东日照二模)已知函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0

因为ω＝1或ω＝3，故φ＝＋kπ或φ＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)不可能为偶函数，A错误；

由x＝为函数f(x)的对称轴，f(0)，f是关于x＝对称的两点的函数值，得f(0)＝f，B正确．故选BCD.8．(多选)(2020·山东省实验中学6月模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)，下面结论正确的是()A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2 B．存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 答案BCD 解析依题意f(x)＝－cos，ω>0，－1≤f(x)≤1.对于A，若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则＝π⇒＝π⇒ω＝1，故A错误；

对于B，当ω＝2时，f(x)＝－cos，向右平移个单位长度后得到y＝－cos＝－cos4x，其为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确；

对于C,0≤x≤2π，则≤2ωx＋≤4ωπ＋，若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则≤4ωπ＋<，解得≤ω<，故C正确；

对于D，－≤x≤，则－＋≤2ωx＋≤＋，若f(x)在上单调递增，则即由于k∈Z，ω>0，故k＝0,0<ω≤，所以D正确．故选BCD.二、填空题 9．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案 解析因为f(x)＝cosφsinx＋(sinφ＋1)cosx＝sin(x＋θ)，且f(x)的最大值为2，所以＝2，解得sinφ＝1，故可取φ＝.10．(2020·山东聊城一模)若函数f(x)＝sinx＋cosx在[0，a]上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案 解析由题意知，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，所以－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，令k＝0可得，－≤x≤，所以为函数f(x)的一个单调递增区间，因为函数f(x)在[0，a]上单调递增，所以0

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解(1)f(x)＝a·b＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值，为2sin＋1＝0；

当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，为2sin＋1＝3.故函数f(x)在区间上的最大值为3，最小值为0.14．已知函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)．(1)若φ＝，在给定的坐标系中，画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象；

(2)若y＝f(x)是偶函数，求φ；

(3)在(2)的前提下，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间． 解(1)当φ＝时，f(x)＝sin－cos＝sin2x＋cos2x－cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin.列表：

x 0 π y 1 2 0 －2 0 1 函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图：

(2)f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin.因为f(x)为偶函数，则y轴是f(x)图象的对称轴，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ＝.(3)由(2)知f(x)＝2sin＝2cos2x，将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝f的图象，所以g(x)＝f＝2cos.当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)在[0，π]上的单调递减区间为.

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