山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-对数与对数函数含答案解析

第 第 6 讲 讲 对数与对数函数 [考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3．通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数 y＝a x(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝log a x(a>0 且 a≠1)互为反函数． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测 2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现． 对应学生用书 P027 1.对数的概念 如果 a x ＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作□ 01x＝log a N，其中□ 02a 叫做对数的底数，□ 03N 叫做真数． 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 ①alogaN＝□ 01N(a>0，且 a≠1)；②log a a N ＝□ 02N(a＞0，且 a≠1)；③零和负数没有对数．

(2)对数的运算法则(a＞0，且 a≠1，M ＞0，N＞0)①log a(M·N)＝□03loga M＋log a N； ②log a MN ＝□04loga M－log a N； ③log a M n ＝□ 05nlog a M(n∈R)．(3)对数的换底公式 log a b＝ logc blog c a(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b＞0)． 3.对数函数的图象与性质 函数 y＝log a x(a>0，且 a≠1)图象 a>1 00，且 a≠1)性 质 定 义域 □ 04(0，＋∞)值域 R 单 调性 在(0，＋∞)上是□ 05增函数 在(0，＋∞)上是□ 06减函数 函 数 当 x＝1 时，y＝0

值 变化 规律 当 x>1 时，□ 07y>0； 当 01 时，□ 09y<0； 当 00 4.反函数 指数函数 y＝a x(a>0，且 a≠1)与对数函数□ 01y＝log a x(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□ 02y＝x 对称． 1.概念辨析(1)若 MN＞0，则 log a(MN)＝log a M＋log a N.()(2)若 a，b 均大于零且不等于 1，则 log a b＝1log b a.()(3)函数 y＝log a x 2 与函数 y＝2log a x 是相等函数．()(4)若 M＞N＞0，则 log a M＞log a N.()(5)对数函数 y＝log a x(a＞0 且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.小题热身(1)已知函数 y＝log a(x＋c)(a，c 为常数，其中 a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a＞1，c＞1 B.a＞1,0＜c＜1 C.0＜a＜1，c＞1 D.0＜a＜1,0＜c＜1 答案 D 解析 由选项可知，只需研究 c＞0 的情况．y＝log a x 的图象向左平移 c 个单位可得函数 y＝log a(x＋c)的图象，结合图象可知 0＜a＜1,0＜c＜1.(2)若 a＝log 0.2 0.3，b＝log 0.2 0.4，c＝2 0.2，则()A.a＜b＜c B．b＜a＜c C.b＜c＜a D．a＜c＜b 答案 B 解析 因为 y＝log 0.2 x 是减函数，所以 log 0.2 0.2＞log 0.2 0.3＞log 0.2 0.4，即 1＞a＞b.又 c＝2 0.2 ＞2 0 ＝1，所以 b＜a＜c.(3)有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若 lg x＝1，则 x＝10；④若log 2 2＝x，则 x＝1；⑤若 log m n·log 3 m＝2，则 n＝9.其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③④⑤ 解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg(ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n·log 3 m＝log 3 nlog 3 m ·log 3 m＝log 3 n＝2，故 n＝9，故⑤正确．(4)若函数 y＝f(x)是函数 y＝2 x 的反函数，则 f(2)＝________.答案 1 解析 由已知得 f(x)＝log 2 x，所以 f(2)＝log 2 2＝1.对应学生用书 P028 题型 一 对数式的化简与求值 1.计算 log 2 9×log 3 4＋2log 5 10＋log 5 0.25 等于()A.0 B．2 C．4 D．6 答案 D 解析 log 2 9×log 3 4＋2log 5 10＋log 5 0.25＝2log 2 3× log 2 4log 2 3 ＋log 5(102 ×0.25)＝4＋2＝6.2.设 2 a ＝5 b ＝m，且 1a ＋1b ＝2，则 m 等于()

A.10 B．10 C．20 D．100 答案 A 解析 由2 a ＝5 b ＝m，得a＝log 2 m，b＝log 5 m，所以 1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以 m＝ 10.3.已知 log 18 9＝a,18 b ＝5，则用 a，b 表示 log 36 45＝________.答案 a＋b2－a 解析 因为 log 18 9＝a,18 b ＝5，所以 log 18 5＝b，于是 log 36 45＝ log 18 45log 18 36 ＝log 18 9×51＋log 18 2＝a＋b1＋log 18 189＝ a＋b2－a.4.(2019·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝－e ax，若 f(ln 2)＝8，则 a＝________.答案 －3 解析 设 x>0，则－x<0.∵当 x<0 时，f(x)＝－e ax，∴f(－x)＝－e－ ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ ax，∴f(ln 2)＝e－ aln 2 ＝(e ln 2)－ a ＝2 － a.又 f(ln 2)＝8，∴2－ a ＝8，∴a＝－3.对数运算的一般思路(1)转化：①利用 a b ＝N⇔b＝log a N(a>0，且 a≠1)对题目条件进行转化．如举例说明 2.②利用换底公式化为同底数的对数运算．如举例说明 3.(2)恒等式：关注 log a 1＝0，log a a N ＝N，alogaN＝N 的应用．如举例说明 4.(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．如举例说明 3.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明 1.1.(2019·山东省实验中学模拟)已知正实数 a，b，c 满足 log 2 a＝log 3 b＝log 6 c，则()A.a＝bc B．b 2 ＝ac C.c＝ab D．c 2 ＝ab 答案 C 解析 设 log 2 a＝log 3 b＝log 6 c＝k，则 a＝2 k，b＝3 k，c＝6 k，所以 ab＝2 k ·3 k ＝(2×3)k ＝6 k ＝c.2.计算(lg 2)2 ＋lg 2×lg 50＋lg 25 的结果为________． 答案 2 解析 原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 5 2 ＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.3.设 35 x ＝49，若用含 x 的式子表示 log 5 35，则 log 5 35＝________.答案 22－x 解析 因为 35 x ＝49，所以 x＝log 35 49＝ log 5 49log 5 35 ＝2log 5 7log 5 35 ＝2log 5 355log 5 35 ＝ 2log5 35－1log 5 35，解得 log 5 35＝22－x.题型 二 对数函数的图象及应用 1.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝1a x，y＝log a x＋ 12(a>0，且a≠1)的图象可能是()

答案 D 解析 当 01时，函数 y＝a x 的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递增，于是函数 y＝1a x 的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递减，函数 y＝log a  x＋ 12的图象过定点  12，0，在－ 12，＋∞ 上单调递增．显然 A，B，C 都不符合．故选 D.2.当 01 时，显然不成立； 当 01 时，图象上升；01 和 00且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x 与g(x)＝－log b x的图象可能是()答案 B

解析 因为 lg a＋lg b＝0，所以 lg(ab)＝0，所以 ab＝1，即 b＝ 1a，故 g(x)＝－log b x＝－log 1a x＝log a x，则 f(x)与 g(x)互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称，结合图象知，B 正确.2.设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|＝c 的两个不同实数根，且 alog 0.5 0.5＝1.因为 y＝0.5 x 是减函数，所以 0.5＝0.5 1 0，log 12 －x，x<0，若 f(a)>f(－a)，则实数 a 的取值范围是

()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)答案 C 解析 若 a>0，则 log 2 a>log 12 a，即 2log 2 a>0，所以 a>1.若 a<0，则 log 12(－a)>log 2(－a)，即 2log 2(－a)<0，所以 0<－a<1，所以－10，∴2－ax 在区间[0,1]上是减函数．∴y＝log a u 应为增函数，且 u＝2－ax 在区间[0,1]上应恒大于零，∴   a>1，2－a>0，∴1log a b 借助 y＝log a x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0b 需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 y＝log a x的单调性求解 3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．如举例说明 3.(2)底数与 1 的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 1.(2019·遵义模拟)已知 a＝log 2 6，b＝log 5 15，c＝log 7 21，则 a，b，c 的大小关系为()A.a＜b＜c B．c＜b＜a C.c＜a＜b D．b＜c＜a 答案 B 解析 因为 a＝log 2 6＞log 2 4＝2，b＝log 5 15＝1＋log 5 3，c＝log 7 21＝1＋log 7 3，又 log 3 7＞log 3 5＞1，所以1log 3 7 ＜1log 3 5 ＜1，即 log 7 3＜log 5 3＜1，所以 c＜b＜2＜a.2.函数 y＝ log 23 2x－1的定义域是()A.[1,2] B．[1,2)

C. 12，1 D. 12，1 答案 D 解析 要使函数解析式有意义，须有 log 23(2x－1)≥0，所以 0<2x－1≤1，所以 12

解析 f  12＝log 2 12 ＝－1.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知 a＝log 2 0.2，b＝2 0.2，c＝0.2 0.3，则()A.a1,0c>a.故选 B.3.函数 f(x)＝log a(x＋b)的大致图象如图，则函数 g(x)＝a x －b 的图象可能是()答案 D 解析 由图象可知 0

A. 23，1 B. 23，34 C. 34，1 D. 0，23 答案 A 解析 由 log a 23 >1>log14 a，得  log a 23 >1，①log 14 a<1，② 由①得，当 a>1 时，a< 23，此时 a∈∅；当 023，则23 14.因此23

B.f(x)在(0,2)上单调递减 C.y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称 D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案 C 解析 f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln(－x 2 ＋2x)．设 u＝－x 2 ＋2x，x∈(0,2)，则 u＝－x 2 ＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又 y＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x 2 ＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B 错误．∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴C 正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为 0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D 错误．故选 C.8.计算：log 2 3·log 3 8＋(3)log34＝________.答案 5 解析 原式＝ lg 3lg 2 ·3lg 2lg 3＋3 12 log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.9.已知函数 y＝log a(x－1)(a＞0，且 a≠1)的图象过定点 A，若点 A 也在函数 f(x)＝2 x ＋b 的图象上，则 f(log 2 3)＝________.答案 －1 解析 函数 y＝log a(x－1)(a＞0，且 a≠1)的图象过定点 A(2,0)，因为点 A 在函数 f(x)＝2 x ＋b 的图象上，所以 2 2 ＋b＝0，所以 b＝－4.f(x)＝2 x －4.所以 f(log 2 3)＝2log 2 3－4＝3－4＝－1.10.已知函数 y＝log a x(2≤x≤4)的最大值比最小值大 1，则 a 的值为________． 答案 2 或 12 解析 ①当 a>1 时，y＝log a x 在[2,4]上为增函数． 由已知得 log a 4－log a 2＝1，所以 log a 2＝1，所以 a＝2.②当 0

上单调递增，且 b＝lg 0.9，c＝2 0.9，则()A.c0，得－1b>1，若 log a b＋log b a＝ 52，ab ＝b a，则 a＝________，b＝________.答案 4 2 解析 令 log a b＝t，∵a>b>1，∴0

aa ＝a a2，亦即 a＝a2，解得 a＝4，∴b＝2.6.若函数 f(x)＝log a(x 2 －ax＋1)(a＞0 且 a≠1)没有最小值，则 a 的取值范围是________． 答案(0,1)∪[2，＋∞)解析 当 0＜a＜1 时，函数 f(x)＝log a(x 2 －ax＋1)(a＞0 且 a≠1)没有最小值，当 a＞1 时，若函数 f(x)＝log a(x 2 －ax＋1)(a＞0 且 a≠1)没有最小值，则 x 2 －ax＋1≤0 有解，所以 Δ＝a 2 －4≥0，解得 a≥2，综上可知，a 的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞).

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