山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-解答题专项突破（五）圆锥曲线综合问题含答案解析

解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现． 热点题型 1 圆锥曲线中的定点问题 典例 1(2019·广州二模)已知抛物线 y 2 ＝4x 的焦点 F 与椭圆 C：

x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的一个焦点重合，且点 F 关于直线 y＝x 的对称点在椭圆上．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 Q0，－ 13 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 点的坐标，若不存在，说明理由． 解题思路(1)求出抛物线的焦点 F 关于直线 y＝x 的对称点，结合已知条件及a，b，c 的关系，求解椭圆的标准方程．(2)假设存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点，求出 AB 垂直于两坐标轴时以 AB 为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论． 规范解答(1)由抛物线 y 2 ＝4x，得其焦点为 F(1,0)，从而得点 F 关于直线 y＝x 的对称点为(0,1)，故 b＝1，c＝1，因此 a＝ 2，∴椭圆 C 的标准方程为 x22 ＋y2 ＝1.(2)假设存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点． 当 AB⊥x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ＋y 2 ＝1.① 当 AB⊥y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ＋y＋ 132 ＝ 169.② 联立①②，得   x＝0，y＝1，∴定点 M(0,1)．

证明：设直线 l：y＝kx－ 13，代入x 22 ＋y2 ＝1，有(2k 2 ＋1)x 2 － 43 kx－169＝0.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1 ＋x 2 ＝4k32k 2 ＋1，x 1 x 2 ＝－1692k 2 ＋1.则MA→＝(x 1，y 1 －1)，MB→＝(x 2，y 2 －1)； MA→·MB→＝x 1 x 2 ＋kx 1 － 43 kx 2 －43 ＝(1＋k 2)x 1 x 2 － 43 k(x 1 ＋x 2)＋169 ＝(1＋k 2)·－1692k 2 ＋1 －43 k·4k32k 2 ＋1 ＋169＝0，所以在 y 轴上存在定点 M(0,1)，使以 AB 为直径的圆恒过这个定点． 典例 2(2019·北京高考)已知椭圆 C：

x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1 的右焦点为(1,0)，且经过点 A(0,1)．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为原点，直线 l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线 l经过定点． 解题思路(1)由已知条件直接求 b，c.再依据 a 2 ＝b 2 ＋c 2 求 a，写出椭圆 C 的方程．(2)设 P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，写出直线 AP 的方程，求 x M.利用 y 1 ＝kx 1 ＋t 和|OM|＝|x M |，把|OM|用 k，t，x 1 表示，同理表示|ON|，直线 l 与椭圆 C 的方程联立，推出 x 1 ＋x 2，x 1 x 2.利用|OM|·|ON|＝2，求 t，从而得到定点． 规范解答(1)由题意，得 b 2 ＝1，c＝1，所以 a 2 ＝b 2 ＋c 2 ＝2.所以椭圆 C 的方程为 x22 ＋y2 ＝1.(2)证明：设 P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则直线 AP 的方程为 y＝ y1 －1x 1x＋1.令 y＝0，得点 M 的横坐标 x M ＝－x 1y 1 －1.又 y 1 ＝kx 1 ＋t，从而|OM|＝|x M |＝  x 1kx 1 ＋t－1.同理，|ON|＝  x 2kx 2 ＋t－1.由 y＝kx＋t，x 22 ＋y2 ＝1，得(1＋2k 2)x 2 ＋4ktx＋2t 2 －2＝0，则 x 1 ＋x 2 ＝－4kt1＋2k 2，x 1 x 2 ＝2t 2 －21＋2k 2.所以|OM|·|ON|＝  x 1kx 1 ＋t－1·x 2kx 2 ＋t－1 ＝  x 1 x 2k 2 x 1 x 2 ＋kt－1x 1 ＋x 2 ＋t－1 2 ＝2t 2 －21＋2k 2k 2 ·2t 2 －21＋2k 2 ＋kt－1· －4kt1＋2k 2＋t－1 2 ＝2   1＋t1－t.又|OM|·|ON|＝2，所以 2   1＋t1－t＝2.解得 t＝0，所以直线 l 经过定点(0,0)． 热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题 典例 1(2019·全国卷Ⅰ)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|＝4，⊙M过点 A，B 且与直线 x＋2＝0 相切．(1)若 A 在直线 x＋y＝0 上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解题思路(1)由点 A，B 关于坐标原点 O 对称和点 A 在直线 x＋y＝0 上知，点 A，B 都在直线 x＋y＝0 上，于是得点 M 在线段 AB 的垂直平分线，即 y＝x 上，设圆心 M 为(a，a)．根据⊙M 与直线 x＝－2 相切和MO→⊥AO→，求 a 从而得到⊙M的半径．(2)联系第(1)问求圆心 M 坐标的方法．找等量关系，求出 M 的轨迹方程，进而利用相应曲线的性质求|MA|，|MP|，判断|MA|－|MP|是否为定值． 规范解答(1)因为⊙M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上．由已知 A 在直线 x＋y＝0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y＝x 上，故可设圆心 M 为(a，a)． 因为⊙M 与直线 x＋2＝0 相切，所以⊙M 的半径为 r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO→⊥AO→，故可得 2a 2 ＋4＝(a＋2)2，解得 a＝0 或 a＝4.故⊙M 的半径 r＝2 或 r＝6.(2)存在定点 P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下：

设圆心 M 为(x，y)，由已知，得⊙M 的半径为 r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO→⊥AO→，故可得 x 2 ＋y 2 ＋4＝(x＋2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y 2 ＝4x.因为曲线 C：y 2 ＝4x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x＝－1 为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点 P(1,0)． 典例 2(2019·青岛三模)已知 O 为坐标原点，点 F 1，F 2 为椭圆 M：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，G 为椭圆 M 上的一个动点，△GF 1 F 2 的最大面积为 3，椭圆 M 的离心率为 12.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)过抛物线 N：x 2 ＝ 4 33y 上的一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A，B 两点，设 AB 的中点为 C，直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k 1，k 2，证明：k 1 k 2 为定值．

解题思路(1)根据题意，列方程组，结合 a，b，c 的关系即可求得 a 和 b 的值，进而求得椭圆方程．(2)通过求导求得直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，即可求得 k 1 k 2 为定值． 规范解答(1)因为△GF 1 F 2 的最大面积为 3，椭圆 M 的离心率为 12.所以 12 ×2c×b＝ 3，ca ＝12，又因为 a 2 ＝b 2 ＋c 2，所以 a＝2，b＝ 3，所以椭圆 M的标准方程为 x24 ＋y 23 ＝1.(2)证明：设 Pt，3t 24，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为抛物线方程 N：y＝34x 2，对其求导得 y′＝32x，则直线 AB 的方程为 y＝32t(x－t)＋34t 2 ＝3t2x－34t 2，将直线 AB 的方程代入椭圆方程 x24 ＋y 23 ＝1，可得 12(1＋t 2)x 2 －12t 3 x＋3t 4 －48＝0，因为 x 1 ＋x 2 ＝t 31＋t 2，y 1 ＋y 2 ＝3t2(x 1 ＋x 2)－3t 22＝－ 3t 221＋t 2 ，所以点 Ct 321＋t 2 ，－3t 241＋t 2 ，所以 k 1 ＝3t4，k 2 ＝－32t，所以 k 1 k 2 ＝－ 38.热点题型 3 圆锥曲线中的证明问题 典例 1 已知抛物线 C：x 2 ＝2py(p>0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点．(1)若 AB∥l，且△ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；

(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切． 解题思路(1)判断△ABD 的形状，求|FD|，|AB|.由△ABD 的面积为 1，列方程求 p，得抛物线的方程．(2)将直线 AB 的方程与抛物线 C 的方程联立，消去 y 并整理，结合根与系数的关系用 k，p 表示 M，N 的坐标．求 k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切． 规范解答(1)∵AB∥l，∴△ABD 为等腰三角形，且 FD⊥AB，又|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S △ ABD ＝p 2 ＝1.∴p＝1，故抛物线 C 的方程为 x 2 ＝2y.(2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋ p2，A x 1，x212p，B  x 2，x222p.由 y＝kx＋ p2，x 2 ＝2py消去 y 整理得，x 2 －2kpx－p 2 ＝0.∴x 1 ＋x 2 ＝2kp，x 1 x 2 ＝－p 2.∴M  kp，k 2 p＋ p2，N  kp，－ p2.∴k AN ＝x 2 12p ＋p2x 1 －kp ＝x 2 12p ＋p2x 1 － x1 ＋x 22 ＝x 2 1 ＋p 22px 1 －x 22＝x 2 1 －x 1 x 22px 1 －x 22＝ x1p.又 x 2 ＝2py，∴y′＝ xp.∴抛物线 x 2 ＝2py 在点 A 处的切线的斜率 k′＝ x1p.∴直线 AN 与抛物线相切．

典例 2(2019·福州三模)已知椭圆 C：

x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左焦点为 F(－1,0)，过 F 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 M(－4,0)，过 F 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，证明：∠FMA＝∠FMB.解题思路(1)根据焦点坐标求 c，由点－c，b2a在椭圆上和过 F 且垂直于 x 轴的弦长为 3，列出关于 a，b 的方程，结合 a 2 ＝b 2 ＋c 2 求出 a，b，得出椭圆的方程．(2)先讨论直线 l 斜率不存在的情况，再讨论直线 l 斜率存在的情况．设直线 l的斜率为 k，列出直线 l 的方程，并与椭圆方程联立，消元得到关于 x 的方程．根据根与系数的关系计算出 k AM ＋k BM ＝0，从而得出结论． 规范解答(1)由题意，知 c＝1，把 x＝－1 代入椭圆方程，得1a 2 ＋y 2b 2 ＝1，解得 y＝±b 2a，∴ b2a＝ 32，又 a2 ＝b 2 ＋1，得 a＝2，b＝ 3，∴椭圆的方程为 x24 ＋y 23 ＝1.(2)证明：当直线 l 斜率不存在时，由对称性知 ∠FMA＝∠FMB； 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2 ＋8k 2 x＋4k 2 －12＝0，设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1 ＋x 2 ＝－8k 23＋4k 2，x 1 x 2 ＝4k 2 －123＋4k 2，∴k AM ＋k BM ＝y 1x 1 ＋4 ＋y 2x 2 ＋4 ＝ kx1 ＋1x 2 ＋4＋kx 2 ＋1x 1 ＋4x 1 ＋4x 2 ＋4 ＝ k[2x1 x 2 ＋5x 1 ＋x 2 ＋8]x 1 ＋4x 2 ＋4，∵2x 1 x 2 ＋5(x 1 ＋x 2)＋8＝ 8k2 －243＋4k 2－40k 23＋4k 2 ＋8＝0，∴k AM ＋k BM ＝0，∴∠FMA＝∠FMB.综上，∠FMA＝∠FMB.热点题型 4 圆锥曲线中的最值与范围问题 典例 1(2019·包头二模)设 F 为抛物线 C：y 2 ＝2px 的焦点，A 是 C 上一点，FA 的延长线交 y 轴于点 B，A 为 FB 的中点，且|FB|＝3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 M，N 两点，直线 l 2与 C 交于 D，E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值． 解题思路(1)由题意画出图形，结合已知条件列式求得 p，则抛物线 C 的方程可求．(2)由已知直线 l 1 的斜率存在且不为 0，设其方程为 y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，求出|MN|，同理可求|DE|实际上，在|MN|的表达式中用－ 1k 代替 k 即可，可得四边形 MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值． 规范解答(1)如图，∵A 为 FB 的中点，∴A 到 y 轴的距离为 p4，∴|AF|＝ p4 ＋p2 ＝3p4＝ |FB|2＝ 32，解得 p＝2.∴抛物线 C 的方程为 y 2 ＝4x.(2)由已知直线 l 1 的斜率存在且不为 0，设其方程为 y＝k(x－1)． 由   y＝kx－1，y 2 ＝4x，得 k 2 x 2 －(2k 2 ＋4)x＋k 2 ＝0.∵Δ>0，设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，∴x 1 ＋x 2 ＝2＋4k 2，则|MN|＝x 1 ＋x 2 ＋2＝41＋1k 2 ；同理设 D(x 3，y 3)，E(x 4，y 4)，∴x 3 ＋x 4 ＝2＋4k2，则|DE|＝x 3 ＋x 4 ＋2＝4(1＋k 2)．∴

四边形 MDNE 的面积 S＝ 12 |MN|·|DE|＝82＋k2 ＋ 1k 2 ≥32.当且仅当 k＝±1 时，四边形MDNE 的面积取得最小值 32.典例 2 如图，椭圆 C：

x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的右顶点为 A(2,0)，左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 A 且斜率为 12 的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 P 且斜率大于 12 的直线与椭圆交于 M，N 两点(|PM|>|PN|)，若 S △ PAM ∶S△ PBN ＝λ，求实数 λ 的取值范围． 解题思路(1)求点 B 的坐标→根据 k AB ＝ 12 列方程→由题意得 a＝2，a2 ＝b 2 ＋c 2，解方程组求 a，b，c，写出椭圆 C 的标准方程．(2)S △ PAM ∶S △ PBN ＝λ ――→面积公式 PM →与PN→ 的关系→点 M，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 整理→用根与系数的关系得出点 M，N 的坐标之间的关系式→推出 λ 与 k 的关系，并根据 k> 12 求范围，找到 λ 所满足的不等式，求出 λ 的取值范围． 规范解答(1)因为 BF 1 ⊥x 轴，所以点 B  －c，－ b2a，所以 a＝2，b 2aa＋c ＝12，a 2 ＝b 2 ＋c 2⇒ a＝2，b＝ 3，c＝1，所以椭圆 C 的标准方程是 x24 ＋y 23 ＝1.(2)因为 S△ PAMS △ PBN ＝12 |PA|·|PM|·sin∠APM12 |PB|·|PN|·sin∠BPN ＝ 2·|PM|1·|PN| ＝λ⇒|PM||PN| ＝λ2(λ>2)，所以PM→＝－ λ2 PN→.由(1)可知 P(0，－1)，设直线 MN：y＝kx－1  k> 12，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立方程，得 y＝kx－1，x 24 ＋y 23 ＝1，化简得，(4k 2 ＋3)x 2 －8kx－8＝0.得 x 1 ＋x 2 ＝8k4k 2 ＋3，x 1 x 2 ＝－84k 2 ＋3.(*)又PM→＝(x 1，y 1 ＋1)，PN→ ＝(x 2，y 2 ＋1)，有 x 1 ＝－ λ2 x 2，将 x 1 ＝－ λ2 x 2代入(*)可得，2－λ2λ＝16k 24k 2 ＋3.因为 k> 12，所以16k 24k 2 ＋3 ＝163k 2 ＋4∈(1,4)，则 1< 2－λ2λ<4 且 λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数 λ 的取值范围为(4,4＋2 3)． 热点题型 5 圆锥曲线中的探索性问题 典例 1(2019·巢湖一模)已知抛物线 E：y 2 ＝4x，圆 C：(x－3)2 ＋y 2 ＝1.(1)若过抛物线 E 的焦点 F 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程；(2)在(1)的条件下，若直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，x 轴上是否存在点 M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O 为坐标原点)？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解题思路(1)求得抛物线的焦点，设出直线 l 的方程，运用直线 l 和圆 C 相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出 A，B 的坐标，联立直线 l 的方程和抛物线 E 的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即 k AM ＋k BM ＝0 列方程化简整理，解方程可得 t，即得点 M 的坐标，从而得到结论． 规范解答(1)由题意，得抛物线的焦点 F(1,0)，当直线 l 的斜率不存在时，过F 的直线不可能与圆 C 相切，所以直线 l 的斜率存在．设直线 l 的斜率为 k，方程为 y＝k(x－1)，即 kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线 l 的距离为 d＝|3k－k|1＋k 2 ＝2|k|1＋k 2，当直线 l 与圆 C 相切时，d＝r＝1，解得 k＝±33，即直线 l 的方程为 y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线 l 的方程为 y＝33(x－1)时，设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立抛物线 E 的方程可得 x 2 －14x＋1＝0，则 x 1 ＋x 2 ＝14，x 1 x 2 ＝1，x 轴上假设存在点 M(t,0)使∠AMO＝∠BMO，即有 k AM ＋k BM ＝0，得y 1x 1 －t ＋y 2x 2 －t ＝0，即 y 1(x 2 －t)＋y 2(x 1 －t)＝0，由 y 1 ＝33(x 1 －1)，y 2 ＝33(x 2 －1)，可得 2x 1 x 2 －(x 1 ＋x 2)－(x 1 ＋x 2 －2)t＝0，即 2－14－12t＝0，即 t＝－1，M(－1,0)符合题意； 当直线 l 的方程为 y＝－33(x－1)时，由对称性可得 M(－1,0)也符合条件． 所以存在定点 M(－1,0)使∠AMO＝∠BMO.典例 2(2019·汕头模拟)已知点 A(0，－1)，B(0,1)，P 为椭圆 C：

x22 ＋y2 ＝1上异于点 A，B 的任意一点．(1)求证：直线 PA，PB 的斜率之积为－ 12 ；(2)是否存在过点 Q(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，使得|BM|＝|BN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 解题思路(1)设点 P(x，y)(x≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证．(2)假设存在直线 l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆 C 不相交，讨论直线的斜率是否为 0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM|＝|BN|想到在△BMN 中，边 MN 所在直线的斜率与 MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程． 规范解答(1)证明：设点 P(x，y)(x≠0)，则 x22 ＋y2 ＝1，即 y 2 ＝1－ x22，∴k PA ·k PB ＝ y＋1x·y－1x＝ y2 －1x 2 ＝1－ x22 －1x 2＝－ 12，故得证．(2)假设存在直线 l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆 C 不相交． ①当直线 l 的斜率 k≠0 时，设直线 l 为 y＝k(x＋2)，联立椭圆方程 x 2 ＋2y 2 ＝2，化简得(1＋2k 2)x 2 ＋8k 2 x＋8k 2 －2＝0，由 Δ＝64k 4 －4(1＋2k 2)(8k 2 －2)>0，解得－22

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