山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-导数概念及运算含答案解析

第 第 10 讲 讲 导数的概念及运算 [考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x 2，y＝x 3，y＝ 1x，y＝ x的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档． 对应学生用书 P042 1.变化率与导数(1)平均变化率 概念 对于函数 y＝f(x)，□ 01 fx2 －fx 1 x 2 －x 1＝ ΔyΔx 叫做函数 y＝f(x)从 x 1到 x 2 的平均变化率 几何 意义 函数 y＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))连线的□ 02斜率 物理 意义 若函数 y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则 ΔyΔx 就是该质点在[x 1，x 2 ]上的□ 03平均速度

(2)导数 定义 一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x 0 处的瞬时变化率 limΔx→0 ΔyΔx ＝ limΔx→0 fx 0 ＋Δx－fx 0 Δx，称它为函数 y＝f(x)在□ 04x＝x 0 处的导数，记为□ 05f′(x 0)或 y′|x＝x0，即□ 06f′(x 0)＝ limΔx→0 ΔyΔx ＝ limΔx→0 fx 0 ＋Δx－fx 0 Δx 几何 意义 函数 y＝f(x)在点 x＝x 0 处的导数 f′(x 0)就是函数图象在该点处切线的□ 07斜率．曲线 y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程是□ 08y－f(x 0)＝f′(x 0)(x－x 0)续表 物理 意义 函数 y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则函数在 x＝x 0 处的导数就是质点在 x＝x 0 时的□ 09瞬时速度 2.导数的运算 常用 导数 公式 原函数 导函数 特例或推广 常数 函数 C′＝0(C 为常数)—幂函数(x α)′＝αx α－ 1(α∈Q *)1x′＝□01－1x 2 三角 函数(sinx)′＝□ 02cosx，(cosx)′＝□ 03－sinx 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数，周期函数的导数是周期函数 指数 函数(a x)′＝□04ax ln_a(a>0，且 a≠1)(e x)′＝□05ex 对数 函数(log a x)′＝□ 061xln a(x>0，a>0，且 a≠1)(ln x)′＝□ 07 1x(x>0)四则 加减 [f(x)±g(x)]′＝—

运算 法则 □ 08f_′(x)±g′(x)乘法 [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)[cf(x)]′ ＝cf ′(x)除法  fxgx′＝ f ′xgx－g′xfxg 2 x 1gx′ ＝ －g′xg 2 x 1.概念辨析(1)f′(x 0)与(f(x 0))′表示的意义相同．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)曲线 y＝f(x)在点 P(x 0，y 0)处的切线与过点 P(x 0，y 0)的切线相同．()(4)函数 f(x)＝sinπ 的导数 f′(x)＝cosπ.()答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()①(3 x)′＝3 x log 3 e；②(log 2 x)′＝1x·ln 2 ； ③(x 2 e x)′＝2x＋e x ；④  1ln x′＝x.A.1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 ①中，(3 x)′＝3 x ln 3，错误；②中，(log 2 x)′＝1x·ln 2，正确；③中，(x2 e x)′＝(x 2)′e x ＋x 2(e x)′＝(2x＋x 2)e x，错误；④中，1ln x′＝0·ln x－ 1xln x 2＝－1xln x 2，错误，因此求导运算正确的个数为 1.(2)有一机器人的运动方程为 s＝t 2 ＋ 3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为()

A.194 B.174 C.154 D.134 答案 D 解析 s′＝  t 2 ＋ 3t′＝2t－ 3t 2，当 t＝2 时，s′＝2×2－32 2 ＝134，所以该机器人在 t＝2 时的瞬时速度为 134.(3)函数 f(x)＝x 3 ＋4x＋5 的图象在 x＝1 处的切线在 x 轴上的截距为()A.10 B．5 C．－1 D．－ 37 答案 D 解析 ∵f(x)＝x 3 ＋4x＋5，∴f′(x)＝3x 2 ＋4，∴f′(1)＝7，即切线的斜率为 7，又 f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，∴切线的方程为 y－10＝7(x－1)，当 y＝0 时，x＝－ 37，切线在 x 轴上的截距为－37.(4)已知直线 y＝－x＋1 是函数 f(x)＝－ 1a ·ex 图象的切线，则实数 a＝________.答案 e 2 解析 设切点为(x 0，y 0)，则 f′(x 0)＝－ 1a ·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－1a ·ex0＝－x 0 ＋1，∴x 0 ＝2，a＝e 2.对应学生用书 P043 题型 一 导数的运算

1.(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x)＝x 3＋  f′  23x 2 －x，则 f′(1)＝________.答案 0 解析 因为 f(x)＝x 3 ＋  f′  23x 2 －x，所以 f′(x)＝3x 2 ＋2  f′  23x－1.所以 f′  23＝3×  232 ＋2 f′  23× 23 －1.解得 f′  23＝－1.所以 f′(x)＝3x 2 －2x－1，所以 f′(1)＝0.2.求下列函数的导数：

(1)y＝(2x 2 －1)(3x＋1)；(2)y＝x－sin x2 cosx2 ；(3)y＝e x cosx；(4)y＝ ln xx 2.解(1)因为 y＝(2x 2 －1)(3x＋1)＝6x 3 ＋2x 2 －3x－1，所以 y′＝18x 2 ＋4x－3.(2)因为 y＝x－sin x2 cosx2，所以 y＝x－ 12 sinx，所以 y′＝1－ 12 cosx.(3)y′＝(e x cosx)′＝(e x)′cosx＋e x(cosx)′ ＝e x cosx－e x sinx＝e x(cosx－sinx)．(4)y′＝ ln x′x2 －ln xx 2 ′x 2  2＝1x ·x2 －ln x·2xx 4＝ 1－2ln xx 3.1.谨记一个原则 先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明 2(1)．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明 2(2).求下列函数的导数：

(1)y＝ln x＋ 1x ；(2)y＝sinxx；(3)y＝x 2 cosx.解(1)y′＝  ln x＋ 1x′＝(ln x)′＋  1x′＝ 1x －1x 2.(2)y′＝  sinxx′＝ sinx′x－sinx·x′x 2＝ xcosx－sinxx 2.(3)y′＝(x 2)′cosx＋x 2(cosx)′＝2xcosx＋x 2(－sinx)＝2xcosx－x 2 sinx.题型 二 导数的几何意义 角度 1 求切线方程 1.过点(1，－2)且与 y＝x 3 －3x 相切的直线方程为()A.y＝－2 或 9x＋4y－1＝0 B.y＝－2 C.9x＋4y＋1＝0 D.y＝0 或 9x＋4y＋1＝0 答案 A 解析 y′＝3x 2 －3，设切点坐标为(x 0，x 3 0 －3x 0)，此时在切点处的斜率为 y′x

＝x0＝3x 2 0 －3，所以切线方程为 y－(x 3 0 －3x 0)＝(3x 2 0 －3)(x－x 0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得 2x 3 0 －3x 2 0 ＋1＝0，即(x 0 －1)2(2x 0 ＋1)＝0，解得 x 0 ＝1或 x 0 ＝－ 12，分别代入切线方程可得 y＝－2 或 9x＋4y－1＝0.2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x 2 ＋x)e x 在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y＝3x 解析 y′＝3(2x＋1)e x ＋3(x 2 ＋x)e x ＝e x(3x 2 ＋9x＋3)，∴斜率 k＝e 0 ×3＝3，∴切线方程为 y＝3x.角度 2 求切点坐标 3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x 3 ＋ax 2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x 0，f(x 0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为()A.(0,0)B．(1，－1)C.(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)答案 D 解析 f′(x)＝(x 3 ＋ax 2)′＝3x 2 ＋2ax，由题意得 f′(x 0)＝－1，x 0 ＋f(x 0)＝0，所以   3x 2 0 ＋2ax 0 ＝－1，①x 0 ＋x 3 0 ＋ax 2 0 ＝0，② 由①知 x 0 ≠0，故②可化为 1＋x 2 0 ＋ax 0 ＝0，所以 ax 0 ＝－1－x 2 0 代入①得 3x 2 0 ＋2(－1－x 2 0)＝－1，即 x 2 0 ＝1，解得 x 0 ＝±1.当 x 0 ＝1 时，a＝－2，f(x 0)＝x 3 0 ＋ax 2 0 ＝－1； 当 x 0 ＝－1 时，a＝2，f(x 0)＝x 3 0 ＋ax 2 0 ＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1,1).角度 3 求参数的值(范围)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝ae x ＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则()A.a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C.a＝e－ 1，b＝1 D．a＝e－ 1，b＝－1 答案 D

解析 y′＝ae x ＋ln x＋1，k＝y′| x ＝ 1 ＝ae＋1，∴切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为 y＝2x＋b，∴   ae＋1＝2，b＝－1，即 a＝e－ 1，b＝－1.故选 D.5.若曲线 y＝f(x)＝ln x＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是()A. － 12，＋∞ B. － 12，＋∞ C.(0，＋∞)D．[0，＋∞)答案 D 解析 f′(x)＝ 1x ＋2ax＝2ax 2 ＋1x(x>0)，根据题意有 f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以 2ax 2 ＋1≥0(x>0)恒成立，即 2a≥－1x 2(x>0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a的取值范围为[0，＋∞).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线 y＝f(x)上一点 P(x 0，y 0)处的切线方程：点 P(x 0，y 0)为切点，切线斜率为k＝f′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y 0 ＝f′(x 0)(x－x 0)．如举例说明 2.(2)求“过”曲线 y＝f(x)上一点 P(x 0，y 0)的切线方程：切线经过点 P，点 P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明 1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：

①设切点 A(x 1，y 1)，则以 A 为切点的切线方程为 y－y 1 ＝f′(x 1)(x－x 1)； ②根据题意知点 P(x 0，y 0)在切线上，点 A(x 1，y 1)在曲线 y＝f(x)上，得到方程组   y 1 ＝fx 1 ，y 0 －y 1 ＝f′x 1 x 0 －x 1 ，求出切点 A(x 1，y 1)，代入方程 y－y 1 ＝f′(x 1)(x－x 1)，化简即得所求的切线方程．

1.若直线 y＝ax 是曲线 y＝2ln x＋1 的一条切线，则实数 a＝()A.e－ 12 B．2e－ 12 C．e 12 D．2e 12 答案 B 解析 依题意，设直线 y＝ax 与曲线 y＝2ln x＋1 的切线的横坐标为 x 0，则有y′|x＝x0＝2x 0，于是有  a＝2x 0，ax 0 ＝2ln x 0 ＋1，解得 x 0 ＝ e，则 a＝2x 0 ＝2e－12，故选 B.2.(2019·长沙模拟)已知 f(x)是奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝－xx－2，则曲线 f(x)在 x＝－1 处的切线方程是()A.2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0 答案 A 解析 当 x＜0 时，－x＞0，所以 f(－x)＝－xx＋2.因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝xx＋2(x＜0)．所以 f′(x)＝2x＋2 2，所以曲线 f(x)在 x＝－1 处的切线的斜率k＝f′(－1)＝2.切点为(－1，－1)，所以曲线 f(x)在 x＝－1 处的切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 2x－y＋1＝0.3.已知直线 l 为曲线 y＝ a＋ln xx在点(1，a)处的切线，当直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 12 时，实数 a 的值为________． 答案 0 或 34 解析 因为 y′＝ 1－a－ln xx 2，所以切线 l 的斜率为 1－a，则切线 l 的方程为y－a＝(1－a)(x－1)，令 x＝0 得 y＝2a－1.令 y＝0 得 x＝ 2a－1a－1.所以直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 12 |2a－1|· 2a－1a－1＝ 12，即|2a－1|2 ＝|a－1|.则 4a 2 －4a＋1＝1－a ①或 4a 2 －4a＋1＝a－1 ②，由方程①解得 a＝0 或 a＝ 34，方程②无解． 所以 a＝0 或 a＝ 34.对应学生用书 P232 组 基础关 1.设 f(x)＝x(2019＋ln x)，若 f′(x 0)＝2020，则 x 0 等于()A.e 2 B．1 C．ln 2 D．e 答案 B 解析 f′(x)＝2019＋ln x＋1＝2020＋ln x，由 f′(x 0)＝2020，得 2020＋ln x 0＝2020，则 ln x 0 ＝0，解得 x 0 ＝1.2.(2020·宁夏中卫月考)函数 y＝f(x)的图象在点 P(5，f(5))处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝()A.1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 由条件知 f′(5)＝－1，又在点 P 处的切线方程为 y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即 y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.3.若点 P 是曲线 y＝x 2 －ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离

为()A.1 B.2 C.22 D.3 答案 B 解析 设 P(x 0，y 0)，当点 P 处的切线与直线 y＝x－2平行时，点 P 到直线 y＝x－2 的距离最小．又 y′＝2x－ 1x，则 y′x＝x0＝2x 0 －1x 0 ＝1，解得 x 0 ＝1或 x 0 ＝－ 12(舍去)，则 y 0 ＝1，即 P(1,1)，所以最小距离为|1－1－2|1 2 ＋－1 2 ＝ 2.4．已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A.00 且 a≠1，f′(x)为 f(x)的导函数，若 f′(1)＝3，则 a 的值为________． 答案 3

解析 因为 f(x)＝a x ln x，所以 f′(x)＝ln a·a x ln x＋ axx.又 f′(1)＝3，所以 a＝3.10.已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝________.答案 0 解析 由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－ 13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知 f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×  － 13＝0.组 能力关 1.已知函数 f(x)＝4e x ＋1 ＋x3 ＋sinx，其导函数为 f′(x)，则 f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为()A.4040 B．4 C．2 D．0 答案 B 解析 函数 f(x)＝4e x ＋1 ＋x3 ＋sinx⇒f(x)＋f(－x)＝4e x ＋1 ＋4e xe x ＋1 ＝4，因为 f′(x)＝－4e xe x ＋1 2 ＋3x2 ＋cosx 为偶函数，所以 f′(x)－f′(－x)＝0，所以 f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.2.(2019·蚌埠模拟)已知函数 f(x)＝x＋a2x，若曲线 y＝f(x)存在两条过点(1,0)的切线，则 a 的取值范围是()A.(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

答案 D 解析 f′(x)＝1－a2x 2，设切点坐标为 x 0，x 0 ＋a2x 0，则切线方程为 y－x 0 －a2x 0＝  1－a2x 2 0(x－x 0)，又切线过点(1,0)，可得－x 0 －a2x 0 ＝ 1－a2x 2 0(1－x 0)，整理得 2x 2 0 ＋2ax 0 －a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足 Δ＝4a 2 －8(－a)＞0，解得 a＞0 或 a＜－2.3.设函数 f(x)＝ax－ bx，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 解(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝ 74 x－3.当 x＝2 时，y＝ 12.又 f′(x)＝a＋bx 2，于是 2a－ b2 ＝12，a＋ b4 ＝74，解得   a＝1，b＝3.故 f(x)＝x－ 3x.(2)设 P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3x 2，知曲线在点 P(x 0，y 0)处的切线方程为 y－y 0 ＝  1＋3x 2 0(x－x 0)，即 y－  x 0 －3x 0＝  1＋3x 2 0(x－x 0)． 令 x＝0，得 y＝－6x 0，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为  0，－6x 0.令 y＝x，得 y＝x＝2x 0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x 0, 2x 0)． 所以点 P(x 0，y 0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为 S＝ 12

－6x 0|2x 0 |＝6.故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6.4.已知函数 f(x)＝x 3 ＋x－16.(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标． 解(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． 因为 f′(x)＝(x 3 ＋x－16)′＝3x 2 ＋1，所以 f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 f′(2)＝13.所以切线方程为 y＋6＝13(x－2)，即 y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线 l 的斜率 k 为 f′(x 0)＝3x 2 0 ＋1，y 0 ＝x 3 0 ＋x 0 －16，所以直线 l 的方程为 y＝(3x 2 0 ＋1)(x－x 0)＋x 3 0 ＋x 0 －16.又因为直线 l 过原点(0,0)，所以 0＝(3x 2 0 ＋1)(－x 0)＋x 3 0 ＋x 0 －16，整理得，x 3 0 ＝－8，所以 x 0 ＝－2，所以 y 0 ＝(－2)3 ＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2 ＋1＝13.所以直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26).

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