山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-函数模型及其应用含答案解析

第 第 9 讲 讲 函数模型及其应用 [考纲解读] 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤．(重点)2．了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较． 3．建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点．预测 2021年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力． 对应学生用书 P038 1.七类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)反比例函 数模型 f(x)＝ kx ＋b(k，b 为常数且 k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x ＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blog a x＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)幂函数模型 f(x)＝ax n ＋b(a，b 为常数，a≠0)“对勾”函数模型 f(x)＝x＋ ax(a>0)2.指数、对数、幂函数模型的性质 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性 单调□ 01递增 单调□ 02递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 续表 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)图象的变化 随 x 的增大逐渐 表 现 为 与□ 03y 轴平行 随 x 的增大逐渐 表 现 为 与□ 04x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x 0，当 x>x 0 时，有 log a x

1.概念辨析(1)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝x α(α>0)的增长速度．()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．()答案(1)√(2)√(3)√ 2.小题热身(1)(2019·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：

x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y＝2 x＋ 1 －1 B．y＝x 2 －1 C.y＝2log 2 x D．y＝x 3 答案 B 解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是 y＝x 2 －1.(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q 0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案 B 解析 B 中，Q 的值随 t 的变化越来越快．故选 B.(3)某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在 3 km 以内(含 3 km)为 8.00 元；达到 3 km 后，每增加 1 km 加收 1.40 元；达到 8 km 后，每增加 1 km 加收 2.10元．增加不足 1 km 按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了 44.4 元车费，则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是()A.22 km B．24 km

C.26 km D．28 km 答案 A 解析 设乘客坐车行驶了 x km，根据题意，得 8＋(8－3)×1.4＋(x－8)×2.1＝44.4.8＋7＋2.1x－16.8＝44.4.2.1x＝46.2，x＝22.所以，此乘客乘该出租车行驶的路程是 22 km.(4)有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)答案 2500 解析 设围成的矩形的长为 x m，则宽为 200－x4 m，则 S＝x·200－x4＝ 14(－x2 ＋200x)＝－ 14(x－100)2 ＋2500.当 x＝100 时，S max ＝2500 m 2.对应学生用书 P039 题型 一 用函数图象刻画变化过程 1．高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v＝f(h)的大致图象是()

答案 B 解析 当 h＝H 时，体积为 V，故排除 A，C；由 H→0 过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选 B.2．如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 AB＝x(1≤x≤3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上滑动，且 MN＝1，当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域的面积为 y，则函数 y＝f(x)的图象大致为()答案 D 解析 由题意可知点 P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为 12 的扇形． 因为矩形 ABCD 的周长为 8，AB＝x，则 AD＝ 8－2x2＝4－x，所以 y＝x(4－x)－ π4 ＝－(x－2)2 ＋4－ π4(1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当 x＝2 时，y＝4－ π4 ∈(3,4)，故选 D.判断函数图象与实际问题中两变量 变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．如举例说明 2.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．如举例说明 1.1．(2019·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案 C 解析 根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有 C 正确.2.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下三个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是()A.① B．①② C．①③ D．①②③ 答案 A 解析 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的 12，所以 0 点到 3 点不出水，3 点到 4 点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.题型 二 已知函数模型的实际问题 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设 f(t)表示学生注意力指标． 该小组发现 f(t)随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：

f(t)＝ 100at10 －600≤t≤10，340100 且 a≠1)． 若上课后第 5 分钟时的注意力指标为 140，回答下列问题：

(1)求 a 的值；(2)上课后第 5 分钟和下课前第 5 分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长？ 解(1)由题意得，当 t＝5 时，f(t)＝140，即 100·a510 －60＝140，解得 a＝4.(2)因为 f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以 f(5)>f(35)，故上课后第 5 分钟时比下课前第 5 分钟时注意力更集中．(3)①当 0140 恒成立； ③当 20A.已知某家庭 2019 年前三个月的煤气费如下表：

月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4 元 二月份 25 m 3 14 元 三月份 35 m 3 19 元 若四月份该家庭使用了 20 m 3 的煤气，则其煤气费为()A.11.5 元 B．11 元 C．10.5 元 D．10 元

答案 A 解析 根据题意可知 f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得 A＝5，B＝ 12，C＝4，所以 f(x)＝  4，05，所以f(20)＝4＋ 12 ×(20－5)＝11.5，故选 A.2.某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝e kx＋ b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案 24 解析 由题意得   e b ＝192，e22k＋ b ＝48，即 e b ＝192，e11k＝ 12，所以该食品在 33 ℃的保鲜时间是 y＝e33k＋ b ＝(e11k)3 ·e b ＝  123 ×192＝24(小时).题型 三 构建函数模型的实际问题 角度 1 构造一次函数、二次函数模型 1．(2020·商丘二中检测)如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上．(1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值． 解(1)如图，作 PQ⊥AF 于点 Q，所以 PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF 中，EQPQ ＝EFFD，所以 x－48－y ＝42，所以 y＝－12 x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形 BNPM 的面积为 S，则 S(x)＝xy＝x  10－ x2＝－ 12(x－10)2 ＋50，所以S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，所以当 x＝8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48平方米.角度 2 构造指数函数、对数函数模型 2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 答案 B 解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从 2015 年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项 a 1 ＝130，公比 q＝1＋12%＝1.12，所以 a n ＝130×1.12 n－ 1.由 130×1.12 n － 1 >200，两边同时取对数，得 n－1> lg 2－lg 1.3lg 1.12，又 lg 2－lg 1.3lg 1.12≈ 0.30－0.110.05＝3.8，则 n>4.8，即 a 5开始超过 200，所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B.3.已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积均为定值 10 10，为了简单起见，科学家用 P A ＝lg n A 来记录 A 菌个数的资料，其中n A 为 A 菌的个数，现有以下几种说法：

①P A ≥1；

②若今天的 P A 值比昨天的 P A 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10； ③假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5

0，解得 x>2.3，∵x 为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x 2 ＋68x－115.令－3x 2 ＋68x－115>0，有 3x 2 －68x＋115<0，结合 x 为整数得 6185，∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多.角度 4 构造 y＝x＋ ax(a>0)型函数 5.某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x)＝k50x＋250(x≥0，k 为常数)．记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之和．(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简；(2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？ 解(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元，∵C(0)＝k250 ＝4，∴k＝1000，∴y＝0.2x＋100050x＋250 ×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5 －1≥20.2x＋5×80x＋5 －1＝7，当 0.2(x＋5)＝80x＋5，即 x＝15 时，y min ＝7，故当 x 为 15平方米时，y 取得最小值 7 万元.1.解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际

问题的合理性.2.建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.1.国家对某行业征税的规定如下：年收入在 280 万元及以下部分的税率为 p%，超过 280 万元的部分按(p＋2)%征税．有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A.560 万元 B．420 万元 C．350 万元 D．320 万元 答案 D 解析 设该公司的年收入为 x 万元，纳税额为 y 万元，则由题意得 y＝ x·p%，x≤280，280·p%＋x－280·p＋2%，x>280，依题有 280·p%＋x－280·p＋2%x＝(p＋0.25)%，解得 x＝320.故选 D.2.(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的 34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)()A.3 B．4 C．5 D．6 答案 B 解析 设至少要洗 x 次，则  1－ 34x ≤1100，∴x≥1lg 2 ≈3.322，因此至少需要洗 4 次，故选 B.3．某人准备购置一块占地 1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为 S

平方米，其中 a∶b＝1∶2，若要使 S 最大，则 y＝________.答案 45 解析 由题可得，xy＝1800，b＝2a，则 y＝a＋b＋3＝3a＋3，∴S＝(x－2)a＋(x－3)b ＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33 ＝1808－3x－ 83 y.解法一：S＝1808－3x－ 83 ×1800x ＝1808－  3x＋ 4800x(x>0)≤1808－2 3x× 4800x ＝1808－240＝1568.当且仅当 3x＝ 4800x，即 x＝40 时取等号，S 取得最大值． 此时 y＝ 1800x＝45.所以当 x＝40，y＝45 时，S 取得最大值． 解法二：设 S＝f(x)＝1808－  3x＋ 4800x(x>0)，f′(x)＝ 4800x 2－3＝ 340－x40＋xx 2，令 f′(x)＝0 得 x＝40，当 00，当 x>40 时，f′(x)<0.所以当 x＝40 时，S 取得最大值．此时 y＝45，所以当 x＝40，y＝45 时，S 取得最大值.对应学生用书 P230 组 基础关 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是()A.y＝100x B．y＝50x 2 －50x＋100 C.y＝50×2 x D．y＝100log 2 x＋100 答案 C 解析 对于 A 中的函数，当 x＝3 或 4 时，误差较大．对于 B 中的函数，当 x＝4 时误差较大．对于 C 中的函数，当 x＝1,2,3 时，误差为 0，x＝4 时，误差为 10，误差很小．对于 D 中的函数，当 x＝4 时，据函数式得到的结果为300，与实际值 790 相差很远．综上，只有 C 中的函数误差最小.2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 y(只)与时间 x(年)近似地满足关系 y＝alog 3(x＋2)，观察发现 2014 年(作为第 1 年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为 3000 只，估计到 2020 年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为()A.4000 只 B．5000 只 C.6000 只 D．7000 只 答案 C 解析 当 x＝1 时，由 3000＝alog 3(1＋2)，得 a＝3000，所以到 2020 年冬，即第 7 年，y＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选 C.3.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有()

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案 C 解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先慢后快，正确；④中的增长速度是先快后慢，也正确，故选 C.4.汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故 A 错误；

以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故 C 错误；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故 D 正确.5.(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 3 次涨停(每次上涨 10%)又经历了 3 次跌停(每次下降 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利 B．无法判断盈亏情况 C.没有盈利也没有亏损 D．略有亏损 答案 D 解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3 ＝0.99 3 ≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.6.(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，经过 x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y＝f(x)的图象大致为()答案 D 解析 设某地区起始年的绿化面积为 a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，所以经过 x 年后，绿化面积 g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝ gxa＝(1＋18%)x ＝1.18 x，因为y＝1.18 x为底数大于 1 的指数函数，故可排除 A，C，当 x＝0 时，y＝1，可排除 B，故选 D.7.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间满足函数关系式 y＝3000＋20x－0.1x 2(0

答案 C 解析 设利润为 f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x 2)＝0.1x 2 ＋5x－3000≥0，得 x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量为 150 台．故选 C.8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案 1＋p1＋q－1 解析 设年平均增长率为 x，则(1＋x)2 ＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝ 1＋p1＋q－1.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m． 答案 20 解析 设矩形花园的宽为 y m，则x40 ＝40－y40，即 y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x 2 ＋40x＝－(x－20)2 ＋400，当 x＝20 m 时，面积最大.10.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高 峰 月 用 电量(单位：

千瓦时)高峰电价(单位：

元/千瓦时)低 谷 月 用 电量(单位：

千瓦时)低谷电价(单位：

元/千瓦时)50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318 超过 200 的部 0.668 超过 200 的部 0.388

分 分 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)答案 148.4 解析 据题意有 0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元).组 能力关 1.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全稿酬的 11%纳税．若某人共纳税 420 元，则这个人的稿费为()A.3000 元 B．3800 元 C．3818 元 D．5600 元 答案 B 解 析 由 题 意 可 建 立 纳 税 额 y 关 于 稿 费 x 的 函 数 解 析 式 为 y ＝ 0，x≤800，0.14x－800，8004000，显然稿费应为800

足 P＝80＋4 2a，Q＝ 14 a＋120.设甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为 f(x)(单位：万元)．(1)求 f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入 f(x)最大？ 解(1)若投入甲大棚 50 万元，则投入乙大棚 150 万元，所以 f(50)＝80＋4 2×50＋ 14 ×150＋120＝277.5.(2)由题知，f(x)＝80＋4 2x＋ 14(200－x)＋120＝－14 x＋4 2x＋250，依题意得   x≥20，200－x≥20，解得 20≤x≤180，故 f(x)＝－ 14 x＋4 2x＋250(20≤x≤180)． 令 t＝ x，则 t 2 ＝x，t∈[2 5，6 5]，y＝－ 14 t2 ＋4 2t＋250＝－ 14(t－8 2)2 ＋282，当 t＝8 2，即 x＝128 时，y 取得最大值 282，所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收入最大，且最大收入为 282 万元.2.某公司为了实现 2020 年销售利润 1000 万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到 10 万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过 5 万元，同时奖金数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003 x，y＝ 12 ln x＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：1.003 538 ≈5，e＝2.71828……，e 8 ≈2981)解 由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当 x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过 5；③y≤x·25%.(1)对于 y＝0.025x，易知满足①，但当 x>200 时，y>5，不满足公司的要求．(2)对于 y＝1.003 x，易知满足①，但当 x>538 时，y>5，不满足公司的要求．(3)对于 y＝ 12 ln x＋1，易知满足①.当 x∈[10,1000]时，y≤ 12 ln 1000＋1.下面证明 12 ln 1000＋1<5.因为 12 ln 1000＋1－5＝12 ln 1000－4＝12(ln 1000－8)≈ 12(ln 1000－ln 2981)<0，满足②.再证明 12 ln x＋1≤x·25%，即 2ln x＋4－x≤0.设 F(x)＝2ln x＋4－x，则 F′(x)＝ 2x －1＝2－xx<0，x∈[10,1000]，所以 F(x)在[10,1000]上为减函数，F(x)max ＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，满足③.综上，奖励模型 y＝ 12 ln x＋1 能完全符合公司的要求.

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-导数综合应用含答案解析

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-古典概型含答案解析

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-对数与对数函数含答案解析

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析