山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-集合概念与运算含答案解析

第一章 集合与常用逻辑用语 第 第 1 讲 讲 集合的概念与运算 [考纲解读] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题． 2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4．能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测 2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：□ 01确定性、□ 02互异性、□ 03无序性．(2)元素与集合的关系有□ 04属于或□ 05不属于两种，用符号□ 06∈或□ 07∉表示．(3)集合的表示法：□ 08列举法、□ 09描述法、□ 10图示法．(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N *(或 N ＋)Z Q R 2．集合间的基本关系(1)基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 x∈A，则 x∈B)□ 01A⊆B(或□ 02B⊇A)真子集 集合 A 是集合 B 的子 □03AB

集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合A 中(或□04BA)集合相等 集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集 □ 05A＝B(2)结论 ①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)． ②对于任意集合 A，A⊆A.③若 A⊆B，B⊆C，则□ 06A⊆C.3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于 A□ 01且属于 B 的元素组成的集合 {x|x∈A，□ 02且 x∈B} □ 03A∩B 并集 属于 A□ 04或属于 B 的元素组成的集合 {x|x∈A，□ 05或 x∈B} □ 06A∪B 补集 全集 U 中□07不属于 A 的元素组成的集合 {x|x∈U，且 x□ 08∉A} □09∁U A 4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔□ 01B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔□ 02A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁ U A)＝□ 03U；A∩(∁ U A)＝□ 04∅；∁ U(∁ U A)＝□ 05A；∁ U(A∪B)＝(∁ U A)∩(∁ U B)；∁ U(A∩B)＝(∁ U A)∪(∁ U B)．(4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为□062n 个，非空子集个数为□072n－1 个，真子集有□082n －1 个，非空真子集的个数为□092n －2 个．

1．概念辨析(1)若 1∈{x，x 2 }，则 x＝±1.()(2){x|y＝x 2 }＝{y|y＝x 2 }＝{(x，y)|y＝x 2 }．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于任意两个集合 A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2．小题热身(1)已知集合 A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则 A∪B＝()A．{－2,1} B．{0,1,2} C．{－2，－1,0,1,2} D．{－2,0,1,2} 答案 D 解析 因为 A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以 A∪B＝{－2,0,1,2}．(2)设全集为 R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁ R B)＝()A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 答案 B 解析 因为B＝{x|x≥1}，所以∁ R B＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}，故选 B.(3)已知集合 A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则 A 与 B 的关系为________． 答案 B A 解析 任取 x∈B，则 x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以 x∈A，所以 B⊆A，又 3∈A但 3∉B，所以 B A.(4)已知集合 A＝   8x，y，B＝{0，x2 }，且 A＝B，则集合 A 的子集为________． 答案 ∅，{0}，{4}，{0,4} 解析 由题意得 8x ＝x2，y＝0，解得 x＝2，所以 A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}． 题型 一 集合的基本概念与表示方法 1．(2019·厦门一中模拟)设集合 M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若 x 0 ∈M，y 0 ∈P，a＝x 0 ＋y 0，b＝x 0 y 0，则()A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈M C．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P 答案 A 解析 解法一：设 x 0 ＝2n＋1，y 0 ＝2k(n，k∈Z)，则 x 0 ＋y 0 ＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x 0 y 0 ＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，故 a∈M，b∈P.解法二：由已知得，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知 a∈M，b∈P.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{(x，y)|x 2 ＋y 2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4 答案 A 解析 ∵x 2 ＋y 2 ≤3，∴x 2 ≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当 x＝－1 时，y＝－1,0,1；当 x＝0 时，y＝－1,0,1；当 x＝1 时，y＝－1,0,1，所以 A 中元素共有 9 个，故选 A.3．若集合 A＝{a－3,2a－1，a 2 －4}，且－3∈A，则实数 a＝________.答案 0 或 1 解析 因为－3∈A，所以 a－3＝－3 或 2a－1＝－3 或 a 2 －4＝－3，解得 a＝0 或 a＝－1 或 a＝1.当 a＝0 时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意； 当 a＝－1 时，2a－1＝a 2 －4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当 a＝1 时，A＝{－2,1，－3}，符合题意． 综上知 a＝0 或 1.1.用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明 1,3 是数，举例说明 2 是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明 1，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合．如举例说明 2，x，y 是整数且满足 x 2 ＋y 2 ≤3.2.两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明 3，求出 a 值后应注意检验.(2)忽视分类讨论．如举例说明 2，要分 x＝－1，x＝0 和 x＝1 三种情况讨论，可以保证不重不漏． 1.设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A.1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 若 x∈B，则－x∈A，所以 x 只可能取 0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有 1 个元素.2.已知单元素集合 A＝{x|x 2 －(a＋2)x＋1＝0}，则 a 等于()A.0 B．－4 C．－4 或 1 D．－4 或 0 答案 D 解析 因为集合 A 只有一个元素．所以一元二次方程 x 2 －(a＋2)x＋1＝0 有两个相等的实根，所以 Δ＝(a＋2)2 －4＝0，解得 a＝－4 或 0.题型 二 集合间的基本关系 1.集合 M＝{x|x＝3 n，n∈N}，集合 N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合 M 与集合 N的关系为()A.M N B．N M C.M＝N D．M N 且 N M

答案 D 解析 因为 1∈M,1∉N，所以 M N，因为 0∈N,0∉M，所以 N M.综上知，M N 且 N M.2.已知集合 M＝，集合 N＝，则()A.M N B．N M C.M＝N D．以上都不对 答案 A 解析 ∵ kπ4＋ π4 ＝2k＋18π，k∈Z，kπ8－ π4 ＝k－28π，k∈Z，∴任取 x∈M，有 x∈N，且 π8 ∈N，但π8 ∉M，∴M N.3.已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m的取值范围为________． 答案(－∞，3] 解析 因为 B⊆A，所以①若 B＝∅，则 2m－15}”，则实数 m 的取值范围为________． 答案(－∞，2)∪(4，＋∞)解析 因为 B⊆A，所以①当 B＝∅时，即 2m－15或   m＋1≤2m－1，2m－1<－2，解得   m≥2，m>4或 m≥2，m<－ 12，即 m>4.综上可知，实数 m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞).1.判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明 1 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明 2 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明 3 2.根据集合间的关系求参数的策略(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为∅⊆A 对任意集合 A 都成立．如举例说明 3 中 2m－1m＋1，m＋1>－2，2m－1≤5.1.(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x 2 ＋ax＝0}＝{0,1}，则实数 a 的值为()A.－1 B．0 C．1 D．2 答案 A 解析 由 x 2 ＋ax＝0，得 x(x＋a)＝0，所以 x＝0 或 x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以 a＝－1.2.已知集合 A＝{x|x 2 －2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是()A.a≥2 B．a>2 C．a<0 D．a≤0 答案 A 解析 ∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使 A⊆B，a 须满足 a≥2.3.满足{0,1,2} A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数为________． 答案 7 解析 集合 A 除含元素 0,1,2 外，还至少含有 3,4,5 中的一个元素，所以集合 A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为 2 3 －1＝7.题型 三 集合的基本运算 角度 1 集合的并、交、补运算 1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合 M＝{x|－40}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则 a 的取值范围是()A.(－2，＋∞)B．(4，＋∞)C.(－∞，－2] D．(－∞，4] 答案 C 解析 集合 P＝{x|x 2 －2x－8>0}＝{x|x<－2 或 x>4}，Q＝{x|x≥a}，若 P∪Q＝R，则 a≤－2，即 a 的取值范围是(－∞，－2].题型 四 集合的新定义问题 设 A，B 是非空集合，定义 A⊗B＝{x|x∈A∪B 且 x∉A∩B}．已知 M＝{y|y＝－x 2 ＋2x,0＜x＜2}，N＝{y|y＝2 x－ 1，x＞0}，则 M⊗N＝________.答案 0，12∪(1，＋∞)解析 因为 M＝{y|y＝－x 2 ＋2x,0＜x＜2}＝(0,1]，N＝{y|y＝2 x－ 1，x＞0}＝12，＋∞，M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝  12，1，所以 M⊗N＝  0，12∪(1，＋∞)． 与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算． 如果集合 A 满足：若 x∈A，则－x∈A，那么就称集合 A 为“对称集合”．已知集合 A＝{2x,0，x 2 ＋x}，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集，则 A∩B＝________.答案 {0,6} 解析 由题意可知－2x＝x 2 ＋x，所以 x＝0 或 x＝－3.而当 x＝0 时不符合元素的互异性，所以舍去．当 x＝－3 时，A＝{－6,0,6}，所以 A∩B＝{0,6}.组 基础关 1.设集合 P＝{x|0≤x≤ 2}，m＝ 3，则下列关系中正确的是()A.m⊆P B．m P C．m∈P D．m∉P 答案 D

解析 ∵ 3> 2，∴m∉P.2.已知全集 U＝R，则表示集合 M＝{x|x 2 ＋3x＝0}和 N＝{－3,0,3}关系的示意图是()答案 D 解析 因为集合 M＝{－3,0}，N＝{－3,0,3}，所以 M N，故选 D.3.已知集合 A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A.－1∉A B．－11∈A C.3k 2 －1∈A D．－34∉A 答案 C 解析 令 k＝0 得 x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得 k＝－ 103∉Z，故－11∉A；令－34＝3k－1，解得 k＝－11∈Z，故－34∈A；对于 3k 2 －1，因为 k∈Z时，k 2 ∈Z，所以 3k 2 －1∈A.故选 C.4.(2019·全国卷Ⅱ)设集合 A＝{x|x 2 －5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则 A∩B＝()A.(－∞，1)B．(－2,1)C.(－3，－1)D．(3，＋∞)答案 A 解析 A∩B＝{x|x 2 －5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2 或 x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选 A.5.若集合 A＝{x∈R|ax 2 －3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a 等于()A.92 B.98 C．0 D．0 或 98 答案 D 解析 当 a＝0 时，A＝   23，符合题意；当 a≠0 时，Δ＝(－3)2 －4×a×2＝0，解得 a＝ 98，此时 A＝  43，符合题意．综上可知，a＝0 或 98.6.(2020·茂名市摸底)已知集合 M＝{(x，y)|y＝3x 2 }，N＝{(x，y)|y＝5x}，则 M∩N中的元素的个数为()A.0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解 析 解 方 程 组 y＝3x 2，y＝5x，得 x＝0，y＝0或 x＝ 53，y＝ 253，所 以 M∩N ＝0，0， 53，253.所以 M∩N 中的元素的个数为 2.7.设全集 U＝R，A＝{x|x 2 －2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是()A．[0,1] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞)C.[－1,2] D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 D 解析 A＝{x|x 2 －2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁ U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).8.集合 A＝{0,2，a}，B＝{1，a 2 }，若 A∪B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为________． 答案 4 解析 因为 A＝{0,2，a}，B＝{1，a 2 }，若 A∪B＝{0,1,2,4,16}，则   a 2 ＝16，a＝4，所以 a＝4.9.设集合 A＝{－1,1}，集合 B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得 B⊆A 的 a 的所有取值

构成的集合是________． 答案 {－1,0,1} 解析 因为 B⊆A，所以①当 B＝∅时，可知 a＝0，显然成立．②当 B＝{1}时，可得 a＝1，符合题意．③当 B＝{－1}时，可得 a＝－1，符合题意．故满足条件的a 的取值集合是{－1,0,1}.10.已知 a，b∈R，若  a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，则 a 2019 ＋b 2019 ＝________.答案 －1 解析 ∵  a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.∴b＝0，a 2 ＝1，又 a≠1，∴a＝－1，∴a 2019 ＋b 2019 ＝－1.组 能力关 1.设集合 M＝{x|x＝5－4a＋a 2，a∈R}，N＝{y|y＝4b 2 ＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是()A.M＝N B．N⊆M C.M⊆N D．M∩N＝∅ 答案 A 解析 因为集合 M＝{x|x＝5－4a＋a 2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2 ＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝(2b＋1)2 ＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．所以 M＝N.2.(2019·衡水模拟)已知集合 A＝{x|log 2 x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若 A∪B＝B，则 c 的取值范围是()A.(0,1] B．[1，＋∞)C.(0,2] D．[2，＋∞)答案 D 解析 因为集合 A＝{x|log 2 x＜log 2 2}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜c}，又由 A∪B＝B，得 A⊆B，所以 c≥2.3.已知集合 A＝[1，＋∞)，B＝ { | x∈R12 a≤x≤2a－1，若 A∩B≠∅，则实数 a的取值范围是()

A.[1，＋∞)B. 12，1 C. 23，＋∞ D．(1，＋∞)答案 A 解析 因为 A∩B≠∅，所以 2a－1≥1，2a－1≥ 12 a，解得 a≥1.4.对于任意两集合 A，B，定义 A－B＝{x|x∈A 且 x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记 A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则 A*B＝()A.[－3,0)∪(3，＋∞)B.[－3,0)∪[3，＋∞)C.[－3,3)D.(－∞，－3]∪(3，＋∞)答案 A 解析 由题意知，A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，故 A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞).5.设集合 A＝{0，－4}，B＝{x|x 2 ＋2(a＋1)x＋a 2 －1＝0，x∈R}．若 A∩B＝B，则实数 a 的取值范围是________． 答案 a≤－1 或 a＝1 解析 ∵A∩B＝B，∴B⊆A.又 A＝{0，－4}，∴B 的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4，0}． ①若 B＝∅，则 Δ＝4(a＋1)2 －4(a 2 －1)<0，解得 a<－1.②若 B＝{－4}，则 a∈∅.③若 B＝{0}，则 a＝－1.④若 B＝{－4,0}，则 a＝1.综上可知，a≤－1 或 a＝1.6.设数集 M＝{x    m≤x≤m＋ 34，N＝{x    n－ 13 ≤x≤n，且 M，N 都是集合 U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义 b－a 为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合 M∩N 的长度的最小值为________． 答案 112

解析 由已知得，当 m＝0 且 n＝1 或 n－ 13 ＝0 且 m＋34 ＝1 时，M∩N 的长度最小．当 m＝0 且 n＝1 时，M∩N＝{x   23 ≤x≤34，其长度为 34 －23 ＝112.当 m＝ 14 且 n＝13 时，M∩N＝{x    14 ≤x≤13，其长度为 13 －14 ＝112.综上可知，M∩N的长度的最小值为112.

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