山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-古典概型含答案解析

第 第 2 讲 讲 古典概型 [考纲解读] 1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基本事件及其事件发生的概率．(重点、难点)2．了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预测 2021年将会考查：①古典概型的基本计算； ②古典概型与其他知识相结合．题型以解答题为主，也可出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等． 对应学生用书 P185 1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是□ 01互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成□ 02基本事件的和． 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件□ 01只有有限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性□ 02相等． 3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是□ 01 1n ；如果某个事件 A 包括的结果有 m个，那么事件 A 的概率 P(A)＝□ 02 mn.4.古典概型的概率公式

P(A)＝ A包含的基本事件的个数基本事件的总数.1.概念辨析(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(4)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.小题热身(1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是 7 的概率是()A.16 B.13 C.12 D.23 答案 A 解析 记抛掷两枚骰子向上的点数分别为 a，b，则可得到数组(a，b)共有 36组，其中满足 a＋b＝7 的共有 6 组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率为 P＝636 ＝16.(2)从 1,2,3,4 这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为()A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A 解 析 从 1,2,3,4 中 任 取 两 个 不 同 的 数 字 构 成 一 个 两 位 数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共 12 种等可能发生的结果，其中大于 30的两位数有 31,32,34,41,42，43，共 6 个，所以这个两位数大于 30 的概率 P＝612 ＝12.(3)某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的 3 名男教师和 2 名女教师中，任选2 人参加讲课比赛，则选取的 2 人恰为一男一女的概率为()A.25 B.35 C.13 D.23 答案 B 解析 记 3 名男教师为 a，b，c,2 名女教师为 A，B，任选 2 人有以下情况 ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共 10 种等可能发生的情况，选取的 2 人恰为一男一女有 6 种，故所求概率 P＝610 ＝35.(4)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为()A.12 B.13 C.23 D.56 答案 C 解析 记两本数学书为 1,2，一本语文书为 a，则所有排列方法有12a,1a2,21a,2a1，a12，a21，共 6 种等可能发生的结果，其中两本数学书相邻的排列方法为 12a,21a，a12，a21，共 4 种，根据古典概型的概率公式知，所求概率 P＝ 46 ＝23.对应学生用书 P185 题型 一 古典概型的简单问题

1.(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标．若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为()A.23 B.35 C.25 D.15 答案 B 解析 设 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为 a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的 2 只为 b 1，b 2，则从 5 只兔子中随机取出 3 只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共 10 种等可能发生的情况．其中恰有 2 只测量过该指标的可能情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共 6 种．故恰有 2只测量过该指标的概率为610 ＝35.故选 B.2．(2019·厦门模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为()A.114 B.17 C.528 D.514 答案 D 解析 由题意，知八卦中有三卦是两根阳线，一根阴线，记它们为 1,2,3；有三卦是一根阳线，两根阴线，记它们为 a，b，c；有一卦是三根阳线，记作 A；有一卦是三根阴线，记作 B.从八卦中任取两卦，有以下可能出现的结果

12,13,1a,1b,1c,1A,1B,23,2a,2b,2c,2A,2B,3a,3b,3c,3A,3B，ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共 28 种等可能的结果，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包括 1a,1b,1c,2a,2b,2c,3a,3b,3c，AB，共 10 种情况，故所求概率为 1028 ＝514.3.(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15 C.310 D.25 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：

基本事件总数为 25，这 25 种基本事件发生的可能性是相等的．第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，∴所求概率 P＝ 1025 ＝25.故选 D.条件探究 将本例中的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________． 答案 12 解析 画出树状图如图：

所有的基本事件共有 20 个，这 20 个基本事件发生的可能性是相等的．满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P＝ 1020 ＝12.结论探究 本例中的条件不变，则抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上的数的和为偶数的概率为________． 答案 1325

解析 所有基本事件共有 25 个，这 25 个基本事件发生的可能性是相等的．满足条件的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 13 个．故所求概率 P＝ 1325.1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；(2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m；(3)利用公式 P(A)＝ mn，求出事件 A 的概率． 2.基本事件个数的确定方法 方法 适用条件 列 表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法 树状 图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求 1.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12 答案 D 解析 设两位男同学分别为 A，B，两位女同学分别为 a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示． 由图知，共有 24 种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“ ”的情况)共有 12 种，故所求概率为 1224 ＝12.故选 D.2.(2019·湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为()A.12 B.13 C.14 D.15 答案 C 解析 所有的情况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、乙都送给丙)(甲、乙都送给丁)共四种，这 4 种情况发生的可能性是相等的．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给丁的概率是 14.题型 二 古典概型的交汇问题 角度 1 古典概型与平面向量相结合 1.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，平面向量 a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率． 解 由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有 36 种．(1)若 a⊥b，则有 m－3n＝0，即 m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2 种，所以事件“a⊥b”发生的概率为236 ＝118.(2)若|a|≤|b|，则有 m 2 ＋n 2 ≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，故所求概率为636 ＝16.角度 2 古典概型与函数、方程相结合 2.(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a和 b，则方程 ax 2 ＋bx＋1＝0 有实数解的概率是()

A.736 B.12 C.1936 D.518 答案 C 解析 投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为   1≤a≤6，a∈N *，1≤b≤6，b∈N *，∴a 和 b 的组合有 36 种，若方程 ax 2 ＋bx＋1＝0 有实数解，则 Δ＝b 2 －4a≥0，∴b 2 ≥4a.当 b＝1 时，没有 a 符合条件；当 b＝2 时，a 可取 1；当 b＝3 时，a 可取 1,2；当 b＝4 时，a 可取 1,2,3,4；当 b＝5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b＝6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.故满足条件的组合有 19 种，则方程 ax 2 ＋bx＋1＝0 有实数解的概率 P＝ 1936，故选 C.3.(2019·辽宁省实验中学模拟)设 a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，则函数 f(x)＝log ab x是增函数的概率为________． 答案 12 解析 由已知条件，得 ab 的所有取值种数为 12.当ab >1 时，f(x)为增函数，符合此条件的 ab 有32，52，72，54，74，76，共 6 种，所以函数 f(x)＝logab x 是增函数的概率为612 ＝12.角度 3 古典概型与几何问题结合 4.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y 2 ＝2 有公共点的概率为________． 答案 712 解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36 种等可能的结果，其中满足直线 ax＋by

＝0 与圆(x－2)2 ＋y 2 ＝2 有公共点，即满足2aa 2 ＋b 2 ≤ 2，即 a≤b，则当 a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共 6 种，当 a＝2 时，b＝2,3,4,5,6，共 5 种，同理当 a＝3时，有 4 种，当 a＝4 时，有 3 种，当 a＝5 时，有 2 种，当 a＝6 时，有 1 种，故共有 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于 2136 ＝712.角度 4 古典概型与统计相结合 5.(2019· 绵阳模拟)目前有声书正受到越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如下图． 有声书公司将付费高于 20 元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在 30 岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有 38 的“年轻用户”是“爱付费用户”．(1)完成下面的 2×2 列联表，并据此资料，能否有 95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？ 爱付费用户 不爱付费用户 合计 年轻用户 非年轻用户 合计(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人进行访谈，求抽取的 2 人恰好都是“年轻用户”的概率． P(K 2 ≥k 0)0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K 2 ＝nad－bc 2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d.解(1)根据题意可得 2×2 列联表如下：

爱付费用户 不爱付费用户 合计 年轻用户 24 40 64 非年轻用户 6 30 36 合计 30 70 100 由表中数据可得 K 2 ＝nad－bc 2a＋bc＋da＋cb＋d ＝100×24×30－40×6 230×70×64×36≈4.76>3.841，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．(2)由分层抽样可知，抽取的 5 人中有 4 人为“年轻用户”，记为 A 1，A 2，A 3，A 4, 1 人为“非年轻用户”，记为 B.则从这 5 人中随机抽取 2 人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B)，(A 3，A 4)，(A 3，B)，(A 4，B)，共 10 个等可能发生的基本事件． 其中满足抽取的 2 人均是“年轻用户”的事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，共 6 个．所以从中抽取 2 人恰好都是“年轻用户”的概率为 P＝610 ＝35.1.求解古典概型的交汇问题的步骤(1)根据相关知识构建事件满足的条件．(2)根据条件列举所有符合的基本事件．(3)利用古典概型的概率计算公式求概率.2.破解概率与统计图表综合问题的“三步曲” 1.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二

次出现的点数为 b，向量 m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量 m 与向量 n 不共线的概率是()A.16 B.1112 C.112 D.118 答案 B 解析 易知所有基本事件有 36 个，若 m∥n，则 a1 ＝b2，即 b＝2a.所以 m 与 n共线包含的基本事件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共 3 个，所以 m 与 n 不共线的概率为 1－336 ＝1112.2.已知函数 f(x)＝ 13 x3 ＋ax 2 ＋b 2 x＋1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13 C.59 D.23 答案 D 解析 f′(x)＝x 2 ＋2ax＋b 2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 Δ＝(2a)2 －4b 2 >0，即 a 2 >b 2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足 a 2 >b 2 的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为 69 ＝23.3.在集合 A＝{2,3}中随机取一个元素 m，在集合 B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x 2 ＋y 2 ＝9 内部的概率为________． 答案 13 解析 点 P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6 种等可能的情况，只有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x 2 ＋y 2 ＝9 的内部，所求概率为 26 ＝13.4.(2019·武威模拟)某市第三中学统计了高三年级学生的最近20 次数学周测成绩(满分 150 分)，现有甲、乙两位同学的 20 次成绩如茎叶图所示：

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均数及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩，记事件A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件 A 发生的概率． 解(1)甲的成绩的中位数是 119，乙的成绩的中位数是 128.乙成绩的频率分布直方图如下图所示．(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均数比甲的成绩的平均数高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．(3)甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个，设为 a，b，乙同学的不低于 140 分的成绩有 3 个，设为 c，d，e.现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共 10种等可能的结果，其中这 2 个成绩分属不同同学的情况有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共 6 种．因此事件 A 发生的概率 P(A)＝610 ＝35.对应学生用书 P284 组 基础关 1.(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被 5 整除的概率是()A.12 B.13 C.14 D.16 答案 C 解析 所有基本事件为 32,34,52,54,23,25,43,45，共 8 种，其中能被 5 整除的是 25,45，共 2 种，故这个数能被 5 整除的概率为 28 ＝14.2.从集合 A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为 a，从集合 B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为 b，则直线 ax－y＋b＝0 不经过第四象限的概率为()A.29 B.13 C.49 D.14 答案 A 解析(a，b)所有可能的结果为 9种．由 ax－y＋b＝0 得 y＝ax＋b，当   a≥0，b≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共 2 种，所以直线 ax－y＋b＝0 不经过第四象限的概率 P＝ 29，故选 A.3.(2019·武汉市高三调研)从装有 3 双不同鞋的柜子中，随机取 2 只，则取出的 2 只鞋不成对的概率为()A.1415 B.45 C.35 D.15

答案 B 解析 设这 3 双鞋分别为 A 1 A 2，B 1 B 2，C 1 C 2，则随机取出 2 只的基本事件有{A 1 A 2 }，{A 1 B 1 }，{A 1 B 2 }，{A 1 C 1 }，{A 1 C 2 }，{A 2 B 1 }，{A 2 B 2 }，{A 2 C 1 }，{A 2 C 2 }，{B 1 B 2 }，{B 1 C 1 }，{B 1 C 2 }，{B 2 C 1 }，{B 2 C 2 }，{C 1 C 2 }，共 15 个，其中取出的 2只鞋不成对的基本事件有 12 个，所以所求概率 P＝ 1215 ＝45，故选 B.4.(2019·安徽阜阳模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为()A.18 B.14 C.38 D.12 答案 C 解析 抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反 8 种，其中出现两正一反的共有 3种，故概率为 38.故选 C.5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节 5 个节日中随机选取 3 个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是()A.0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案 D 解析 春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中，从 5 个节日中随机选取 3 个节日，有 10 个基本事件，春节和端午节都没被选中，有 3 个基本事件，所以 P＝1－310 ＝710.6.(2019·山西长治模拟)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图，现将一个勾 3 股 4 弦 5 的三角形放入平面直角坐标系 xOy 中，在坐标系中任取一点 M(x，y)，其中 x∈{0,1,2,3,4}，y∈{0,1,2,3}，则点 M 落在该三角

形内(含边界)的概率为()A.920 B.12 C.1120 D.35 答案 C 解析 依题意可知点 M 的个数为 20 个，落在三角形内的有 11 个，故概率为1120.7.已知集合 M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 y＝x 2 ＋1 有交点的概率是()A.12 B.13 C.14 D.18 答案 C 解析 易知过点(0,0)与 y＝x 2 ＋1 相切的直线为 y＝2x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 4 个，故所求的概率为416 ＝14.故选 C.8.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35 解析 如图，从 A，B，C，D，O 这 5 个点中任取 2 个，共有 10 种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共 6 种，因此所求概率 P＝610 ＝35.9.如图所示是某市 2019 年 4 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该市，并停留3 天． 该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________． 答案 512 解析 某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3天，基本事件总数 n＝12,4 月 1 日至 4 月 12 日空气质量重度污染的天数有 5天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数 m＝5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率 P＝ mn ＝512.10.(2019·江苏苏州模拟)若 a，b∈{0,1,2}，则函数 f(x)＝ax 2 ＋2x＋b 有零点的概率为________． 答案 23 解析 a，b∈{0,1,2}，当函数 f(x)＝ax 2 ＋2x＋b 没有零点时，a≠0，且 Δ＝4－4ab<0，即 ab>1，∴(a，b)有 3 种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)． 基本事件总数 n＝9，∴函数 f(x)＝ax 2 ＋2x＋b 有零点的概率为 P＝1－ 39 ＝23.组 能力关 1．如图，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6 条棱中任选 2 条，则这 2 条棱互相垂直的概率为()

A.13 B.14 C.25 D.29 答案 A 解析 由已知 SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，可推得 SB⊥BC，从该三棱锥的 6条棱中任选 2 条，共有 15 种不同的选法，其中互相垂直的 2 条棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共 5 种情况，所以这 2 条棱互相垂直的概率 P＝515 ＝13.2.(2019·定远县三模)博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车，记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P 1，P 2，则()A.P 1 ·P 2 ＝ 14 B．P 1 ＝P 2 ＝ 13 C.P 1 ＋P 2 ＝ 56 D．P 1

值为负数的概率为()A.1430 B.1530 C.1630 D.1730 答案 A 解析 ∵S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，S 4 ＝π(其中 π 为圆周率)，a 4 ＝2a 2，∴ S 4 ＝4a 1 ＋ 4×32d＝π，a 1 ＋3d＝2a 1 ＋d，解得 a 1 ＝d＝π10，∴a n ＝π10 ＋(n－1)×π10 ＝nπ10，∴前 30 项中，第 6 项至第 14 项和第 26 项至第 30 项的余弦值是负数，∴现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为 P＝ 1430.4.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则构成椭圆 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1 且离心率 e>32的概率是________． 答案 13 解析 同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有 36 种情况，当 a>b时，e＝ 1－ b2a 2 >32⇒ ba <12 ⇒a>2b，符合 a>2b 的情况有：当 b＝1 时，有 a＝3,4,5,6 四种情况；当 b＝2 时，有 a＝5,6 两种情况．总共有 6 种情况，则概率是636 ＝16.同理当 a32的概率也为 16.综上可知 e>32的概率为 13.5.(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2 ＝nad－bc 2a＋bc＋da＋cb＋d.P(K 2 ≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828 解(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 4050 ＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为 3050 ＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.(2)K 2 的观测值 k＝ 100×40×20－30×10250×50×70×30≈4.762.由于 4.762>3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.组 素养关 1.(2019·上饶模拟)研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离 x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间 y(单位：分钟)有如下关系． 到学校的距离x(千米)1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1 花费的时17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2

间y(分钟)如果统计资料表明 y 与 x 有线性相关关系，(1)判断 y 与 x 是否有很强的线性相关性；(相关系数 r 的绝对值大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到 0.01)(2)求线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^(精确到 0.01)；(3)将y^ <27 的时间数据y ^i 称为美丽数据，现从这 6 个时间数据y^i 中任取 2 个，求抽取的 2 个数据全部为美丽数据的概率． 参考数据：

i＝16y i ＝175.4，i＝16x i y i ＝764.36，i＝16(x i － x－)(y i － y －)＝80.30，i＝16(x i－ x－)2 ＝14.30，i＝16(y i － y－)2 ＝471.65, i＝16 x i － x－  2 y i － y －  2 ＝82.13.参考公式：r＝i＝16 x i － x－ y i － y － i＝16 x i － x－  2 y i － y －  2，b^ ＝i＝16 x i － x－ y i － y － i＝16 x i － x－  2.解(1)r＝i＝16 x i － x－ y i － y － i＝16 x i － x－  2 y i － y －  2＝ 80.3082.13 ≈0.98>0.75，∴y 与 x 有很强的线性相关性．

(2)依题意，得 x－ ＝3.9，y － ＝ 16i＝16y i ≈29.23，i＝16(x i － x－)(y i － y －)＝80.30，i＝16(x i － x－)2 ＝14.30，所以b^ ＝i＝16 x i － x－ y i － y － i＝16 x i － x－  2＝ 80.3014.30 ≈5.62.又a^＝ y－ －b ^x－ ≈29.23－5.62×3.9≈7.31，故线性回归方程为y^ ＝5.62x＋7.31.(3)由(2)可知，当 x＝3.1 时，y^3 ＝24.732<27，当 x＝4.3 时，y^4 ＝31.476>27，所以满足y^ <27 的美丽数据共有 3 个，设 3 个美丽数据为 a，b，c，另 3 个不是美丽数据的为 A，B，C，则从 6 个数据中任取 2 个，共有 15 种情况，即aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC，ab，ac，bc，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有 3 种情况，即 ab，ac，bc.所以从这 6 个数据y^i 中任取 2 个，抽取的 2 个数据全部为美丽数据的概率为 P＝ 15.2.(2019·淄博模拟)《山东省高考改革试点方案》规定：从 2020 年开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A，B＋，B，C ＋，C，D＋，D，E 八个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91, 100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．

假设小明转换后的等级成绩为 x，则 69－6161－58 ＝70－xx－61，x≈63.45≈63(四舍五入取整)． 故小明最终成绩：63 分.某校 2017 级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级 A 的学生原始成绩统计如下． 成绩 93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7(1)求物理获得等级 A 的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数)；(2)从物理原始成绩不小于 90 分的学生中任取 2 名同学，求 2 名同学等级成绩不相等的概率． 解(1)设物理成绩获得等级 A 的学生原始成绩为 x，其等级成绩为 y，由转换公式得 93－xx－82 ＝100－yy－91，解得 y＝911(x－82)＋91，∴原始成绩的平均分为 x－ ＝85＋ 130 ×[1×8＋1×6＋4×5＋2×3＋4×2＋3×1＋3×0＋3×(－1)＋2×(－2)＋7×(－3)]＝85 2330 ≈85.77≈86，∴等级成绩的平均分为 y－ ≈ 911 ×(86－82)＋91≈94.(2)物理成绩不小于 90 分的学生共有 6 名．其中 1 名原始成绩为 93 的学生的等级成绩为 100，1 名原始成绩为 91，由转换公式得其等级成绩为 98，4 名原始成绩为 90，由转换公式得其等级成绩为 98，设等级成绩为100的 1名学生用 a表示，等级成绩为98的 5名学生用1,2,3,4,5表示，任取 2 名同学的所有结果为 a1，a2，a3，a4，a5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共 15 种，等级分数不相等的情况为 a1，a2，a3，a4，a5，共 5 种，由古典概型计算公式得 2 名同学等级成绩不相等的概率 P＝515 ＝13.

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