山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-解答题专项突破（六）概率与统计综合问题含答案解析

解答题专项突破(六)概率与统计的综合问题 通过对近几年高考试题分析，在高考解答题中，概率与回归分析、独立性检验相结合的综合问题既是考查的热点又是重点，设计成包含概率、统计图表的识别与应用等知识的综合题，以实际应用问题为载体，考查考生应用数学知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．试题难度一般不大，为中、低档题型． 热点题型 1 古典概型与样本数字特征的综合问题 ,典例)(2019·辽宁大连三模)某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取 50 名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1 分(很不满意)；2 分(不满意)；3 分(一般)；4 分(满意)；5 分(很满意)．其统计结果如下表(住宿满意度为 x，餐饮满意度为 y，单位：分)：

餐饮满意度 y 人数 住宿满意度 x 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3(1)求“住宿满意度”分数的平均数；(2)求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差；(3)为提高会员对酒店的满意度，现从 2≤x≤3 且 1≤y≤2 的会员中随机抽取 2人征求意见，求至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 分的概率． 解题思路(1)读懂题意，明确“住宿满意度”1 分的有 5 人，2 分的有 9 人，3 分的有 15 人，4 分的有 15 人，5 分的有 6 人，易求平均数．(2)明确 5 个“餐饮满意度”人数分别为 1,2,5,3,4.用方差公式求值．(3)利用列举法以及古典概型的概率公式求解． 规范解答(1)“住宿满意度”分数的平均数为 5×1＋9×2＋15×3＋15×4＋6×550＝3.16.(2)当“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的平均数为

1＋2＋5＋3＋45＝3，其方差为 1－3 2 ＋2－3 2 ＋5－3 2 ＋3－3 2 ＋4－3 25＝2.(3)符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2分的3人分别记为a，b，c.“住宿满意度”为 3 分的 3 人分别记为 d，e，f.从这 6 人中抽取 2 人有如下情况(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共 15种等可能的情况，所以至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 分的概率 P＝ 1215 ＝45.热点题型 2 古典概型与统计图表的综合问题 ,典例)(2019·佛山一中模拟)十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100 个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500,1750)，[1750,2000)，[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000](单位：克)中，其频率分布直方图如图所示．(1)按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中抽取 5 个，再从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；(2)以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：

A．所有蜜柚均以 40 元/千克收购； B．低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 克的以 80 元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案． 解题思路(1)根据频率确定抽取的 5 个蜜柚中落在[1500,1750)和[2000,2250)中的个数，利用古典概型的概率公式计算．

(2)先计算出各组的频率，再利用组中值计算出 5000 个蜜柚在各组中分布的个数，最后按各自方案计算出收益，选择收益大的方案． 规范解答(1)由题意，得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为 2∶3，∴应分别在质量为[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中各抽取 2 个和 3 个．记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为 A 1，A 2，质量在[2000,2250)的蜜柚为 B 1，B 2，B 3，则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：

A 1 A 2，A 1 B 1，A 1 B 2，A 1 B 3，A 2 B 1，A 2 B 2，A 2 B 3，B 1 B 2，B 1 B 3，B 2 B 3，这 10 种情况发生的可能性是相等的．其中质量均小于 2000 克的仅有 A 1 A 2 这 1 种情况，故所求概率为110.(2)方案 A 好，理由如下：

由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为 250×0.0004＝0.1，同理，蜜柚质量在[1750,2000)，[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000]的频率依次为 0,1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按 A 方案收购：

根据题意各段蜜柚个数依次为 500,500,750,2000,1000,250，于是总收益为 错误！×40÷1000＝ 错误！×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1000＝25×50×[26＋30＋51＋152＋84＋23]＝457500(元)若按 B 方案收购：

∵蜜柚质量低于 2250 克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5000＝1750，蜜柚质量高于或等于 2250 克的个数为 5000－1750＝3250，∴收益为 1750×60＋3250×80＝250×20×[7×3＋13×4]＝365000(元)． ∴方案 A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案 A.热点题型 3 古典概型与回归分析的综合问题 ,典例)(2019·昆明模拟)改革开放以来，我国农村 7 亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由 1978 年的 97.5%下降到 2018 年底的 1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012 年至 2018 年我国贫困发生率的数据如表所示，年份(t)2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 贫困发生 率 y(%)10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4(1)从表中所给的 7 个贫困发生率数据中任选 2 个，求这 2 个都低于 5%的概率；(2)设年份代码 x＝t－2015，利用回归方程，分析 2012 年至 2018 年贫困发生率的变化情况，并预测 2019 年的贫困发生率． 附 ：

回 归 直 线 y^＝ b^x ＋ a^的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 为 b^＝i＝1nx i y i －n x－y－i＝1nx 2 i －n x－ 2，a^＝ y－ －b^ x－.解题思路(1)用列举法得出基本事件总数，再用古典概型的概率公式求解．(2)由题意列出年份代码 x 与贫困发生率 y 的对应表格，计算 x－，y －，i＝17x i y i，i＝17x 2 i，根据公式求b^与a^写出回归方程． 规范解答(1)设 2012 年至 2015 年贫困发生率分别为 A 1，A 2，A 3，A 4，均大于 5%，设 2016 年至 2018 年贫困发生率分别为 B 1，B 2，B 3，均小于 5%.从 2012 年至 2018 年贫困发生率的 7 个数据中任选 2 个，可能的情况如下，{A 1，A 2 }，{A 1，A 3 }，{A 1，A 4 }，{A 1，B 1 }，{A 1，B 2 }，{A 1，B 3 }，{A 2，A 3 }，{A 2，A 4 }，{A 2，B 1 }，{A 2，B 2 }，{A 2，B 3 }，{A 3，A 4 }，{A 3，B 1 }，{A 3，B 2 }，{A 3，B 3 }，{A 4，B 1 }，{A 4，B 2 }，{A 4，B 3 }，{B 1，B 2 }，{B 1，B 3 }，{B 2，B 3 }，共有 21种等可能的情况，这 2 个都低于 5%的情况有{B 1，B 2 }，{B 1，B 3 }，{B 2，B 3 }，共 3种，所以，这 2 个都低于 5%的概率为321 ＝17.(2)由题意可得，年份(t)2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

年份代 码(x)－3 －2 －1 0 1 2 3 贫困发生 率 y(%)10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4 由上表可算得 x－ ＝0，y－ ＝ 10.2＋8.5＋7.2＋5.7＋4.5＋3.1＋1.47＝5.8，i＝17x i y i ＝－3×(10.2－1.4)－2×(8.5－3.1)－(7.2－4.5)＝－39.9，i＝17x 2 i ＝(－3)2 ＋(－2)2 ＋(－1)2 ＋0 2 ＋1 2 ＋2 2 ＋3 2 ＝28.所以，b^＝i＝17x i y i －7 x－y－i＝17x 2 i －7 x－ 2＝ －39.9－7×0×5.828－7×0 2 ＝－1.425，a^＝ y－ －b^ x－ ＝5.8－(－1.425)×0＝5.8，所以，线性回归方程为y^ ＝－1.425x＋5.8，由以上方程得b^<0，所以在 2012 年至 2018 年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降 1.425%； 当 x＝4 时，y^ ＝－1.425×4＋5.8＝0.1，所以，可预测 2019 年底我国贫困发生率为 0.1%.热点题型 4 古典概型与独立性检验的综合问题 ,典例)(2019·山东师范大学附中模拟)随着网络和智能手机的普及，许多可以解答各科问题的搜题软件走红．有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各 50

人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：

一周时间内进行网 络搜题的频数区间 男生频数 女生频数 [0,10] 10 3(10,20] 15 7(20,30] 11 17(30,40] 8 20(40,50] 6 3 将学生在一周时间内进行网络搜题的频数超过 20 次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过 20 次的视为“偶尔或不用网络搜题”．(1)根据已有数据，完成下列 2×2 列联表(单位：人)，并判断是否有 99%的把握认为使用网络搜题与性别有关？ 经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 女生 合计(2)现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人参加座谈，求选出的 3 人中恰有 2 人经常使用网络搜题的概率． 参考方式：K 2 ＝nad－bc 2a＋bc＋da＋cb＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d.参考数据：

P(K 2 ≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828 解题思路(1)先根据样本频数分布表和题意，计算相关数据填表，再计算 K 2，作出推断．(2)先计算分层抽样中经常使用网络搜题的人数和偶尔或不用网络搜题的人数，列举出所有基本事件，用古典概型的概率公式求解． 规范解答(1)

经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 25 25 50 女生 40 10 50 合计 65 35 100 ∵K 2 ＝ 100×25×10－25×40265×35×50×50≈9.890>6.635，∴有 99%的把握认为使用网络搜题与性别有关．(2)依题意，可知所抽取的 5 名女生中，经常使用网络搜题的有 40×550 ＝4 人，将这 4 人记作 A，B，C，D；偶尔或不用网络搜题的有 10×550 ＝1 人，将这 1 人记作 a.从这 5 人中随机选出 3 人的所有基本事件为(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)，共 10 个等可能的基本事件． 选出的 3 人中恰有 2 人经常使用网络搜题的所有基本事件为(A，B，a)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)，共 6 个．故选出的 3 人中恰有 2 人经常使用网络搜题的概率为 P＝610 ＝35.

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