工程问题教(学)案
今天，老师让每位同学当公司经理，看哪位经理最精明。
出示：假如你是某工程队的经理，要修一段路，现有甲、乙两个工程队，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成。你想承包给哪个队？为什么？（学生分组讨论，派代表发言）生 1：给甲队做，因为他完工时间比乙队少，…… 师：仅考虑时间少行吗？ 生 2：给乙队做，虽然他时间较长，可能修路质量好，…… 师：有没有更好的方案呢？ 生 3：由甲乙两队合做，完工时间更短，可让两队优势互补，…… 师：若甲乙两队合做，猜猜看，大约需要几天完工？ 生 1：小于 10 天，但大于 5 天。
生 2：6 天，可假设一段路长 120 千米，…… 师：我们不妨计算一下，具体是几天？ [从实际事例入手，学生成为“经理”，突出了学习的主动性。选择的素材紧密联系本课时的内容，学生在探讨解决问题的同时，兴趣盎然地进入学习新知的准备状态。] 二、教学例 9 1． 出示例 9：一段公路长 30 千米（60 千米）[用黑卡纸盖住]，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成，两队合修几天修完？ 师：各位“经理”算一算，几天完成呢？[同学们议论纷纷，跃跃欲势，都想当个精明的“经 理”。] 学生汇报计算的方法：30÷（30÷10+30÷15）=6（天）（板书）师：请你说说每步计算的含义。教师依次对应板书“甲的工效”“乙的工效”“工作总量”“合做
时间”并小结数量关系式：工作总量÷工作效率和=合做时间 师：如果把 30 千米改成 60 千米，其他条件不变，合做时间是多少呢？（揭去黑卡纸）[同学们思考片刻，纷纷举手] 生：60÷（60÷10+60÷15）=6（天）（板书）师：仔细比较这两道题，你发现了什么？ 生 1：合做时间都是 6 天。
生 2：无论公路长多少，只要各自单独做的时间不变，合做时间不变。
师：是这样吗？同学们用不同的公路长度试一试。[学生为了得到证实，即刻得出了结论。学生有了展现自我的机会，同时启发了学生探索数学奥秘的方法。]师板书省略号 师：为什么会这样呢？ 生 1：工作总量扩大了，工作效率也在扩大，而且扩大的倍数相同，所以时间不变…… 生 2：无论公路长多少，甲乙两队每天修的各自占总长的几分之几没变，…… 师：（擦去 30 千米和 60 千米）如果没有具体的公路长度，这题还能解答吗？[学生陷入了沉思]可以把这段路看作什么？[学生立即恍然大悟] 生：把这段公路看成单位“1”。
师：甲乙的工作效率又如何表示呢？ 生：1/10，1/15 师：同学们算一算，合做时间是几天呢？ 学生列出算式：1÷（1/10+1/15）=6（天）（板书）2． 师：这就是我们今天学习的新知识“工程问题”（板书课题）师：你觉得工程问题有哪些特点呢？ 生 1：把工作总量看成单位“1”……
生 2：工作效率用时间的倒数表示。
三、练习1． 投影出示：教材第 80 页练习二十第 1 题。指名学生回答。
2． 导入 部分加一个条件，假如现有三个工程队，丙单独修需 12 天完成，想一想经理安排合做的方式有几种？每种合做方式各需几天？（只列式，不计算）（有 4 种，分别是甲乙合做，甲丙合做，乙丙合做，三队合做）哪种合做方式时间最少 呢？请你把他们从时间少到时间多排列一下。（不计算）[本题既巩固了新知，又渗透了简单的排列组合问题，同时让学生领悟工效与所用时间的关系。] 3． 如果仅修这段路的一半，那么这几种合做方式各需几天呢？ 四、应用 工程问题的解题方法，在生活中有着广泛的应用。
1．投影出示：有一批布，如果只做西服的上衣可做20 件，只做西服的裤子可做30 条，请你算一算，这批布可以做几套这样的西服？ [本题的意图是学生能运用类比的数学方法解。即看成例 9] 2．你还能想到类似的问题吗？ [课后教感：整个教学环节努力渗透了数学课程标准的思想，立足数学要生活化，倡导学生为主体等，创设了解决实际问题的情境，让学生充分展现自我。学习数学的实际应用要比学纯数学知识有价值。]
教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第42～43 页例 7 及相关练习。
教学目标：
1．让学生经历用“假设法”解决分数工程问题的过程，理解并掌握把工作总量看作单位 “1” 的分数工程应用题的基本特点、解题思路和解题方法。
2．通过猜想验证、自主探究、评价交流等学习活动，培养学生分析、比较、综合、概括的能力。
教学重点：认识工程问题的特点，掌握其数量关系、解题思路和方法。
教学难点：学会用“工程问题”的方法解决实际问题。
教学准备：课件。
教学过程：
一、复习旧知
师：今天，我们将继续解决生活中的数学问题。先来看看，你能解决下面的问题吗？（ppt 课件出示。）（1）修一条 360 米的公路，甲队修 12 天完成，平均每天修多少米？ 360÷12=30（米）。
师：你是怎样列式的？为什么？（教师板书：工作总量÷工作时间＝工作效率。）（2）修一条 360 米的公路，甲队每天修 18 米，多少天能完成？ 360÷18=20（天）。
师：你是怎样列式的？为什么？（教师板书：工作总量÷工作效率＝工作时间。）（3）加工一批零件，计划 8 小时完成，平均每小时加工这批零件的几分之几？ 1÷8=。（师：你是根据什么来列式的？）
（师小结：不知道工作总量时，我们可以用单位“1”来表示，相对应的工作效率就用时间分之一来表示。）（4）一项工程，施工方每天完成，几天可以完成全工程？ 1÷=6（天）。（师：你又是根据什么来列式的？）【设计意图】小学生学习数学的过程就是新知识同原有知识相互作用，发展形成新的数学认识结构的过程。因此，在复习准备阶段，设计了上述 4 道基本练习题，帮助学生激发原有的知识记忆，使学生能进一步熟练运用工作总量、工作时间、工作效率这三个量之间的关系解决实际问题，并适当渗透工作总量、工作效率不是具体的数量时应该怎样表示，为学习新知做好铺垫。
二、创设情境，设疑导入 为了建设新农村，各地都在进行乡村公路的建设。张村也准备新修一条公路。两个工程队，一队单独修 12 天完成，二队单独修要 18 天完成。（ppt 出示。）师：从以上条件，我们可以获得什么信息？
（预设：一队每天修这条公路的；二队比一队多用 6 天完成；二队每天修这条公路的……）师：假如你是负责人，你会承包给谁？为什么？ 如果要修得又快又好，怎么办？（预设：让甲队修；可以让两个队一起修。）师：如果两队合修，多少天能修完？（PPT 出示完整题目。）张村准备新修一条公路。两个工程队，一队单独修 12 天完成，二队单独修要 18 天完成。如果两队合修，多少天能修完？ 【设计意图】教材中的例题设计了学生熟悉的修路情境，合理利用情境激发学生的学习兴趣, 逐步展开，并在设疑中生成有教学价值的问题——“如果两队合修，多少天能修完”，展开新课教学。
三、猜想验证，合作探究（一）猜想。
师：请同学们先猜一猜两个队一起修路，大约几天能修完？（教师随机板书学生所说的天数。）师：在这些天数中，哪些天数可以排除？你是怎样想的？（得出“两队合修的天数比 12 天少”的结论。）（二）讨论。
师：到底是几天呢？观察题目，想一想，要知道合修的时间，需要知道什么？（预设：需要知道工作总量和工作效率。）师：可这里的工作总量（也就是道路全长）是未知的，怎么解决？ 可以假设道路全长是多少？ 根据学生的回答，老师随机板书假设的长度（预设单位“1”，如 36 千米等。如果是假设具体数量，考虑 12 和 18 的公倍数会方便些）。
师：请你选择其中一个道路全长的值，试一试解决这道题吧。
（三）验证，辨析各种解法。
1．学生用假设法解题，老师巡视，抽取不同假设的同学板书演示。
2．全班交流评价各种方法，让学生说说自己解决的思路与方法。
预设：（1）假设道路全长 36 千米，36÷（36÷12+36÷18）＝7.2（天）；（2）假设道路全长 720 米，720÷（720÷12+720÷18）＝7.2（天）；（3）假设道路全长为单位“1”，1÷＝（天）。
对于假设具体数据的解法，分析一种，让学生说一说数量关系。（先分别求出两队的效率，再用工作总量除以合作工作效率，即两队效率之和，求出合作修路所需的工作时间。）对用单位“1”及分率解题的方法，老师结合 PPT 进行重点追问：
这里的 1 指什么，各指什么？代表什么？为何用 1÷？
请学生结合工作总量、工作效率与工作时间的关系说一说。（同桌互相讨论这种解法的思路。）预设：如果有同学用 1÷（1÷12+1÷18），肯定并说明可以直接写作的形式。
【设计意图】猜想与验证是学生自主探究的有效方法，让学生发散思维，在猜测中预测结果，提高学生参与验证的热情。另外，因为学生的认知基础不同，允许验证的方法多样化，对于正确的答案都能给予肯定，让学生享受成功的喜悦。
（四）小结建模，策略优化。
1．同学们各自假设的道路总长不同，但答案都是 7.2 天，说明什么？（说明完成时间和道路总长没有关系。）在道路总长发生变化的时候，哪些量在变，哪些量没有变？ 引导小结：他们单独修的时间不变，无论假设道路全长是多少，两个队每天修的始终占道
路全长的和.也就是说对这条公路的全长而言，他们每天修路的米数在变化，但他们每天修这条路的“几分之几”没有变。
2．比较这几种解法，哪种解法更简便一些？ 小结 ：这道题没有给出具体的工作总量，我们可以把工作总量看作单位“1”。
根据“一队单独修12 天完成”可知一队每天修全长的（也就是一队的工作效率），根据“二队单独修 18 天完成”可知二队每天修全长的（也就是二队的工作效率），所以表示两队工作效率之和。
用工作总量单位“1”除以工作效率之和，即可求得两队合修所需的工作时间。
【设计意图】在验证过程中，学生发现“工作总量变了，工作时间还是不变”，教师要引导学
生悟出其中的算理，使每一个学生自主有效地形成新知。从上一环节的算法多样化，到这一环节的方法小结优化，使学生的思维“量”“质”兼备。
（五）点明课题：这就是我们今天要学习的“工程问题”（板书课题）。
（六）针对性练习。
师：咱们一起来试试解题吧！（ppt 出示教材第 43 页“做一做”。）交流解题方法，说一说“把工作总量看作单位 1，效率就是次数分之一”。（PPT 直观演示线段图。）【设计意图】发挥多媒体计算机辅助教学的优势，出示情境，绘制线段图，为学生提供形象直观的演示，让学生在观察、比较中解决疑难问题，进一步突破本课教学难点，提高教学效率。
四、实践应用（一）辨析性练习
判断题。
（在正确算式后面的括号内打“√”，错误算式后面的括号内打“×”。并说明理由。）解答时出现了如下几种列式：
①300÷（8+10）……（）； ②300÷（300÷8+300÷10）……（）； ③300÷……（）； ④1÷（300÷8+300÷10）……（）； ⑤1÷……（）。
【设计意图】学生对知识的理解容易出现片面性和笼统性，会把刚学的新知识与相似的旧知识混淆，通过辨析，进一步明确工作总量和工作效率必须要相对应，从而促进学生对工程问题本质特征的理解。
（二）变式训练，类推应用
1．甲车从 A 城市到 B 城市要行驶 2 小时，乙车从 B 城市到 A 城市要行驶 3 小时。两车同时分别从A 城市和B 城市出发，几小时后相遇？（改变问题情境，将工程问题转化为行程问题。）2．某水库遭遇暴雨，水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口。只打开 A 口，8 小时可以完成任务，只打开B 口，6 小时可以完成任务。如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 【设计意图】通过变式训练，引导学生寻找知识间的联系，进行迁移、类推，加强学生对本节课的理解与对知识的消化，有效巩固工程问题的解题思路和解题方法，从而提高解题能力。
五、全课总结 说一说本节课你有什么收获？ 今天学习工程问题，这类题目的特点是：①把工作总量看作单位“1”；②谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一；③用工作总量除以工作效率和就得到工作时间。
六、课外作业
1 ． 教材第 45 页第 6 题 ； 2 ． 阅读教材第 45 页 “ 你知道吗 ” 内容。
