《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计
《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计
教材分析
通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析
本节课是在学生学习了圆及圆环的面积的基础上进行教学的，这是圆的面积的综合运用。主要教学圆的外切正方形和内切正方形与圆之间部分面积的计算方法，由于圆的半径与它的外切正方形及内接正方形的边长的特殊关系，所以教学中要注重画图解决问题中的作用，感知圆与正方形之间的关系。“算法多样化”是新课标的重要理念之一，提倡在本节课中学生的算法多样。
教学目标
1.让学生在“方中圆与圆中方”的问题情境中，发现正方形和圆面积之间的关系，培养学生提出问题的能力，激发学生自主探究的欲望。
2.让学生在探求问题的过程中，利用思维导图进行教学，让学生初步感知组合图形的面积的研究方法，获得探究的基本经验，体验数学之间的密切联系。
3.让学生在数学活动与讨论交流中，培养学生联想类推和独立探究的能力，提高学生解决问题的能力，增强合作的意识，树立学好数学的自信心，提高数学素养。
教学重、难点
重点：会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
难点：理解图形中正方形和圆的关系。
教学过程
一、创设情景，谈话引入
1.师：有时候由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅，我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。
2.课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的窗雕。
设计意图【传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引入立体的教学，极大的激发了学生学习的兴趣和探索的热情。】
二、实践操作，探究新知
1．实践操作。（课件出示教材例3的雕窗插图）
师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？
生：认真思考并解答。
2．师：我们可以将上述特征分别概括地称为外方内圆、外圆内方。
3．师：也就是我们以前学过的什么图形？（组合图形）你能用学具组合出这两个图形吗？
学生动手操作，作品展示
4．解决问题。
(1）阅读与理解。
师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再同桌交流。
(2）师：只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？
(3）分析与解答。
师：谁来说说你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？
师：你是怎么知道正方形的边长的？
根据学生回答课件展示：正方形的边长＝圆的直径。
(4）师：在右图中你能得出正方形的边长吗？该如何计算正方形的面积呢？追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？
设计意图：【1.动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程。使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识。找到了新知的生长点。2.学生经历观察，思考，分析，推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中注重把时间和空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。】
三、回顾反思，理解算法
师：每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底和高都是1 m ，相当于圆的半径。)
师：那么，圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算？
师：如果两个圆的半径都是1m，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
师：我们可以把题目中的条件= l m 代入上述的两个结果算一算，有什么发现？
设计意图【在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律，是本堂课教学的重要内容，在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，吸引学生主动投入到知识的发展过程中。】
四、练习强化
1.基础练习
(1)在正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的( )。
(2)在一个长12 cm，宽8 cm的长方形内画一个最大的半圆形，这个半圆形的直径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。
(3)在正方形内画一个最大的圆，圆与正方形面积的比是 ( )。
2.拓展练习
在一块边长为20 cm的正方形铁片中，截取如图所示的两个半圆，求剩余铁片的面积。
设计意图：【拓展练习采用小组合作的方式解答，进一步揭示了圆与正方形的面积之间的关系】
五、全课小结
师：同学们，本节课你最大的收获是什么？
（学生根据自己对所学知识的理解回答）
师小结：
1.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r²。
2.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r。
板书设计
外方内圆，外圆内方
教·学·内·容
人教版义务教育教科书六年级数学上册第69页至70页相关内容。
教·材·分·析
外方内圆和外圆内方是六年级上册第五单元学习了圆的面积后安排的一节探索正方形和圆形组合图形阴影部分面积的问题，旨在引导学生经历探索圆的内接正方形和外切正方形与圆之间部分的面积这一综合应用问题的过程，引导学生多维思考，克服思维定式，适时渗透思政教育，培养学生灵活应用的意识。
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学·情·分·析
本节课的内容是学生在学习圆的面积计算方法的基础上进行学习的,学生已具备了计算圆的面积和正方形面积计算的能力，但在学习外方内圆和外圆内方一般化结论的建模与直观想象应用还存在一定的困难，尤其是外圆内方中学生无法直接求出圆内接正方形边长时，利用圆的直径和半径添加辅助线的方法将正方形的面积转化为两个三角形的面积和或四个小三角形的面积，学生并不是一下子就能找到，这就需要课前做充分准备。
教·学·目·标
1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3．通过体验图形和生活联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
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教·学·重·难·点
1.教学重点： 掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
2.教学难点： 对组合图形进行分析。
教·学·准·备
外方内圆、外圆内方图形、彩笔、课件。
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教·学·过·程
1.创设情境。
古时候，由于人们的活动范围小，往往凭自己的直觉认识世界。看到眼前的地是平的，以为整个大地都是平的，并把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅，所以，古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。（出示课件）
虽然这种说法是错误的，却产生着深远的影响，尤其体现在建筑设计上，你瞧，我国北京的天坛、地坛，北京奥运会的鸟巢、水立方，正是遵循了“天圆地方”的原则修建的。生活中常常将正方形和圆结合起来设计一些精美的图案，这些精美的雕窗。（学生欣赏图片）这些雄伟的建筑、精美的设计无不体现了我们中华人民的智慧。
正方形和圆可以组成哪些数学组合图形呢？
2.选2名代表上前组图形。（教师提供圆和正方形图形）
师：你能给它们起个数学名字吗？
预设：外方内圆、外圆内方
这节课就让我们一起走进外方内圆和外圆内方的世界，探究其中的奥秘吧！
〖设计意图〗让学生通过欣赏中国建筑，感受中国人民的智慧， 体会数学图形在实际生活中的应用，初步认识外方内圆和外圆内方图形。
二、合作探究，解决问题
1.理解外方内圆、外圆内方图形。
（1）想一想：外方内圆和外圆内方图形是什么样子的？
预设：
外方内圆：正方形里最大的一个圆；外圆内方：圆里一个最大的正方形。
师：现在请同学们拿出课前设计的图形，互相展示一下吧！看看符合外方内圆和外圆内方图形吗？
（2）辨一辨：观察这两个图形，它们在设计上有什么联系和区别？
预设：
联系：都是由正方形和圆组合起来的。
区别：一个正方形在外，圆在内；另一个圆在外，正方形在内。
（3）画一画：交流画图经验，深入探究正方形和圆之间的联系。
师：老师想采访一下同学们，谁能告诉老师，你是如何在正方形里画出一个最大的圆？又是如何在圆里画出一个最大的正方形的？
预设：
生1：外方内圆是以正方形的边长为圆的直径。
生2：外圆内方是以圆的直径为正方形的对角线。
师：看来，同学们对外方内圆和外圆内方图形已经有了初步了解，老师有一个问题，我想知道正方形和圆之间部分的面积？你有什么好办法？（为了便于我们研究，我们把这部分用阴影表示出来。）
〖设计意图〗让学生通过动手制作外方内圆，外圆内方图形，理解他们之间的联系与区别，尤其对外圆内方图形中圆的直径就等于正方形的对角线的理解，学生在制作图形过程就会轻松发现，从而突破难点。
2.探究外方内圆、外圆内方图形阴影部分的面积。
（1）想一想：如何计算外方内圆和外圆内方中正方形和圆之间的面积？
学生回答（预设）：
外方内圆：S阴=S正-S圆
外圆内方：S阴=S圆-S正
（2）算一算：阴影部分的面积是多少？找一找：正方形和圆之间有什么关系？
师：观察自己设计的图形，说说每个图形中圆的直径和正方形有什么关系？
预设：
外方内圆：
圆的直径=正方形的边长
外圆内方：
圆的直径=正方形对角线
（3）探究半径为1m外方内圆和外圆内方阴影部分面积。
预设：
小组1：我们将正方形分为两个完全相等的等腰直角三角形。
小组2：我们将正方形分为四个完全相等的等腰直角三角形。
a. 展示汇报。
b. 互相评价。
c. 教师总结。
师：同学们的汇报简直太精彩了，老师为你们点赞。
（4）回顾反思，理解算法。
师：如果两个圆的半径为r,外方内圆和外圆内方阴影部分面积又会怎样呢？
生：独立完成，汇报结论。
师：想一想，当r=1时，和前面的结果一致吗？代入看看。
生：回答验证结果。
师：不管圆的大小如何改变，外方内圆的正方形与圆之间的面积都是半径平方的0.86，而外圆内方的正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍。
〖设计意图〗通过同桌交流、小组合作、自主探究的方式掌握求外方内圆和外圆内方图形中正方形和圆之间部分的面积的方法，并建立解决这类问题模型。
三、巩固练习
师：同学们真了不起，在独立思考、合作交流中解决了问题，可是你们是否能学以致用呢？让我们来检验一下吧！
1. 下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
2.下图中三角形的面积是4平方厘米，求圆的面积。
〖设计意图〗灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，感受生活中处处有数学。
四、课堂总结
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
生：学生畅所欲言。
2.播放视频“无规则不成方圆”。
外方内圆和外圆内方不仅在数学中有学问，在生活中处处有学问，自古就有“没有规矩，不成方圆”之说，请看（播放视频）。希望我们同学牢记这句话，做一名遵纪守法的小学生。
〖设计意图〗“没有规矩，不成方圆”视频的播放，让学生理解这句话的含义，并进行思政教育。
教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3及相关练习。
教学目标：
1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3．结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
教学重点：掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
教学难点：对组合图形进行分析。
教学准备：课件、学具、作业纸。
教学过程：
一、创设情景，谈话引入
1．师：古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。（结合课件出示）虽然这种说法是错误的，却产生了深远的影响，尤其体现在建筑设计上。
2．课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的雕窗。
【设计意图】由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
二、探究新知，解决问题
1．实践操作（课件出示教材例3中的雕窗插图）
师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？
预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。
师：我们可以将上述特征分别概括地称为外方内圆、外圆内方。
预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
师：也就是我们以前学过的什么图形？（组合图形）你能用学具组合出这两个图形吗？
学生操作，作品展示。
【设计意图】动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。
2．解决问题
（1）阅读与理解
师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再同桌交流。
预设1：正方形的面积减去圆的面积；圆的面积减去正方形的面积。
预设2：需要知道正方形的边长和圆的半径。
师：只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？
学生思考，尝试练习。
（2）分析与解答
师：谁来说说你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？
预设：正方形的面积是2×2=4（m2），减去圆的面积(3.14 m2)，等于0.86 m2。
师：你是怎么知道正方形的边长的？
根据学生回答课件展示：正方形的边长=圆的直径。
师：在右图中你能得出正方形的边长吗？（不能）该如何计算正方形的面积呢？
预设1：可以把右图中的正方形看成两个三角形。
追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？（底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。）
结合学生回答课件展示。
预设2：也可以看成四个三角形。
师：这样一来，每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底和高都是1 m，相当于圆的半径。）
师：那么，圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算？（学生练习，分析订正。）
【设计意图】让学生经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重把时间和空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。
三、回顾反思，理解算法
师：如果两个圆的半径都是，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
左图：。
师：像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？
学生练习，反馈讲评。
右图：。
师：我们可以把题目中的条件=1 m代入上述的两个结果算一算，有什么发现？
预设：和之前计算的结果完全一致。
【设计意图】“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发展过程中。
四、课堂练习，强化认识
1．基础练习
（1）有一块长20米，宽15米的长方形草坪，在它的中间安装了一个射程为5米的自动旋转喷灌装置，它不能喷灌到的草坪面积是多少？
师：求不能喷灌到的草坪面积，就是求什么？
（2）一件古代铜钱的模型（如图），已知外圆的直径是20cm，中间正方形的边长为6cm。这个模型的面积是多少？
师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？
2．拓展练习
在每个正方形中分别作一个最大的圆，并完成下表。
采用四人小组合作的方式完成，小组汇报展示。
师：你发现了什么？如果正方形的边长为，你能得出怎样的结论？
正方形面积为，圆的面积为，面积之比为。
师：如果是在圆内作一个最大的正方形，又会有怎样的关系呢？这个问题就作为今天的课外作业。
【设计意图】基础练习的设计在于运用新知解决生活中的实际问题，并强调对结果进行验证的意识。拓展练习采用小组合作的方式解答，进一步揭示了圆与正方形的面积之间的关系，对于培养学生的合作交流意识、发展数学思维能力等方面具有重要的意义。
五、全课总结，畅谈收获
通过本节课的学习，你有什么收获？谁来说一说。
重实践 勤反思 促提高 ---《外方内圆和外圆内方》教学反思
学生是数学学习的主体,在积极参与学习活动的过程中不断得到发展，通过动手实践、自主探索、合作交流等方式;应用知识并逐步形成技能,只有亲身参与教学活动才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。
这节课我首先从欣赏古代建筑中雕窗的设计自然地引出例题的教学，极大地激发了学生的学习兴趣和探索的热情。
然后让学生用学具组合出外方内圆和外圆内方的图形，通过动手实践操作的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。
再让学生进行小组合作交流活动，让学生经历观察思考、分析推理、计算验证、讨论交流、汇报成果等活动过程，得出圆与正方形的面积之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决，培养学生的自主探索、合作交流意识，在活动中发展了数学思维能力。
最后的课堂练习设计环节我让学生运用新知解决生活中的实际问题，进一步巩固了对圆与正方形的面积之间的关系的认知，感受数学的价值。
本节课教学过程中，我注重把时间和空间还给学生，只用简单的设问，引出学生动手实践、自主探索、合作交流的过程展示，让学生成为数学课堂学习的主体,在积极参与学习活动的过程中不断积累数学活动经验，提高数学素养。
存在的不足之处：在这一节课中我有点着急，只是让学生草草地操作，更多的是透过课件的展示操作来引导学生观察，比较、分析。学生的思维在交流中虽有碰撞，但总觉得不够。在以后这一类的教学中，就应给学生足够的思考空间和探索时光，使学生的思维的能动性和创造性得到充分激发，探索潜力、分析问题和解决同题的潜力得到充分提高。另外，在细节的设计还要精心安排。
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