有关高三数学平面向量的数量积教学设计

【简介】下面是小编为大家推荐的有关高三数学平面向量的数量积教学设计（共13篇），欢迎大家分享。在此，感谢网友“”投稿本文！

篇1：有关高三数学平面向量的数量积教学设计

教学目标：

(i)知识目标：

(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

(2)平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标：

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.

(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点：平面向量数量积的综合应用.

?教学过程：

一、知识梳理

1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫 与 的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并规定 与任何向量的数量积为0

2.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos(的乘积.

3.两个向量的数量积的性质 设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

3(当 与 同向时， ( = | || |;当 与 反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = | |2

4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

4.平面向量数量积的运算律

① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

5.平面向量数量积的坐标表示

①已知两个向量 ， ，则 .

②设 ，则 .

③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

、，那么 .

④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .

⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例题

1.平面向量数量积的运算

例题1 已知下列命题：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正确命题序号是 ②、④ .

点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .

解(1)当 时， = 或 = .

(2)当 时， = .

(3)当 的夹角为 时， = .

变式训练：已知 ，求

解： =

点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.

2.夹角问题

例题3 若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )

A. B. C. D.

解：依题意 故选C

变式训练1：① 已知 ，求向量 与向量 的夹角.

② 已知 ， 夹角为 ，则 .

解： ① ，故夹角为 .

②依题意得 .

变式训练2：已知 是两个非零向量，同时满足 ，求 的夹角.

法一 解：将 两边平方得 ，

则 ， 故 的夹角.为 .

法二： 数形结合

点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.

3.向量模的问题

例题4 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，求 .

解： ，且 的夹角为;

变式训练 ：

①(湖北)已知向量 ，若 不超过5，则 的取值范围 ( )

A. B. C. D.

②(福建) 已知 的夹角为 ， ， ，则 等于( )

A 5 B. 4 C. 3 D. 1

解： ① ， 故选C

② ， ，解得 ，故选B

点评：涉及向量模的问题一般利用 ，注意两边平方是常用的方法.

4.平面向量数量积的综合应用

例题5 已知向量 .

若 ; (2)求 的最大值 .

解：(1)若 ，则 ， .

(2) = =

， 的最大值为 .

例题6已知向量 ，且 满足 ，

求证 ; (2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;

(3)求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .

解：(1)，

故

(2) ，

故 .

篇2：有关高三数学平面向量的数量积教学设计

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

教材说明

平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。

平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。

课型 新授课

课时 1课时(练习共2课时)

学情分析

在学平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用;在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学内容分析

教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(B版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。?

教学目标

知识与技能：

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;

(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;

(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.

过程与方法：

通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想

情感态度与价值观：

通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯

教学重点和难点

重点：平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.

难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用。

教学策略选择与设计

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

教学资源与手段

资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。

手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。

教学过程设计

教学环节 教学过程 师生活动 设计意图

情景引入 1、给出有关材料并提出问题

问题1： 表示一个么角?

SHAPE MERGEFORMAT

(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功： 。

(2)这个公式有什么特点?请完成下列填空：

①W(功)是 量，②F(力)是 量，

③S(位移)是 量，④ 是 。

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

提问

学生易答：表示力 的方向与位移 的方向的夹角

创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。

探究问题

形成定义

(1)探究两个向量的夹角的定义。

问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗?

问题3：对于两个非零向量 ，你能给出它们夹角的定义吗?

问题4：思考向量夹角的范围

问题5： 表示什么?

SHAPE MERGEFORMAT

(2)探究向量 在 方向上的投影

问题6：对于两个非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影为什么?你能从图中作出 在 方向上的投影吗?

(3)探究 与 的数量积.

问题7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量

定义：

叫做 与 的数量积(或内积)，记作： .

即： = 。(板书三)

问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?

若 是非零向量，设夹角为θ，完成下表：

夹角θ的范围的符号

问题9：根据投影的概念，数量积 =

的几何意义如何? (板书四)

问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

(板书五)

①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导

学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号

有了问题2的铺垫，学生容易得出0 ，

教师强调同向时为0，反向时为π.

教师补充：

(1)当

= 时，向量 与向量 互相垂直，记作 .

(2)在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.

生答：力F在位移方向上的分量

师补充：我们把 称为力F在位移S方向上的投影

师生共作向量 在 方向上的投影图象。

对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量 与 。

怎么来规定

篇3：有关高三数学平面向量的数量积教学设计

平面向量的数量积教案

考纲要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件.

高考预测：(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低.

(2)主观题---以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用，多与函数、三角函数、不等式联系，难度中等.

教学目标：

(i)知识目标：

(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

(2)平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标：

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.

(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点：平面向量数量积的综合应用.

教 具：多媒体.

教材教法分析：

本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课，重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想.

?教学过程：

一、追溯

(修改：这部分属知识点回顾，既然是高三复习课，可把相关知识点以填空的形式展示出来。一方面可要求不主动学习的学生完成必要的任务，另一方面也把知识的重点部分展现在所有学生面前。)

1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫 与 的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并规定 与任何向量的数量积为0

2.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos(的乘积.

3.两个向量的数量积的性质 设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

3(当 与 同向时， ( = | || |;当 与 反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = | |2

4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

4.平面向量数量积的运算律

① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

5.平面向量数量积的坐标表示

①已知两个向量 ， ，则 .

②设 ，则 .

③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

、，那么 .

④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .

⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例题

1.平面向量数量积的运算

例题1 已知下列命题：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正确命题序号是 ②、④ .

点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .

解(1)当 时， = 或 = .

(2)当 时， = .

(3)当 的夹角为 时， = .

变式训练：已知 ，求

解： =

点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.

2.夹角问题

例题3 (北京)若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )

篇4：高中数学平面向量的数量积教案设计

案例名称平面向量数量积的设计 主备人 组员 课时 3课时 一、教材内容分析平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二、教学目标(知识，技能，情感态度、价值观) (一)知识与技能目标

1、知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，了解其几何意义;

2、能够由定义探究平面向量数量积的重要性质;

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

(二)过程与方法目标

(1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义并由定义探究性质;

(2)由功的物理意义导出数量积的几何意义;

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学策略选择与设计 教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发引导法。

学法：自主探究、合作交流、归纳总结。

教师与学生互动：学生自主探究，教师引导点拨。 五、教学环境及资源准备 三角尺 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备

创设情景引入新课

问题1 在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 师】：提出学生已学过的问题设置疑问，激发学生兴趣。

【生】：W=FS cos 让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。 问题2 在上述公式中的 角是谁与谁的夹角?两向量的夹角是如何定义的? 【师】：提问 角从而引出两向量夹角的定义。

【生】：指出 角是力与所发生的位移的夹角 能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

师生互动探索新知

1 引出两个向量的夹角的定义

定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB，称∠AOB= 为向量a与b的夹角， (00≤θ≤1800)。

(此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示)

【师】：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图引导学生归纳、总结出两向量夹角的特征及各种特殊情况。

【生】：学生作图，任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

注：(1)当非零向量a与b同方向时，θ=00

(2)当a与b反方向时θ=1800 (共线或平行时)

(3)0与其它非零向量不谈夹角问题

(4)a⊥b时θ=900

(5)求两向量夹角须将两个向量平移至公共起点

实际应用巩固新知

1 实际问题我能行

例1 在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 与 BC 夹角是多少?BA 与 CB 夹角呢? 【生】：以四人为小组合作、交流。

篇5：高中数学平面向量的数量积教案设计

教材分析：

教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。

向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。

教材例一是对数量积含义的直接应用。

学情分析：

前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

三维目标：

(一)知识与技能

1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。

2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。

(二)过程与方法

1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。

(三)情感态度价值观

1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。

2、通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.

四、教学重难点：

1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证;

2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解;

五、教具准备：多媒体、三角板

六、课时安排：1课时

七、教学过程：

(一)创设问题情景，引出新课

问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?

新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义

新课：

1、探究一：数量积的概念

展示物理背景：视频“力士拉车”，从视频中抽象出下面的物理模型

背景的第一次分析：

问题：真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?

答：实际上是力 在位移方向上的分力，即 ，在数学中我们给它一个名字叫投影。

“投影”的概念：作图

定义：| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量;

2、背景的第二次分析：

问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

分析： 用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢?

平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || | 叫 与 的数量积，记作 · ，即有 · = | || | (0≤θ≤π).并规定 与任何向量的数量积为0.

注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.

3、向量的数量积的几何意义：

数量积 · 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos(的乘积.

篇6：高中数学平面向量的数量积教案设计

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图：

1.平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W ，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢?以此为基础引出了两非零向量a， b的数量积的概念。

平面向量数量积(内积)的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫a与b的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，(0≤θ≤π).

并规定0与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a(b = |a||b|cos(无法得到，因此另外进行了规定。

3. 两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

， 是记法， 是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数;当 时，数量积为零;当 时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角(的大小。当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 |b|;当( = 180(时投影为 (|b|. 因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。

5.向量的数量积的几何意义：

数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。

6.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，则

(1) a(b ( a(b = 0;

(2)当a与b同向时，a(b = |a||b|;当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或

(3)|a(b| ≤ |a||b|

(4) ，其中 为非零向量a和b的夹角。

例1. (1) 已知向量a ，b，满足 ，a与b的夹角为 ，则b在a上的投影为______

(2)若 ， ，则a在b方向上投影为 _______

例2. 已知 ， ，按下列条件求

篇7：《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思

《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思

平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的`因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。

篇8：《平面向量的数量积》几何教学微课

《平面向量的数量积》几何教学微课

王志友

（浙江省安吉县孝丰高级中学）

摘 要：在分析平面向量数量积的作用、地位和教学目标的基础上，引出平面向量数量积的重要性质，以历年高考中的经典例题为例进行分析，采用微课的教学方式，旨在提高学生解决问题的能力，并培养他们的创新解题思维和实践能力。

关键词：平面向量；数量积；性质；运用

一、平面向量的数量积

1.平面向量数量积的作用及地位

平面向量的数量积是高中必修第四版的内容，作为高中课程中的重要内容，在教学中有着很重要的地位。向量是图形位置的直观体现，而且又具有很好的运算性质，是运算与图形进行有机结合的重要途径。通过把空间图形的特性间接转化为向量的运算，简化了空间直线和平面所带来的问题，是研究物理学和其他工程技术的重要工具。

2.平面向量数量积的教学目标

针对学生对平面向量的`数量积的学习，在微课程教学中要达到以下目标才能让学生充分掌握平面向量数量积的性质和应用方法。首先是认知目标，应理解平面向量数量积的含义和物理意义，学会基本的数值计算以及向量垂直关系的判断方法。其次是能力目标，通过平面向量数量积的学习，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，激发他们学习的欲望和热情，注重自主学习能力的培养。

二、平面向量数量积的性质与应用

在设计微课时，为了更好地了解平面向量数量积的性质，提高学生解决问题的能力，要具体介绍平面向量的数量积的性质和运算规律，下面将以高考中的实例进行分析。

1.平面向量的数量积的重要性质与运算律

2.平面向量的数量积例题精讲与运用

平面向量的数量积在计算时，一般有两种考查形式，()一种是纯向量形式，一种是以几何图形为载体，侧重点还是对数量积的运算。

评析：在这道题的求解过程中，运用到了数量积的几何形式计算，基本思路就是要建立基向量思维，选取一组基底，把需要求解的向量用基底表示出来，再运用平面向量的数量积公式和法则进行求解，解这类几何图形问题，要注意把握几何图形之间的关系和性质。

答案：A。

评析：本题是考查向量模的取值范围大小问题，对向量的基本知识和运用进行了全面的考查，尤其是向量的概念、线性计算与数量积、角度与模值之间的相互计算等，计算方法可以采用代数法和几何法两种。

从上述例1、2中可以看出，平面向量的数量积是高考考查的重点和难点，不仅局限于对向量概念的考查，更多的是对立体几何、解析几何和三角函数等一系列的知识点进行综合考查，近年来又逐渐加入了不等式、线性规划等方面的内容。

对于平面向量数量积的应用，要学会把几何问题和物理学问题转变为向量问题。利用微课的教学优势，通过平面向量数量积的微课程学习，充分调动学生学习的积极性，不断提高他们的数学素养。

参考文献：

高维玺。探究高中数学新课程中的向量及其教学［J］。新课程：中旬，（07）。

篇9：高中数学平面向量的数量积教案

一、教学内容分析

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：

已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义，可以让学习对新知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师：同学们猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用图怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

师：数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问题的能力。

5min 性 质 师：同学们a·b为非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°，90°，180°时，a·b有什么性质呢。

生：①当θ=90°时

a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②当a与b同向时

即θ= 0° ，则a·b=∣ a∣·∣b∣

当a与b反向时，

即θ= 180°，则a·b=∣ a∣·∣b∣

特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生：①a·b= b·a(交换)

②(λa)·b=λ (a·b)

篇10：高中数学平面向量的数量积教案

教材分析：

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

(一)知识与技能

1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;

2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;

3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

(二)过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

(三)情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

1.平面向量的数量积的定义;

2.用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

(一)提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能，运算结果又是什么呢?

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢?

我们知道：W=|F||s|cosθ，

功是一个标量(数量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

(二)讲授新课

今天我们就来学习：(板书课题)

2.4平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

1.已知两个非零向量 与 ，我们把数量| || |cosθ叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cosθ ， 其中 θ是 与 的夹角。

2.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 =0

注意：

(1)符号“ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2) 是 与 的夹角，范围是0≤θ≤π，(再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量 与 的数量积 的符号由夹角θ决定：

cosθ

= cosθ = 0

cosθ

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢?

二、数量积的几何意义

1.“投影”的概念：已知两个非零向量 与 ，θ是 与 的夹角，| |cos( 叫做向量 在 方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量?

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|(为锐角 (为钝角 (为直角

| |cos( | |cos( | |cos(=0

当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 | |;当( = 180(时投影为 (| |

思考： 在 方向上的投影是什么，并作图表示

2.数量积的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 方向上投影| |cos(的乘积，也等于 的长度| |与 在 方向上的投影| |cos(的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

设 与 都是非零向量，θ是 与 的夹角

篇11：高中数学平面向量的数量积教案

向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

知识和技能：

使学生了解向量的数量积的抽象根源。

使学生理解向是的数量积的概念：

两个非零向量的夹角;定义;本质;几何意义。

使学生了解向量的数量积的运算律

掌握向量数量积的主要变化式： ;

过程与方法：

从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质;接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。

给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。

由数量积的定义式，变化出一些特例。

情感、态度和价值观：

使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。

三、重、难点：

【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法

【难点】向量的数量积的几何意义

四、教学方案及其设计意图：

平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。于是在引导学生学平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。(如图)首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W ，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。以此为基础引出了两非零向量a， b的数量积的概念： ， 是记法， 是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数;当 时，数量积为零;当 时，数量积为负。

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。

篇12：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1.1 教材的地位与作用

本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

（1）学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.

（2）学生对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识.

（3）学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.

2 教学目标分析

依据课程标准和以上分析，制定本节课的三维目标如下：

知识与技能目标

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质.

过程与方法目标

经历从物理背景的分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括，类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

情感、态度、价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.

3 重点、难点分析

根据教学目标以及学情分析，确定本节课的教学重点、难点.

重点：平面向量数量积的概念和性质.

难点：向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.

在教学中，注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手，通过层层分析， 形成数量积的概念，并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程，来突出重点.通过练习和探究问题的设计，将五个性质分散开来，通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段，从理性认识到实践练习，再到应用，使性质自然呈现，既突出了重点，又突破了难点.

4 教学策略分析

基于数量积的知识特点及学生的认知规律，采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.同时，为了有效实现教学目标，采用多媒体和自编学案辅助教学.

5 教学过程分析

本节课的教学流程如下：

具体分析如下：

5.1 创设情境 展示背景

教师录像展示“大力士拉车”的情境实例，提出物理问题.

问题1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车移动的位移是s，力和位移的夹角为θ，大力士所做的功为多少？

设计意图 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情.

5.2 分析背景 形成概念

该环节，依据本套教材的特点，以物理背景作为总的抓手，通过抽象、概括、归纳，形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.

第一步：背景的初次分析

问题2 决定功的大小的量有哪几个？它们是标量还是矢量？当力和位移的大小一定时，功的大小取决于那个量？

问题3 这个夹角抽象到我们数学中，就是今天我们要学习的两个向量的夹角，把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b，你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗？

设计意图 通过力做功的几个因素的分析，突出夹角在做功中的作用，形成两个向量夹角的概念.

1.两个向量的夹角

已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a与b的夹角，记作：〈a，b〉.

问题4 下面几种情形中（锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向），两向量的夹角分别是什么角？

设计意图 通过几种类型的夹角的给出，让学生直观感知夹角的范围，帮助学生理解夹角范围规定的合理性.

规定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.

特别的：当〈a，b〉=π2时，叫做a与b垂直，记作a⊥b；

两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.

问题5 请回顾：0的方向是怎样规定的？

规定：0与任意向量垂直.

前面曾规定：0与任意向量平行.

设计意图 概念呈现后，注意与前面所学知识进行对比，便于学生理解，记忆.图1

练习： 如图1，正△ABC中，求

（1）AC与AB的夹角；

（2）AB与BC的夹角.

注：确定两向量的夹角的关键是：通过平移使两向量共起点.

设计意图 及时巩固所学概念，强调确定两向量夹角的一般方法.

第二步：背景的再次分析

问题6 真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

设计意图 让学生借助已有的认知经验，类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在轴上的正射影及其数量的.概念.从特殊到一般，符合学生的认知规律，突破难点.

2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）.

向量在轴上的正射影的数量

该射影在轴l上的坐标， 称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. OA=a在轴l上正射影的坐标记作： al，若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则al=|a|cos θ.

问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别？

问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗？

注： a在轴l上的正射影的数量是个实数，可正、可负、可为零.

向量a在b方向上的正射影及数量

如果向量b在轴l上且与轴同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的数量是acos.

设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量，为数量积的概念的学习做准备

篇13：六年级数学《平面图形的周长与面积》的教学设计

二、教学目标：

1、进一步理解平面图形的周长和面积的意义与区别。使学生了解平面图形的.周长和面积计算公式的推导过程，并会运用这些公式进行正确计算。

2、使学生对平面图形的周长和面积形成知识体系。

三、教学重点：复习计算公式

四、难点：公式推导过程，并能熟练的应用公式进行计算。

五、教学设计：

1、呈现面积计算公式

我们学过这些平面图形，它们的面积公式是怎样的？如何用字母表示呢？

根据学生的回答逐个出示平面图形。

2、逐个梳理推导过程

这六个平面图形的面积公式是怎么推导出来的呢？我们一起来回忆一下。（小组讨论）

学生可以相互说说，媒体演示推导过程：

长方形：s=ab

正方形：s=a2

平行四边形：S=ah

三角形： s= 1/2 ab

梯形： s= （a+b）h

圆： s=r2

3、整理完善知识结构

平面图形面积计算公式是以长方形面积公式为基础推导来的：

因为S长=___________，而正方形是（  ）和（  ）相等的长方形，所以S正=________；平行四边形可以割补成长方形，它的底相当于（  ），高相当于（  ），所以S平=___________；两个形状、大小相同的三角形，可以拼成一个（  ），所以S三=___________；两个形状、大小相同的梯形，可以拼成一个（  ），所以S梯=____________；圆可以割补成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的（  ），长方形的宽相当于圆的（  ），所以S圆=___________，最后推出S圆=___________。

4、练习：第97页做一做。

《空间向量的数量积运算》教学设计

《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思

向量数量积教案模板（共15篇）

平面向量检测题

积乘方教学设计