数学向量教案模板
第1篇：数学 复数的向量表示 数学教案
教学目标
（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；
（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；
（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；
（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．
教学建议
一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．
二、重点、难点分析
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
三、教学建议
1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．
2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示，建立复平面以后，复数 与复平面内的点 形成—一对应关系，而点 又与复平面的向量 构成—一对应关系．因此，复数集 与复平面的以 为起点，以 为终点的向量集 形成—一对应关系．因此，我们常把复数 说成点Z或说成向量 ．点、向量 是复数 的另外两种表示形式，它们都是复数 的几何表示．
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量 相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．
2．这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．
3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．
4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问 的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．
5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量 的模，又叫做向量 的绝对值，也就是有向线段OZ的长度 ．它也叫做复数 的模或绝对值．它的计算公式是 ．
教学设计示例
复数的向量表示
教学目的1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．
2 通过数形结合研究复数．
3培养学生辩证唯物主义思想． 重点难点
复数向量的表示及复数模的概念． 教学学具
投影仪 教学过程 1复习提问：向量的概念；模；复平面． 2新课：
一、复数的向量表示：
在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定．
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．
常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．
二、复数的模
向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1 求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．
解：∵|Z1|2=32+42=25 |Z2|2=（-1）2+22=5
∴|Z1|＞|Z2| 练习： 1已知z1=1+3i z2=-2i Z3=4 Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．
⑵计算它们的模．
三、复数模的几何意义
复数Z=a+bi，当b=0时z∈R |Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．
例2 设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
⑴ |Z|=4 ⑵ 2≤|Z|＜4
解：（略）
练习：⑴ 模等于4的虚数在复平面内的点集 ．
⑵ 比较复数z1=－5+12i z2=―6―6i的模的大小．
⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示复数x+yi的点的轨迹． 教学后记： 板书设计：
一、复数的向量表示：
三、复数模的几何意义
二、复数的模
例2 例1 探究活动
已知 要使，还要增加什么条件？
解：要使，即 由此可知，点 到两个定点 和 的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆 ．
因此，所要增加的条件是：点 应满足条件 ．
说明 此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件．
第2篇：数学空间向量
一.空间向量的基本概念、运算、定理
1.空间向量的基本概念
由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。
即：平行六面体ABCD-A＇B＇C＇D
＇中，3.空间向量的数量积
空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。
定义
：
性质与运算律：
①
4.空间向量中的基本定理
共线向量定理：对于
作用：证明直线与直线平行。
推论：P、A、B
三点共线的充要条件：
实数。
作用：证明三点共线。
共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量的充要条件是存在实数对x、y
使
作用：证明直线与平面平行。
推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：
x、y、z为实数，且x+y+z=1。
作用：证明四点共面。
空间向量的基本定理：如果三个向量
不共面，那么对于空间任意向量，存在一，其中O为任意一点。不共线，向量共面，其中O为任意一点，t为任意空间向
量;
②;
③;
④;
⑤的夹角（起点重合），规
定。
个唯一的有序实数组x、y、z
使做空间的一组基底。
作用：空间向量坐标表示的理论依据。
二.空间向量的坐标运算
1.空间直角坐标系。、、叫做基向量，叫
我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：A（x，y，z）。
2.向量的直角坐标运算
．
二、空间向量的加减与数乘运算
（1）空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与
平面向量的运算一样：
（2）、空间向量的加、减与数乘运算律：
=（指向被减向量），加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
注：空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向
量，即：
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
三、共线向量与共面向量
1、共线向量定理：对空间任意两个向量
（1）推论：
如图所示，如果l为经过已知点A
且平行于已知向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
量)．直线l上的点和实数t是一一对应关系.（2）空间直线的向量参数方程：
在l
上取 则（其中 是直线l的方向向，存在唯一实数 ；因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
特别地，当
点）
时，得线段AB中点坐标公式：（其中P是AB中
2、共面向量定理：如果两个向
量, 使
.不共线，则向
量 与向
量 共
面
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使；
进而对空间任一定点O，有
实数对(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式.四、空间向量基本定理、若
其中
2、将上述唯一分解定理换成以任一点O为起点：O、A、B、C不共面，则对空间任意一点P，存在唯一的三个有序实数x,y,z∈R，使
五、两个空间向量的数量积、向量
2、向量的数量积的性质：
(1)
(2)
(3)
性质(2)可证明线线垂直；
性质(3)可用来求线段长.3、向量的数量积满足如下运算律：
（1）
（2）
（3）（交换律）（分配律）。为单位向量)的数量积：
不共面，则对任意向量 称空间的一个基底，, 存在唯一x,y,z∈R，使①，在平面MAB内，点P对应的 都叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.性质(1)可用来求角；
第3篇：教师资格证高中数学教案：向量
1 本节内容在全书及章节的地位：
《向量》出现在高中数学第一册(下)第五章第1节。本节内容是传统意义上《平面解析几何》的基础部分，因此，在《数学》这门学科中，占据极其重要的地位。
2 数学思想方法分析：
(1)从“向量可以用有向线段来表示”所反映出的“数”与“形”之间的转化，就可以看到《数学》本身的“量化”与“物化”。
(2)从建构手段角度分析，在教材所提供的材料中，可以看到“数形结合”思想。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：
1 基础知识目标：掌握“向量”的概念及其表示方法，能利用它们解决相关的问题。
2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。
3 创新素质目标：引导学生从日常生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力;《向量》的教学旨在培养学生的“知识重组”意识和“数形结合”能力。
4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立意识以及不断超越自我的创新品质。
三、教学重点、难点、关键
重点：向量概念的引入。
难点：“数”与“形”完美结合。
关键：本节课通过“数形结合”，着重培养和发展学生的认知和变通能力。
四、教材处理
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面 按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出“数形结合”呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程 力求达到解决如下问题：知识是如何产生的?如何发展?又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单 的和谐关系。
五、教学模式
教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和全体学生积极参与下，进行集体认识的过程。教为主导，学为主体，又互为客体。启动学生自主性学习，启发引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。
六、学习方法
1、让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程。
2、使学生把独立思考与多向交流相结合。
七、教学程序及设想
(一)设置问题，创设情景。
1、提出问题：在日常生活中，我们不仅会遇到大小不等的量，还经常会接触到一些带有方向的量，这些量应该如何表示呢?
2、(在学生讨论基础上，教师引导)通过“力的图示”的回忆，分析大小、方向、作用点三者之间的关系，着重考虑力的作用点对运动的相对性与绝对性的影响。
设计意图：
1、把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”、惊讶、困惑、感到棘手，紧张地沉思，期待寻找理由和论证的过程。
2、我们知道，学习总是与一定知识背景即情境相联系的。在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
(二)提供实际背景材料，形成假说。
1、小船以0.5m/s的速度航行，已知一条河长2000m，宽150m，问小船需经过多长时间，到达对岸?
2、到达对岸?这句话的实质意义是什么?(学生讨论，期望回答：指代不明。)
3、由此实际问题如何抽象为数学问题呢?(学生交流讨论，期望回答：要确定某些量，有时除了知道其大小外，还需要了解其方向。)
设计意图：
1、教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维的最邻近发展)通过问题引领，来促成学生“数形结合”思想的形成。
2.通过学生交流讨论，把实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。
(三)引导探索，寻找解决方案。
1、如何补充上面的题目呢?从已学过知识可知，必须增加“方位”要求。
2.方位的实质是什么呢?即位移的本质是什么?期望回答：大小与方向的统一。
3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等系列化概念之间的关系是什么?(明确要领。)
设计意图：
学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上，进行讨论交流，相互评价，共同完成了“数形结合”思想上的建构。
2、这一问题设计，试图让学生不“唯书”，敢于和善于质疑批判和超越书本和教师，这是创新素质的突出表现，让学生不满足于现状，执着地追求。
3、尽可能地揭示出认知思想方法的全貌，使学生从整体上把握解决问题的方法。
(四)总结结论，强化认识。
经过引导，学生归纳出“数形结合”的思想——“数”与“形”是一个问题的两个方面，“形”的外表里，蕴含着“数”的本质。
设计意图：促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。
(五)变式延伸，进行重构。
教师引导：在此我们已经知道，欲解决一些抽象的数学问题，可以借助于图形来解决，这就是向量的理论基础。
下面继续研究，与向量有关的一些概念，引导学生利用模型演示进行观察。
概念1：长度为0的向量叫做零向量。
概念2：长度等于一个单位长度的向量，叫做单位向量。
概念3：方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量。(规定：零向量与任一向量平行。)
概念4：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
设计意图：
1.学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上进行讨论交流，相互评价，共同完成了有向线段与向量两者关系的建构。
2.这些概念的比较可以让学生加强对“向量”概念的理解，以便更好地“数形结合”。
3.让学生对教学思想方法，及其应情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用。
(六)总结回授调整。
1.知识性内容：
例 设O是正六边形A B C D E F的中心，分别写出图中与向量O A、O B、O C相等的向量。
2.对运用数学思想方法创新素质培养的小结：
a.要善于在实际生活中，发现问题，从而提炼出相应的数学问题。发现作为一种意识，可以解释为“探察问题的意识”;发现作为一种能力，可以解释为“找到新东西”的能力，这是培养创造力的基本途径。
b.问题的解决，采用了“数形结合”的数学思想，体现了数学思想方法是解决问题的根本途径。
c.问题的变式探究的过程，是一个创新思维活动过程中一种多维整合过程。重组知识的过程，是一种多维整合的过程，是一个高层次的知识综合过程，是对教材知 识在更高水平上的概括和总结，有利于形成一个自我再生力强的开放的动态的知识系统，从而使得思维具有整体功能和创新能力。
2.设计意图：
1、知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识，尽快转化为学生的素质。
2、运用数学方法创新素质的小结，能让学生更系统，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。这是每堂课必不可少的一个重要环节。
(七)布置作业。
反馈“数形结合”的探究过程，整理知识体系，并完成习题5.1的内容。
