空间向量与立体几何（选择题、填空题）

作者：星星之火ll | 发布时间：2020-12-30 07:09:35 收藏本文下载本文

1 空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题 1．（2020 江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知 P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段 PQ 的长度为()A． 10 B．5 C． 29 D． 34 【答案】B 【解析】由题得2 2 2(3,4,0), 3 4 0 5 PQ PQ      ，所以线段 PQ 的长度为 5．故答案为 B 2．（江西省赣州市赣县第三中学 2020-2021 学年高二 8 月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B，且2 6 AB ，则实数 x 的值是（）A． 6 或 2  B． 6 或 2 C． 3 或 4  D． 3  或 4 【答案】A 【解析】     2 2 22 1 3 2 4 2 6 AB x       ， 22 16 x ，解得：

2 x   或 6 x  ．故选 A 3 ．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校 2020-2021 学年高二上学期开学考试）已知(3,1),(2, 5)a b   ，则 3 2 a b  （）A．(2,7)B．(13, 7) C．(2, 7) D．(13,13)【答案】B 【解析】因为     31 25 a b   ，，所以 3 2 3(3,1)2(2,5)(9,3)(4,10)(13, 7)a b          ．故选 B． 4．（江西省新余一中、宜春一中 2021 届高二联考）如图所示，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是1DD 的中点，N 是1 1AB 的中点，则直线 NO，AM 的位置关系是（）

2 A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出 NO 与 AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2 , 0)A，(0,0,1)M，(1,1,0)O，(2,1,2)N，∴(1,0, 2)NO   ，(2,0,1)AM   ．∵0 NO AM  ，∴直线 NO，AM 的位置关系是异面垂直．故选: C 5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）已知空间向量   3,1,3 m，  1, , 1 n    ，且 / / m n，则实数  （）A．13 B．-3 C．13 D．6 【答案】A 【解析】因为 / / m n，所以 , m n R    ，即：

  3,1,3 m    , , n       ，所以 3, 1     ，解得13   ．故选 A．

3 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 , E F 分别是 , BC AD 的中点，则 AE AF的值为（）A．2a B．212a C．214a D．234a 【答案】C 【分析】由题意可得1 1()2 2AB AC AE AF AD    ，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】1 1()2 2AB AC AE AF AD    1()4AB AD AC AD      2 2 21 1cos60 cos604 4a a a   ，故选 C.7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）已知 M，N 分别是四面体 OABC的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且 2 MP PN ，设向量 OAa ，OBb ，OCc 则 OP （）A．1 1 16 6 6a b c   B．1 1 13 3 3a b c   C．1 1 16 3 3a b c   D．1 1 13 6 6a b c   【答案】C 【分析】连接 ON，先求出2 13 3OP ON OM  ，再进一步化简即得解．【解析】如图所示，连接 ON，∵ OPON NP  ，1()2ON OB OC  ，4 所以13NP NM ，NMOM ON  ，12OM OA ，∴13OP ON NP ON NM    1 2 1()3 3 3ON OM ON ON OM      2 1()3 2OB OC   1 13 2OA  1 1 16 3 3OA OB OC   1 1 16 3 3a b c    ．故选 C． 8．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为  11,0, 1  -， 22,0,2   ，则1l 和2l 的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定【答案】A 【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为 11,0, 1  -， 22,0,2   ，所以2 12v  ，即2 与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选 A 9．（安徽省六安市舒城中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，  1, 2, , 8iP i  是上底面上其余的八个点，则  1, 2, , 8iAB AP i      的不同值的个数为（）A． 8 B． 4 C． 2 D． 1 【答案】D 【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP    ，由线面垂直性质可知 0iAB BP  ，从而得到21iAB AP AB   ，进而得到结果．【解析】 2i i iAB AP AB AB BP AB AB BP       ，AB  Q平面2 8 6B P P P，iAB BP  ，0iAB BP   ，21iAB AP AB    ，5 则   1,2, ,8iAB AP i    的不同值的个数为 1 个，故选 D.10．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）一个向量 p 在基底   , , a b c 下的坐标为   1,2,3，则 p 在基底   , , a b a b c   下的坐标为（）A．3 132 2   ，B．3 132 2   ，C．1 332 2   ，D．1 332 2   ，【答案】B 【分析】根据题中条件，由 a，b，c 表示出向量 p，然后设 p 在基底   , , a b a b c   下的坐标为   , , x y z，求解 x，y，z 即可．【解析】因为向量 p 在基底   , , a b c 下的坐标为   1,2,3，所以 2 3 p a b c   ，设 p 在基底   , , a b a b c   下的坐标为   , , x y z，所以      ()p x a b y a b zc x y a x y b zc          ，有13223x yx y xz     ，12y =-，3 z ，p 在基底 , , a b a b c   下的坐标为3 1, ,32 2   ．故选 B． 11．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）点 P(1，2，3）关于 xOy平面的对称点的坐标为（）A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D 【分析】关于 xOy平面对称的点的, x y 坐标不变，只有 z 坐标相反．【解析】点 P(1，2，3）关于 xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3  ．故选 D． 12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0, 1)a  ，向量(0,1, 2)b  ，则 2a b  （）A．(4,1,0) B．(4,1, 4) 

6 C．(4, 1,0) D．(4, 1, 4)  【答案】C 【分析】根据题意求出 2(4,0, 2)a  ，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0, 1)a  ，向量(0,1, 2)b  ，则 2(4,0, 2)a  ，则 2(4,0, 2)(0,1, 2)(4, 1,0)a b       r r，故选 C ． 13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D ，点 E 是上底面1 1AC 的中心，若1AE AA xAB yAD   ，则 xy 等于（）A．13 B．12 C． 1 D． 2 【答案】C 【解析】如图， 1 1 1 1 1 1 112AE AA AE AA AB AD       1 11 1 12 2 2AA AB AD AA AB AD      ，所以12x y  ，所以 1 x y   ．故选 C 14．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系 Oxyz  中，已知两点  11, 2,1 P ， 22,1,3 P ，则这两点间的距离为（）A．21 B．22 C． 3 2 D．18 【答案】B 【解析】根据题意，两点  11, 2,1 P ， 22,1,3 P ，7 则      22 21 2| | 2 1 1 2 3 1 9 9 4 22 PP               ；故选 B ． 15．（湖北省恩施高中 2020 届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B））已知向量   1,2 a r，  3, b x r，  1, 1 c y   r，且// a br r，bc ，则 x y的值为（）A．6 B．32 C．9 D．132 【答案】C 【解析】∵// a br r，∴ 6 0 x ，6 x ，∴向量   3,6 b ，∵ bc ，∴   3 6 1 0 y    ，∴32y ，∴ 9 x y   ．故选 C． 16．（四川省绵阳市 2019-2020 学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若   1,1,0 A， 13,0,12AB ，则点 B 的坐标为（）A．   5,1, 2   B．   7,1, 2  C．   3,0,1 D．   7,1,2 【答案】D 【分析】首先设出点(, ,)B x y z，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果．【解析】设(, ,)B x y z，所以(1, 1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z     ，所以1 61 02xyz   ，所以712xyz ，所以点 B 的坐标为(7,1,2)，故选 D． 17．（广东省云浮市 2019-2020 学年高二上学期期末）如图，在三棱锥 PABC  中，点 D，E，F 分别是 AB，PA，CD 的中点，设 PAa ，PBb ，PCc ，则 EF （）

8 A．1 1 14 4 2a b c   B．1 1 14 4 2a b c   C．1 1 14 4 2a b c   D．1 1 14 4 2a b c    【答案】D 【解析】点 D，E，F 分别是 AB，PA，CD 的中点，且 PAa ，PBb ，PCc ， 1 1 1 12 2 2 4EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB              1 1 1 1 12 4 4 4 2PA PC PA PC PB PC PA PB PC           1 1 14 4 2a b c     ．故选 D． 18．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟 2020-2021 学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D  的底面是菱形，12 AA AB  ，60 BAD   ，M 是1BB 的中点，则异面直线1AM 与1BC所成角的余弦值为（）A．105 B．15 C．15 D．105 【答案】D 【分析】用向量1, , AB BC BB 分别表示1 1, AM BC，利用向量的夹角公式即可求解．【解析】由题意可得2 21 1 1 1 1 1 1 1 11, 5,2AM AB B M AB BB AM AB B M       

9 2 21 1 1 1, 2 2 BC BC BB BC BC BB     ， 21 111 11 11 11122cos ,2 10 2 10AB BB BC BBAB BC BBAM BCAM BCAM BC           012 2 cos60 4102.5 2 10    故选 D 19．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，11, 2, AB AD AA E    为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面1 1CBD 所成角的余弦值为（）A．69 B．5 39 C．53 D．23 【答案】A 【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：

则1C E(1, 1, 1)  ，设平面1 1BDC 的法向量为 n(, ,)x y z ，则100n B Dn BC   可得：02 0x yx z     ，取 n(2, 2, 1)  ，则1, cos n C E =11n C En C E5 5 39 3 3 ，设直线1C E 与平面1 1BDC 的夹角为 ，则5 39sin  ，261 sin9cos     ．故选 A．

10 20 ．（山东省滕州市第一中学 2020-2021 学年高二 9 月开学收心考试）设 , x y R ，向量      ,1,1 , 1, ,1 , 2, 4,2 , a x b y c     且 , // a c b c ，则 ab  （）A． 2 2 B．10 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数, x y，再求向量模长即可．【解析】   // , 2 4 1, 2, 1, 21 b c y y b        ，  , 1 2 1 0, 1 a b a b x x           ，    1,11 2, 1,2 a a b      ， 22 22 1 2 3 a b       ，故选 C ． 21．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）已知点   1 ,1 , A t t t  ，  2, , B t t，则 A，B 两点的距离的最小值为 A．3 1010 B．55 C．3 55 D．35 【答案】C 【分析】由两点之间的距离公式求得 AB 之间的距离用 t 表示出来，建立关于 t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点   1 ,1 , A t t t  ，  2, , B t t，所以22 2 2 2(1)(2 1)()5 2 2 AB t t t t t t         ，有二次函数易知，当15t  时，取得最小值为95，AB  的最小值为3 55，故选 C． 22．（江西省宜春市 2016-2017 学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA a OB b OC c   ＝，，点 M 在 OA 上，且 2 , OM MA N uuur uuur为 BC 中点，则 MN （）

11 A．1 2 12 3 2a b c   B．2 1 13 2 2a b c    C．1 1 12 2 2a b c   D．2 2 1b3 3 2a c    【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算，1 2()2 3MN ON OM OB OC OA     ，即得解【解析】由向量的加法和减法运算：

1 2 2 1 1()2 3 3 2 2MN ON OM OB OC OA a b c         ．故选 B 23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学 2020 届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，M，N 分别是棱 AB，1BB 的中点，点 P 在对角线1CA 上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是（）A．线段1CA 的三等分点，且靠近点1A B．线段1CA 的中点 C．线段1CA 的三等分点，且靠近点 C D．线段1CA 的四等分点，且靠近点 C 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 1，以 A 为原点，1, , AB AD AA 分别为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M，1(1,0,)2N，MN 的中点3 1(,0,)4 4Q，12 1(0,0,1)A，(1,1,0)C，则1(1,1, 1)AC  ，设(, ,)P t t z，(1 ,1 ,)PC t t z    ，由1AC 与 PC 共线，可得1 11 1 1t t z    ，所以 1 t z  ，所以(1 ,1 ,)P z z z  ，其中 0 1 z  ，因为2 2 21| |(1)(1 0)(0)2PM z z z        253 34z z   ，2 2 21| |(1 1)(1 0)()2PN z z z        253 34z z   ，所以 | | | | PM PN ，所以 PQ MN ，即 | | PQ 是动点 P 到直线 MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得2 2 23 1| |(1)(1 0)()4 4PQ z z z        293 38z z   21 33()2 8z   ，所以当12c  时，| | PQ 取得最小值64，此时 P 为线段1CA 的中点，由于2| |4MN 为定值，所以当 △PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选 B 24．（陕西省商洛市商丹高新学校 2019-2020 学年高二下学期 4 月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体 ABCD A B C D     ，点 E 是 A C   的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且12AF EF ，则 AF （）A．1 12 2AA AB AD B．1 1 12 2 2AA AB AD C．1 1 12 6 6AA AB AD D．1 1 13 6 6AA AB AD 【答案】D 【解析】∵点 E 是 A C   的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且12AF EF ，13 ∴1 1 1 1 1 1()3 3 3 2 3 6AF AE AA AE AA AC AA AC                  1 1()3 6AA A B A D        1 1 13 6 6AA AB AD    ，故选 D． 25．（云南省梁河县第一中学 2019-2020 学年高二 7 月月考数学（理）试题）长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，12 AB AA  ，1 AD ，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与 AE 所成角的余弦值为（）A．1010 B．3010 C．2 1510 D． 3 10 【答案】B 【分析】以点 A 为坐标原点，AB、AD、1AA 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与 AE 所成角的余弦值．【解析】以点 A 为坐标原点，AB、AD、1AA 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A xyz ，则   0,0,0 A、  2,0,0 B、 12,1,2 C、  2,1,1 E，  2,1,1 AE ， 10,1,2 BC ，1113 30cos ,10 6 5AE BCAE BCAE BC    ．因此，异面直线1BC 与 AE 所成角的余弦值为3010．故选 B． 26．（广西桂林市 2019-2020 学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题）在正方体 ABCD--A 1 B 1 C 1 D 1 中，14 E 是 C 1 C 的中点，则直线 BE 与平面 B 1 BD 所成角的正弦值为()A．105 B．105 C．155 D．155 【答案】B 【分析】以 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y 轴，以1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BE 与平面1BBD 所成角的正弦值．【解析】以 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y 轴，以1DD 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则   000 D，，  2 20 B，， 1222 B，，  0 21 E，，∴   2 2 0 BD   ，， 1 0 0 2 BB ，，  2 01 BE  ，，设平面1BBD 的法向量为  , , x n y z ，∵ n BD ，1 n BB ，∴2 2 0 2 0x yz   ，令 y 1 ，则   110 n  ，，∴10cos ,5n BEn BEn BE ，设直线 BE 与平面1BBD 所成角为 θ，则10sin cos ,5n BE   ，故选 B． 27．（陕西省商洛市商丹高新学校 2020 届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D  中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱12 AA  且1 160 AAD AAB    ，则1AC （）

15 A． 2 2 B．10 C． 2 3 D．14 【答案】B 【解析】因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱12 AA  且1 160 AAD AAB    ，则2=1 AB，2=1 AD，21=4 AA，0 AB AD  uuur uuur，1 1 1cos 1 AB AA AB AA A AB      ，1 1 1cos 1 AD AA AD AA A AD      ，则1AC1AB AD AA    21= AB AD AA   2 2 21 1 12 2 2 AB AD AA AB AA AB AD AD AA          1 1 4 2 0 2       10 ，故选 B． 28．（2020 届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知 MN 是正方体内切球的一条直径，点 P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是 2，则 PM PN 的取值范围为（）A．   0,4 B．   0,2 C．   1,4 D．  1,2 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21 PO，根据正方体的特点可确定 PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为 O，则 1 OM ON  ，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON                                   ，16 MN 为球 O 的直径，0 OM ON   ，1 OM ON   ，21 PM PN PO    ，又 P 在正方体表面上移动， 当 P 为正方体顶点时，PO最大，最大值为3 ；当 P 为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为 1， 21 0,2 PO  ，即 PM PN 的取值范围为   0,2 ．故选 B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题． 29．（湖北省荆门市 2019-2020 学年高二下学期期末）在平行六面体 ABCD A B C D      中，若2 AC x AB yBC zCC       ，则 xy z   （）A．52 B． 2 C．32 D．116 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出 AB BC AC AC CC CC             ，结合题意，即可求出11,2y z  ，从而得出 xy z  的值．【解析】由空间向量的线性运算，得 AB BC AC AC CC CC             ，由题可知，2 AC x AB yBC zCC       ，则 1, 1,2 1 x y z   ，所以11,2y z  ，1 51 12 2x y z        ．故选 A． 30．（安徽省六校教育研究会 2020-2021 学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC  中，已知 90 ABC   ，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱 AB 上任意一点，PQ 与 AB 所成角为 ，PQ 与平面 ABC 所成的角为 ，则  与  的大小关系为（）

17 A．   B．    C．   D．不能确定【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系设      ,0, , 0, ,0 0, 0, 0 P x z Q y x y z   ，利用空间向量法分别求得cos ,cos  ，然后根据(0, ], 0,2 2      ，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：

设      ,0, , 0, ,0 0, 0, 0 P x z Q y x y z   ，则     , , , 0, ,0 QP x y z QB y    ，所以2 2 2 2, , QP QB y QP x y z QB y      ，所以2 2 2cosQP QByQP QB x y z   ，又(0, ], 0,2 2      ，2 2 2sinQP CPzQP x y z  ，所以2 22 2 2cosx yx y z ，所以 cos cos   ，因为cos y x  在 0,2    上递减，所以   ，故选 C

18 31．（江西省赣州市赣县第三中学 2019-2020 学年高二 6 月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D  中，底面 ABCD 为正方形，侧棱1AA  底面 ABCD，3 AB ，14 AA ，P 是侧面1 1BCC B 内的动点，且1AP BD ，记 AP 与平面1 1BCC B 所成的角为 ，则 tan  的最大值为（）A．43 B．53 C．2 D．259 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值．【解析】以1, , DA DC DD 所在直线分别为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z，则1(3,3,),(3, 3,4)AP x z BD     ，1 1, 0 AP BD AP BD    ，33(3)3 3 4 0,4x z z x        ，2 2 225| |(3)6 916BP x z x x       225 48 81 916 25 25 5x     …，| | 5tan| | 3ABBP   „，tan   的最大值为53．故选 B ． 32．（江西省赣州市赣县第三中学 2019-2020 学年高二 6 月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的19 正三棱柱1 1 1ABC ABC  中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设 AE x ，随着 x 增大，平面 BDE与底面 ABC 所成锐二面角的平面角是（）A．增大 B．先增大再减小 C．减小 D．先减小再增大【答案】D 【解析】设正三棱柱1 1 1ABC ABC  棱长为 2，,0 2 AE x x   ，设平面 BDE 与底面 ABC 所成锐二面角为 ，以 A 为坐标原点，过点 A 在底面 ABC 内与 AC 垂直的直线为 x 轴，1, AC AA 所在的直线分别为, y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x    ，设平面 BDE 的法向量(, ,)m s t k ，则m BDm ED ，即3 02(1)0s t kt x k       ，令2 3 k ，则 3 3, 1 t x s x    ，所以平面 BDE 的一个法向量(1, 3 3,2 3)m x x   ，底面 ABC 的一个法向量为(0,0,1)n ，2 222 3 3cos |cos , |1 15(1)3(1)12()2 4m nx xx         当1(0,)2x，cos  随着 x 增大而增大，则  随着 x 的增大而减小，当1(,2)2x，cos  随着 x 增大而减小，则  随着 x 的增大而增大．故选 D．

20 【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题． 33．（山东省滕州市第一中学 2020-2021 学年高二 9 月开学收心考试）已知空间直角坐标系 O xyz  中，  1,2,3 OAuuur，  2,1,2 OB uuur，  1,1,2 OP uuur，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB  取得最小值时，点 Q的坐标为（）A．1 3 1, ,2 4 3    B．1 3 3, ,2 2 4    C．4 4 8, ,3 3 3    D．4 4 7, ,3 3 3    【答案】C 【分析】设(, ,)Q x y z，根据点 Q 在直线 OP 上，求得(, ,2)Q   ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43  时，QA QB  取得最小值，即可求解．【解析】设(, ,)Q x y z，由点 Q 在直线 OP 上，可得存在实数  使得 OQOP  ，即(, ,)(1,1,2)x y z  ，可得(, ,2)Q   ，所以(1 ,2 ,3 2),(2 ,1 ,2 2)QA QB              ，则2(1)(2)(2)(1)(3 2)(2 2)2(3 8 5)QA QB                     ，根据二次函数的性质，可得当43  时，取得最小值23，此时4 4 8(, ,)3 3 3Q ．故选 C．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于  的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．

21 34．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径 BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线 BD 和AB 1 所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π 【答案】A 【解析】设 D 在底面半圆上的射影为1D，连接1AD 交 BC 于 O，设1 1 1 1AD BC O   ．依题意半圆柱体底面直径 4, , 90 BC AB AC BAC     ，D 为半圆弧的中点，所以1 1 1 1, AD BC AD BC   且1, O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO，则1OO 与上下底面垂直，所以1 1, , OO OB OO OA OA OB   ，以1, , OB OA OO 为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为  0 h h，则        12,0,0 , 0, 2, , 0,2,0 , 2,0, B D h A B h ，所以   12, 2, , 2, 2, BD h AB h     ，由于异面直线 BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212 21238 8BD AB hBD AB h h    ，即2222, 16, 48 3hh hh  ．所以几何体的体积为21 12 4 4 2 4 16 82 2           ．故选 A.35．（安徽省阜阳市太和第一中学 2020-2021 学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，直线1BC 与平面1ABD 所成角的余弦值为（）A．24 B．23

22 C．33 D．32 【答案】C 【分析】分别以1, , DA DC DD 为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值．【解析】分别以1, , DA DC DD 为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，可得        1 10,0,0 , 1,1,0 , 0,1,1 , 1,0,1 D B C A ∴      1 11,0,1 , 1,0, 1 , 1, 1,0 BC AD BD        ，设   , , n x y z  是平面1ABD 的一个法向量，∴100n A Dn BD  ，即00x zx y   ，取 1 x ，得 1 y z   ，∴平面1ABD 的一个法向量为  1, 1, 1 n   r，设直线1BC 与平面1ABD 所成角为 ，∴1112 6sin cos ,3 2 3BC nBC nBC n      ，∴23cos 1 sin3    ，即直线1BC 与平面1ABD 所成角的余弦值是33，故选 C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：

（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意

23 结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角． 36．（2020 届重庆市第一中学高三下学期 6 月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P 是底面1 1 1 1D C B A 内（含边界）的一点，且 // AP平面1DBC，则异面直线1AP 与 BD 所成角的取值范围为（）A．3,4 4      B． ,4 2      C． ,3 2      D．2,3 3      【答案】C 【解析】过 A 作平面 平面1DBC，点 P 是底面1 1 1 1D C B A 内（含边界）的一点，且 // AP平面1DBC，则 P平面 ，即 P 在  与平面1 1 1 1D C B A 的交线上，连接1 1 1, , AB AD BD，1 1DD BB，则四边形1 1BDDB 是平行四边形，1 1B D BD ，1 1B D 平面1DBC，同理可证1AB ∥平面1DBC，平面1 1AB D ∥平面1DBC，则平面1 1ABD 即为 ，点 P 在线段1 1B D 上，以D 为坐标原点，1, , DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为 1，24 则   0,0,0 D，  1,1,0 B，  1,0,0 A，设   , ,1 P  ，  0,1  ，  1,1,0 DB  ，  1, ,1 AP    ，2 1 DB AP     ，2 DB ，22 2 2 AP     ，设1AP 与 BD 所成角为 ，则 2222 1 2 1 1cos2 12 1DB APDB AP          2 21 3 1 34 42 1 21 32 4         ，当12  时，cos  取得最小值为 0，当 0   或 1 时，cos  取得最大值为12，10 cos2   ，则3 2    ．故选 C． 37．（重庆市第八中学 2020 届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形 ABCD 中，2 2 2 AB AD  ，E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成1ADE △ ．在翻折过程中，直线1AC 与平面 ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．10 24 B．66 C．5 14 D．55 【答案】A 【解析】分别取 DE，DC 的中点 O，F，则点 A 的轨迹是以 AF 为直径的圆，以 , OA OE 为, x y 轴，过 O 与平面 AOE 垂直的直线为 z 轴建立坐标系，则   2,1,0 C ，平面 ABCD 的其中一个法向量为 n =(0，0．1)，由11 AO ，设  1cos ,0,sin A  ，则 1cos 2, 1,sin CA     ，25 记直线1AC 与平面 ABCD 所成角为 ，则211|sin | 1 cossin4cos 6 4cos 6| |CA nCA n     ，设3 1 5 3 5 3 5 10 2cos , , sin2 2 2 4 16 4 4 4 4ttt                  ，所以直线1AC 与平面 ABCD 所成角的正弦值最大为10 24，故选 A．二、多选题 38．（江苏省南京市秦淮中学 2019-2020 学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量  1 1 1, , a x y z ， 2 2 2, , b x y z ，以下说法错误的有()A．若 a b ，则1 2 1 2 1 20 x x y y z z    B．若// a br r，则1 1 12 2 2x y zx y z  C．1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2cos ,x x y y z zx y zazbx y     D．若1 1 11    x y z，则 a 为单位向量【答案】BD 【解析】对于 A 选项，因为 a b ，则1 2 1 2 1 20 a b x x y y z z     ，A 选项正确；对于 B 选项，若20 x ，且20 y ，20 z ，若// a br r，但分式12xx无意义，B 选项错误；对于 C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2cos ,x x y y z zx y zazbx y    ，C 选项正确；对于 D 选项，若1 1 11    x y z，则2 2 21 1 1 3 a    ，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD． 39．（2020 届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（）A．向量   , 0,0 a b a b  ，若 ab ，则 0 a b   ． B．若空间四个点 P，A，B，C，1 34 4PC PA PB  ，则 A，B，C 三点共线．

26 C．已知向量   1,1, a x ，  3, ,9 b x  ，若310x ，则 , a b 为钝角． D．任意向量 a，b，c 满足     a b c a b c     r r r r r r．【答案】AB 【分析】由向量垂直的充要条件可判断 A；由题意1 1 3 34 4 4 4PC PA PB PC   ，即可判断 B；举出反例可判断 C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断 D．即可得解．【解析】由向量垂直的充要条件可得 A 正确；1 34 4PC PA PB  ，1 1 3 34 4 4 4PC PA PB PC    即3 AC CB ， A，B，C 三点共线，故 B 正确；当 3 x   时，两个向量共线，夹角为 ，故 C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故 D 错误．故选 AB.40．（广东省中山市 2019-2020 学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（）A．点   2,1,4  关于 x 轴对称的点的坐标为  2,1,4 B．到   1,0,0 的距离小于 1 的点的集合是    22 2, , 1 1 x y z x y z     C．点   1,2,3 与点   3,2,1 的中点坐标是  2,2,2 D．点   1,2,0 关于平面 yOz 对称的点的坐标为  1,2,0  【答案】BCD 【解析】对于选项 A：点   2,1,4  关于 x 轴对称的点的坐标为   2, 1, 4   ，所以 A 不正确；对于选项 B：点   , , x y z 到   1,0,0 的距离小于 1 为 22 21 1 x y z    ，所以 B 正确；对于选项 C：点   1,2,3 与点   3,2,1 的中点坐标是  1 3 2 2 3 1, ,2 2 22,2,2     ，所以 C 正确；对于选项D：由点   , , x y z 关于平面 yOz 对称的点的坐标为  , , x y z ，所以 D 正确．故选 B C D． 41．（山东省威海市文登区 2019-2020 学年高二上学期期末）正方体1 1 1 1ABCD ABC D  的棱长为 a，则下列结论正确的是（）A．21 1AB AC a   B．212 BD BD a   C．21AC BA a   D．212 AB AC a   【答案】BC

27 【解析】如下图所示：

对于 A 选项， 221 1AB AC AB AC AB AB AD AB a        ，A 选项错误；对于 B，     2 221 1 12 BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a           ，B 选项正确；对于 C 选项，   221 1AC BA AB AD AA AB AB a         ，C 选项正确；对于 D 选项， 221 1AB AC AB AB AD AA AB a       ，D 选项错误．故选 BC． 42．（福建省泉州市普通高中 2019-2020 学年毕业班第一次质量检查（理科））如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，E 是1DD 的中点，则（）A．直线1// BC平面1ABD B．1 1BC BD  C．三棱锥1 1C BCE  的体积为13 D．异面直线1BC 与 BD 所成的角为 60 【来源】【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【解析】如图建立空间直角坐标系，  0,0,0 A，  1,0,0 B，  1,1,0 C，  0,1,0 D， 10,0,1 A， 11,0,1 B， 11,1,1 C， 10,1,1 D，10,1,2   E， 1BC 0,1, 1  ， 11,1,1 BD  ，  1,1,0 BD  ， 11,0,1 BA  ，28 所以  1 11 0 1 1 1 1 0 BC BD        ，即1 1BC BD ，所以1 1BC BD ，故 B 正确； 11 0 1 1 1 0 1 B C B D         ，12 BC ，2 BD，设异面直线1BC 与 BD 所成的角为 ，则111cos2BCBDBC BD  ，又 0,2   ，所以3 ，故 D 正确；设平面1A B D 的法向量为  , , n x y z ，则1· 0· 0n B An B D ，即00x yx z     ，取   1, 1, 1 n ，则 10 1 1 1 1 1 0 n BC        ，即1 Cn B ，又直线1BC 平面1ABD，所以直线1// BC平面1ABD，故 A 正确； 1 1 1 1 11 11 1 1 11 1 13 3 2 6C B CE B C CE C CEV BC S V          ，故 C 错误；故选 ABD.43．（湖南省衡阳市第一中学 2019-2020 学年高二上学期期末）在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，若棱长为 1，点 , E F 分别为线段1 1B D、1BC 上的动点，则下列结论正确结论的是（）A．1DB  面1ACD B．面1 1// AC B 面1ACD C．点 F 到面1ACD 的距离为定值33D．直线 AE 与面1 1BBDD 所成角的正弦值为定值13 【答案】ABC 【分析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点 , E F 的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果．【解析】以 A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

29 由题意知：

  0,0,0 A，  1,0,0 B，  1,1,0 C，  0,1,0 D， 10,0,1 A， 11,0,1 B， 11,1,1 C， 10,1,1 D，设   , ,1 E x y，1 1 1B E B D  ，即     1, ,0 , ,0 x y     ，  1 , ,1 E    ，设   1, , F y z  ，1BF BC  ，即     0, , 0, , y z     ，  1, , F    ．对于 A， 11, 1,1 DB ，  1,1,0 AC， 10,1,1 AD，11 100DB ACDB AD    ，1DB AC  ，1 1DB AD ，又1, AC AD 平面1ACD，1AC AD A  I，1DB  平面1ACD，A 正确；对于 B，1DB 平面1ACD， 11, 1,1 DB  为平面1ACD 的一个法向量， 1 11,1,0 AC， 11,0, 1 AB ，1 1 11 100DB ACDB AB    ，1 1 1DB AC  ，1 1DB AB ，又1 1 1, AC AB平面1 1AC B，1 1 1 1AC AB A ，1DB  平面1 1AC B，平面1 1// AC B平面1ACD，B 正确；对于 C，  1, , AF  ， 点 F 到面1ACD 的距离111 33 3AF DBdDB   ，为定值，C 正确；对于 D，几何体为正方体，AC  平面1 1BBDD，  1,1,0 AC 是平面1 1BBDD 的一个法向量，又  1 , ,1 AE   ，设直线 AE 与平面1 1BBDD 所成角为 ，则21sin2 2 2 2AC AEAC AE      ，不是定值，D 错误．故

30 选 ABC ． 44．（海南省海南中学 2019-2020 学年高三第四次月考）如图所示，正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，1 AB ，点 P 在侧面1 1BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ，则以下四个结论正确的是（）A．113P AA DV B．点 P 必在线段1BC 上 C．1AP BC  D． // AP平面1 1AC D 【答案】BD 【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA DV，知 A 错误；以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP xBC  ，11 AP BC  ，AP垂直于平面1 1AC D 的法向量n，由此可确定 , , B C D 的正误．【解析】对于 A，P 在平面1 1BCC B 上，平面1 1 //BCC B平面1AAD，P  到平面1AAD 即为 C 到平面1AAD 的距离，即为正方体棱长，1 11 1 1 11 1 13 3 2 6P AA D AA DV S CD        △，A 错误；对于 B，以 D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则   1,0,0 A，  ,1, P x z，  1,1,0 B， 10,0,1 D， 11,1,1 B，  0,1,0 C

31   1,1, AP x z  ， 11, 1,1 BD  ， 11,0, 1 BC  ，1AP BD ，11 1 0 AP BD x z       ，x z  ，即   ,1, P x x，  ,0, CP x x ，1CP xBC   ，即1 , ,B P C 三点共线，P  必在线段1BC 上，B 正确；对于 C，  1,1, AP x x ， 11,0,1 BC ，11 1 AP BC x x      ，AP  与1BC 不垂直，C 错误；对于 D， 11,0,1 A， 10,1,1 C，  0,0,0 D， 11,0,1 DA ， 10,1,1 DC，设平面1 1AC D 的法向量  , , n x y z，1100n DA x zn DC y z        ，令 1 x ，则 1 z  ，1 y ，  1,1, 1 n  ，1 1 0 AP n x x       ，即 APn ，// AP 平面1 1AC D，D 正确．故选 BD ． 45．（福建省宁德市 2019-2020 学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为 1 的正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，P 为线段1AB 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．平面1 1D AP 平面1AAP B．1AP DC uuur uuuur不是定值 C．三棱锥1 1B DPC  的体积为定值 D．1 1DC DP  【答案】ACD 【解析】A．因为是正方体，所以1 1D A 平面1AAP，1 1D A 平面1 1D AP，所以平面1 1D AP 平面1AAP，所以 A 正确；B．1 1 1 1 1 1 1 1()AP DC AA AP DC AA DC AP DC         1 1 1 12cos45 cos90 1 2 12AA DC AP DC      ，故11 AP DC  ，故 B 不正确；

32 C．1 1 1 1B D PC P B DCV V ，1 1BDC 的面积是定值，1/ / AB平面1 1BDC，点 P 在线段1AB 上的动点，所以点 P到平面1 1BDC 的距离是定值，所以1 1 1 1B D PC P B DCV V 是定值，故 C 正确； D．1 1 1DC A D ，1 1DC AB ，1 1 1 1AD AB A ，所以1DC 平面1 1ADP，1DP 平面1 1ADP，所以1 1DC DP ，故 D 正确．故选 ACD 46．（山东省济南莱芜市第一中学 2019-2020 学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点 O，有1 1 16 3 2OP OA OB OC   ，则 P，A，B，C 四点共面 C．设   , , a b c 是空间中的一组基底，则  , , a b b c c a    也是空间的一组基底 D．若0 a b  ，则 , a b 是钝角【答案】ABC 【解析】对于 A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于 B 中，若对空间中任意一点 O，有1 1 16 3 2OP OA OB OC   ，根据空间向量的基本定理，可得, , , P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于 C 中，由   , , a b c 是空间中的一组基底，则向量 , , a b c 不共面，可得向量 , a b b c  ，ca 也不共面，所以   , , a b b c c a    也是空间的一组基底，所以是正确的；对于 D 中，若0 a b  ，又由 , [0, ] a b  ，所以 ,(, ]2a b ，所以不正确．故选 ABC． 47．（河北省沧州市盐山中学 2019-2020 学年高一下学期期末）若长方体1 1 1 1ABCD ABC D  的底面是边长为2 的正方形，高为 4，E 是1DD 的中点，则（）

33 A．1 1B E AB  B．平面1// BCE平面1ABD C．三棱锥1 1C BCE  的体积为83 D．三棱锥1 1 1C BCD  的外接球的表面积为 24π 【答案】CD 【分析】以1{ , , } AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算1 1BE AB  值即可判断 A；分别求出平面1BCE，平面1ABD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断 B；利用等体积法，求出三棱锥1 1-B CC E 的体积即可判断 C；三棱锥1 1 1C BCD  的外接球即为长方体1 1 1 1ABCD ABC D  的外接球，故求出长方体1 1 1 1ABCD ABC D  的外接球的表面积即可判断 D．【解析】以1{ , , } AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，1(0,0,4)A，1(2,0,4)B，(0,2,2)E，所以1(2,2, 2)BE   ，1(2,0, 4)AB ，因为1 14 0 8 4 0 BE AB      ，所以1BE 与1ABuuur不垂直，故 A 错误； 1(0, 2,4)CB  ，(2,0,2)CE  ，设平面1BCE 的一个法向量为1 1 1(, ,)n x y z ，则由100n CBn CE  ，得1 11 12 4 02 2 0y zx z     ，所以1 11 12 y zx z ，34 不妨取11 z ，则11 x ，12 y ，所以(1,2,1)n，同理可得设平面1ABD 的一个法向量为(2,2,1)m，故不存在实数  使得 nλm ，故平面1BCE 与平面1ABD 不平行，故 B 错误；在长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，1 1BC 平面1 1CDDC，故1 1BC 是三棱锥1 1B CEC  的高，所以1 1 1 1 11 11 1 1 84 2 23 3 2 3三棱锥三棱锥 CEC C B CE CEC BV V S BC         △，故 C 正确；三棱锥1 1 1C BCD  的外接球即为长方体1 1 1 1ABCD ABC D  的外接球，故外接球的半径2 2 22 2 462R  ，所以三棱锥1 1 1C BCD  的外接球的表面积24 24 S R    ，故 D 正确．故选 CD． 48．（山东省济南市 2019-2020 学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，P 为线段1AB 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

35 A．直线1DP 与 AC 所成的角可能是6 B．平面1 1D AP 平面1AAP C．三棱锥1D CDP  的体积为定值 D．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】BC 【解析】对于 A，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，     10,0,1 , 1,0,0 , 0,1,0 D A C，设    1, , 0 1,0 1 P a b a b        11, , 1 , 1,1,0 DP a b AC    ， 112211cos , 01 1 2D P AC aD P ACD P ACa b       130 1,0 1, ,2 4a b D P AC        ∴直线 D 1 P 与 AC 所成的角为 ,4 2     ，故 A 错误；对于 B，正方体 ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，A 1 D 1  AA 1，A 1 D 1  AB，∵AA 1 AB＝A，∴A 1 D 1 平面 A 1 AP，∵A 1 D 1 平面 D 1 A 1 P，∴平面 D 1 A 1 P 平面 A 1 AP，故 B 正确；对于 C，11 11 12 2CDDS    ，P 到平面 CDD 1 的距离 BC＝1，∴三棱锥 D 1 ﹣CDP 的体积：1 11 1 113 2 6D CDP P CDDV V      为定值，故 C 正确；对于 D，平面 APD 1 截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故 D 错误；故选 BC． 49．（江苏省苏州中学园区校 2020-2021 学年高三上学期 8 月期初调研）如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D  的36 棱长为 1，线段1 1B D 上有两个动点 E，F，且12EF ，则下列结论中正确的是（）A．线段1 1B D 上存在点 F，使得 AC AF  B． // EF平面 ABCD C． AEF 的面积与 BEF 的面积相等 D．三棱锥 A BEF  的体积为定值【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，再依次讨论各选项，即可得答案．【解析】如图，以 C 为坐标原点建系 CD，CB，1CC 为 x，y，z 轴，  1,1,0 A，  0,0,0 C，  1, 1,0 AC   ，1BF B  1 1D，即     0, 1, 1 1, 1,0 x y z       ,∴ x λ ，1 y   ，1 z ，∴   ,1 ,1 F   ，  1, ,1 AF      ,    1 1 0 1 0 AC AF          ，∴ AC 与 AF 不垂直，A 错误． E，F 都在 B，D 上，又1 1// BD BD，∴ // EF BD，BD 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，∴ // EF平面 ABCD，B 正确 AB 与 EF 不平行，则1AB 与 EF 的距离相等，∴AEF BEFS S △ △，∴C 错误 A 到 BEF 的距离就是 A 到平面1 1BDDB 的距离，A 到1 1BDDB 的距离为22 2AC 1 1 112 2 4BEFS    △，∴1 1 2 23 4 2 24A BEFV   是定值，D 正确．故选 BD ．

37 【点睛】本题考查空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，是中档题． 50．（江苏省扬州市宝应中学 2020-2021 学年高三上学期开学测试）在正三棱柱 ABC A B C     中，所有棱长为 1，又BC与 B C  交于点 O，则（）A． AO =1 1 12 2 2AB ACAA uuur uuur uuur B． AO B C   C．三棱锥 A BB O 的体积为324 D． AO 与平面 BB′C′C 所成的角为π6 【答案】AC 【分析】画出正三棱柱 ABC A B C    ，对选项 A，由向量的线性运算表示出 AO ；对选项 B，判断 AOC △是否为直角三角形；对选项 C，用棱锥体积公式计算；对选项 D，利用线面垂直，得出 AOD  即 AO 与平面 BB′C′C 所成的角，放在直角 AOD △ 中求解．【解析】由题意，画出正三棱柱 ABC A B C     如图所示，向量   1 1 12 2 2AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA            1 1 12 2 2AB ACAA  uuur uuur uuur，故选项 A 正确；在 AOC △ 中，1 AC ，22OC =，221 312 2OA         ，2 2 2OA OC AC  ，所以 AO 和 B C  不垂直，故选项 B 错误；

38 在三棱锥 A BB O 中，14BB OS，点 A 到平面 BB O  的距离即 ABC 中 BC 边上的高，所以32h ，所以1 1 1 3 33 3 4 2 24A BB O BB OV S h      ，故选项 C 正确；设 BC 中点为 D，所以 AD BC ，又三棱柱是正三棱柱，所以 AD 平面 BB C C  ，所以 AOD  即 AO 与平面 BB′C′C 所成的角，112cos1 2ODAODOA   ，所以3AOD ，故选项 D 错误．故选 AC 【点睛】本题主要考查向量的线性运算、求棱锥的体积和线面角的求法，考查学生的数形结合能力和计算能力，属于中档题． 51．（2020 届山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三数学模拟试题）在长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，2 3 AB ，12 AD AA  ，, , P Q R 分别是1 1, , AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（）A．对于任意给定的点 P，存在点 Q 使得1DP CQ  B．对于任意给定的点 Q，存在点 R 使得1DR CQ  C．当1AR AC  时，1AR DR  D．当1 13 AC AR  时，1// DR平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算14 2 DP CQ b   ， 12 2 2 2 DR CQ b      ，134AR D R   ，10 DR n  ，得到答案．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设   2, ,0 P a，0,2 3 a  ， 2,2 3, Q b，  0,2 b，设1 1AR AC  ，得到  2 2 ,2 3 ,2 2 R     ，  0,1   ．  12, , 2 P a D  ，  2,0, CQ b ，14 2 DP CQ b   ，当 2 b  时，1DP CQ ，A 正确；  12 2 ,2 3 , 2 D R      ， 12 2 2 2 DR CQ b      ，取22 b 时，1DR CQ ，B 正确； 1AR AC ，则   12 ,2 3 ,2 2 2,2 3, 2 2 12 4 4 0 AR AC    ...