《椭圆及其标准方程》教学设计

（一） 创设

情境，

引入

新课

“神七”的发射在我国航天史上具有里程碑的意义，学生比较关注，我用这一事件引出这节课的内容，提出以下问题：

【问题1】你知道这张图片的来历吗？

【问题2】请问“神州七号”飞船绕着什么飞行？它的运行轨道是什么？从而引出今天的课题。

【问题3】实际生活中你见过的椭圆有哪些？

观察图片，回答问题。

用学生关注的事件引出，激发学生学习的兴趣。实际图片的展示，使学生体会到数学来源于生活。

（二）

合作

交流，

发现

新知

尝试引导：

﹙1﹚请同学们拿出事先准备好的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆。

﹙2﹚教师动画演示椭圆的形成过程。（动画1）

【问题4】在画椭圆的过程中，哪些量没变？哪些量发生了变化？

1、椭圆的定义及有关概念

（1）、引导学生归纳定义：

定义：在平面内，到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>∣F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记∣F1F2 |=2c.

强调：

1）椭圆是个平面图形。

2）距离之和是定值。

3）条件：常数大于|F1F2|

（2）、椭圆定义的进一步认识。

【问题5 】为什么要满足2a>2c呢？

（1）当2a=2c时，轨迹是什么？

（2）当2a<2c时，轨迹又是什么？

结论：（1）、当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；

（2）、当2a=|F1F2|时，轨迹是线段；

（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在。

（1）同桌合作画椭圆。

（2）学生回答：“两定点间的距离没变，绳长没变，点在运动。”

（3）学生观察图形归纳定义。

（4）学生观察动画归纳结论。

（1）以活动为载体，让学生动手操作、合作交流，调动学生学习的积极性。通过观察动画，使学生更加直观的了解椭圆的形成过程。

（2）在问题的引领下，学生自己通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，培养学生抽象思维、归纳概括的能力。

（3）动画演示，让学生深刻理解椭圆定义中含有的内在条件，突破了重点。加深了对定义的理解。

（三）

师生

互动，

探索

新知

2、椭圆的标准方程

【问题6 】求曲线方程的一般方法是什么？

【问题7 】类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程,如何利用椭圆的几何特征建立直角坐标系？

·探讨建立平面直角坐标系的方案：

（教师引导）：根据建系的一般原则是使点的坐标、几何量的表达式尽可能简单化，并使得到的方程具有“对称”“简洁”的特点，类比利用圆的对称性建系，启发学生得到如下两个方案：

方案1：（如图1）以F1、F2所在的直线为

x

轴，F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系；

方案2：（如图2）以F1、F2所在的直线为$$y$$轴，

F1F2的垂直平分线为x轴建立直角坐标系。

图1 图2

方程的化简是本节课的难点

【问题8】如何化简方程

方法2：将方程两边取倒数构造方程组，减少平方的次数。

方法3：在方法二的启发下直接构造方程。

为使方程更简单，令$$b^2=a^2-c^2$$（b>0）得

即焦点在x轴上的标准方程。

【问题9】如何得到焦点在y轴上的椭圆标准方程？

引导学生将图形翻转，即x轴与y轴调换，将M点的坐标互换即可。

焦点在y轴上的标准方程:

借助课件对照两类标准方程：

共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1。

不同点：焦点在x轴的椭圆x2项分母较大。

焦点在y轴的椭圆y2项分母较大。

说明 ①$$a>b>0$$（由$$b^2=a^2-c^2$$中可判断出）。

②了解$$b^2=a^2-c^2$$中b的几何意义。

③说明方程与曲线的等价关系。

（1）学生回答：建系、设点、列式、化简；

（2）学生合作探究。

（3）按照方案1建系、设点再根据椭圆的定 义，写出动点M满足的集合，即：P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝，

在设点的基础上将上述关系式用坐标表示出来。

（5）让学生画一张焦点在x轴的椭圆，从背面观察，并将纸旋转90°即得焦点在y轴上的椭圆.

（1）通过回忆旧知识类比圆的学习方法，建立研究椭圆的方法。

（2）培养学生勇于探索，敢于创新的科学的精神。

（3）方程的化简运算量较大，教师要与学生一起分析方程的特点，寻求解决问题的方案;另一方面应多给学生时间,让学生开展合作学习,相互交流,鼓励学生,另辟蹊径。

(

（4）有利于学生对公式的的记忆及应用。

（四）

探索

新知,

拓展

升华

例题讲解

例1：判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（1）

x23+y24=1

（2）

（3） （4）

例2：求适合下列条件的椭圆标准方程。

（1）两个焦点的坐标分别为$$(-\mathrm{4,0}),(\mathrm{4,0})$$，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

（2）两个焦点的坐标分别为$$(0,-2),(\mathrm{0,2})$$，并且椭圆经过点。（两种方法）

练习：1)、课本练习，课本36页 第1、2、3题

2）、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。

例1学生口答

例2学生听讲并适当记录

学生总结步骤

学生在黑板上演示

(1)、分清类型，掌握椭圆方程中a,b,c三者之间的关系。

(2)、掌握求椭圆标准方程的两种方法：定义法、待定系数法。求方程时注意类型，培养学生运用知识解决问题的能力。

（3）通过课堂练习，使学生进一步巩固知识，运用知识。

（五）

归纳

小结，

布置

作业

1知识上：一个定义（椭圆的定义），两类方程（焦点分别在

x

轴、

2方法上：定义法和待定系数法

3.思想上：数行结合、类比、分类讨论思想

作业：课本第42页习题2.1A组 1、2

（1）归纳小结，突出重点，有助于学生学习、记忆和应用；

（2）巩固新知。