圆方程教学设计（共7篇）

第1篇：圆的一般方程教学设计

一、学习目标

知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程

配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程

表示圆的条件的探究，培

圆的一般方程教学设计

养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式

四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）

2、思考探究（引入）：

问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？

此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程

表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程

都表示圆吗？在什么条件下表示圆？

3、小组展示

先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

4、点拨，渗透分类讨论思想的时机和标准。

5、自主解答，训练感悟。

求过三点O(0，0),M(1，1),N(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心和半径。要求：8分钟之内完成；根据已有知识多联系解决，方法不限。

8分钟之后提问一名完成的学生来展示方法和过程，之后再调动学生的积极性来充分展示自己的过程。

6、归纳总结

圆的一般方程是什么？条件是什么? 求圆的方程的方法有哪些？对照例

2、例

3、例4回答

对于待定系数法的应用，你还想到了哪些知识？请总结用待定系数法解题的步骤。

7、学生提问，答疑解惑

8、巩固练习。（1）判断方程（2）已知圆C的圆心在直线圆C的标准方程。

五、作业布置 ：1.正式作业课本P124：1，2； 2.笔记整理

=0表示什么图形（配方法，分类讨论思想）

并且经过原点和A（2,1），求

第2篇：圆的标准方程获奖教学设计

圆的标准方程教学设计

教材分析

本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.学法分析

通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标： 教学目标

基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；

（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；

（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；

（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。

提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深对待定系数法的理解；促进学生自主的、创造性的学习。

体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程

教学过程

一、复习引入

1、课前复习填写学案（学案见附录）

教师设问：①求曲线方程的一般步骤

②圆的定义

③两点间的距离公式

学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。

2、创设情景引入新课

教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。

教师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？

学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：研究圆的方程

二、探究学习

（一）圆的标准方程

1、教师预设：让学生画圆

学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；

2、教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；圆确定了，圆的方

程也就确定了。

学生推导该圆的方程

教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。

3、由特殊到一般，得出以（a, b）为圆心，半径为r的圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2

教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；

（2）含有a,b,r三个参数；

（3）已知方程可以找出圆心和半径。

4、随堂练习

教师预设：练习1 找出下列圆的圆心和半径

（1）x2+(y+1)2=16（2）(2x-2)2+(2y+4)2=4（3）(x+1)2+(y+2)2=m2 学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。教师据学生情况点评。

教师预设：练习2 写出下列各圆的方程

（1）、圆心在原点，半径为r

（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）

学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。

（二）例题分析

教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程

例1 写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。

学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。

教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特殊到一般。变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。学生独立完成变式，师作简要点评。

教师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？

例2 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。

教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。

教师预设：一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。

变式1： 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。

学生活动：作图直接写出切线的方程

教师预设：由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。

变式2 ：已知圆的方程是x2+y2= r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。学生活动：写出切线方程。教师归纳分类讨论的依据。

教师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？

变式3 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。变式4 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。学生活动：思考问题

师强调，待定系数时注意斜率存在。课后思考题：解决本节引入提出的问题

三、小结：

1、掌握圆的标准方程

2、运用圆的标准方程解决一些简单问题

四、课堂练习

1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.

2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————

3、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————

4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是————————————————

第3篇：圆的标准方程教学设计doc

《4.1.1圆的标准方程》教学设计

清镇市红枫中学

邵国荣

一、教学目标： 1.知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；（2）会用待定系数法求圆的标准方程。2.过程与方法

通过圆的标准方程解决实际问题的学习，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，注意培养学生观察问题、发现问题和解决数学问题的能力。3.情感、态度与价值观

通过应用圆的知识解决实际问题的学习从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重难点：

重点：掌握圆的标准方程的推导及求法。

难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、教学方法：

启发式、讲练结合。

四、教学过程：

(一)创设情境，导入新课

在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么？什么叫圆？

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个一元二次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

（二）师生互动，探究新知

确定圆的基本要素为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r(其中a,b,r都是常数)，r>0.设M（x,y）为这个圆上一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）MMAr，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

xayb22r

①

化简可得：xayb22r

2②

2引导学生自己证明xayb22r22为圆的方程，得出结论：

方程②就是圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫圆的标准方程。

当圆心在原点时，圆的标准方程为x

yr2。

（三）概念辨析，巩固提高

例1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M是否在这个圆上。

分析探究：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(1)

15,7,M25,1x22,0y与圆xayb220r2的关系的判断方法: x0ay0br(2)xaybr00(3)xaybr0022

点在圆外

点在圆上

点在圆内

22222

例2.ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。分析：从圆的标准方程

xayb22r2，可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数（学生自己运算解决）

例3.已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B（2，-2），且圆心在l: xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。

分析：确定一个圆只需要确定圆心位置与半径大小。圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，-2），由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

总结归纳：（教师归纳，学生自己比较、归纳），比较例

2、例3可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法: (1).根据题设条件，列出关于a,b,r的方程组，解方程组得到a,b,r的值，写出圆的标准方程;(2).根据确定圆的要求，以及题设条件，分别求出圆心坐标和圆的半径大小，然后写出圆的标准方程。

练习：课本P121第1，3，4题

(四)小结：1.圆的标准方程的结构特征。

2.点与圆的位置关系的判断方法。

3.求圆的标准方程的方法：（1）待定系数法；（2）代入法。

（五）作业：P120,P121练习1,2,3,4

第4篇：圆的标准方程教学反思

教学反思

——圆的标准方程

圆是我们在学习了曲线方程后初次运用所学知识讨论已知曲线的方程，在初中学生已经学习过圆的几何性质，并且前面讨论了直线与方程，因此该部分的重点是运用解析几何来体现圆的性质，在第一课时的教学中，我的教学设计分了以下几步：

一、情景创设

通过多媒体展示“嫦娥二号”升空过程，指出其在宇宙中的飞行轨迹近似是一个圆，让同学类比直线与方程的思想，探究是否可以在平面直角坐标系中用方程表示圆。

该情境不仅引入本节新课的课题，还升华了学生的爱国主义情操，为我国的高科技迅速发展感到骄傲，同时也激励了学生努力学习，将来做一个对国家有用的人。

二、探究新知

提问：“如何确定一个圆？”“在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的曲线方程的求解，应该如何建立圆的方程？”

（学生推导）：建立平面直角坐标系，设M（x,y）是圆上任意一点，因为点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为

(xa)2(yb)2r ①

把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2 ② 根据曲线与方程思想，确定②为在平面直角坐标系中圆的标准方程。此处通过学生分组合作探究，不仅是对数学知识技能的提高，还锻炼了学生自主思考、主动探索、积极合作的能力。并且我在教学中以比赛的性质鼓励学生，通过学习上的成功引发学生继续学习的兴趣，为后续知识的学习提供了良好的环境。

三、经典例题

1、已知圆的方程为(x+1)2＋(y＋3)2＝2；

⑴指出圆的圆心和半径（进一步分析圆标准方程的特征）⑵点A(1,-2)在圆上吗？点B（4，1）呢？能给出确定点与圆的位置关系的一般方法吗？

2、求出满足下列条件的圆的方程 ⑴圆心在（1，-3）且与X轴相切 ⑵半径为2且与X轴Y轴都相切

⑶求以点C(1,3)为圆心，并和直线3x4y70相切的圆的方程。

该部分我着重以曲线与方程思想为主体，用解析几何诠释圆的几何性质。本意是想让学生把初中所熟知的知识用新的数学语言表达，但是这里情况并不让我满意。主要体现在两个方面：第一、很多学生对之前讨论的圆的几何性质比较生疏，课前准备工作没做好，导致课堂反应速度较慢，影响课程进度。第二、由于第一次正式研究曲线方程的应用，部分同学有无从下手的感觉，不能准确找到问题的切入点，反映了对基础知识的理解还不够透彻。如果当时我给出更多的提示，充分重视数形结合思想，效果可能会更好。

最后，我对本节课的教学进行了总结、反思：

在整体的设计上，我通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣。然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功。

在教学细节上,还有以下几点值得关注：

1、从教材位置上看，本节内容安排在曲线方程概念和求曲线方程之后，三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备。同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法。

2、在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法、数形结合等思想方法，还经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识等，教师在教学中要注意多复习、多运用，多总结，培养学生运算能力和简化运算过程的意识。

3、有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，建议适当选择一些内容供学生研究。例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题等等。

第5篇：圆的标准方程教学目标

圆的标准方程教学目标

(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。(二)能力目标

1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；

3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点(一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。(二)教学难点

圆的标准方程的应用。

教学方法

选用引导―探究式的教学方法。

教学手段

借助多媒体进行辅助教学。

教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］ 师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？

生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？

生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即 x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得

即：（x-a）2+(y-b)2= r2 Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.? 特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？

生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］

① 圆心在原点，半径是3 ：________________________ ② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________ ③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________

2、? 变式题［多媒体演示］

① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2 +(y-3)2 = ② 已知圆的方程是(x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。

答案： C（a,0）,? r=|a| Ⅲ.例题分析、巩固应用

师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.［例1］ 已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。师：你打算怎样求过P点的切线方程？

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。师： 斜率怎样求？ 生：。。。

师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数 ? 半径OP的斜率 K1＝，所以切线的斜率 K＝－＝－ 所以所求切线方程：y-= －(x-)即：x+y=17(教师板书)师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？

生：。。。? 师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？（若看不出来，再看一例）

［例1/］? 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。

答案：2x+3y=13? 即：2x+3y－13＝0 师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：xox+yoy=r2.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？ 生：。。。

［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

? ∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－ ∴所求切线方程：y-yo= －(x-xo)即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2.(教师板书)? 当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程

［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

（0，b）,半径为r，那么圆的方程是? ?x2+(y-b)2=r2.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组： ? 解得：b=-10.5 ,r2=14.52 ∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程 且取y>0 得：y= ≈14.36-10.5=3.86(M)答：支柱A2P2的长度约为3.86M。Ⅳ.课堂练习、课时小结 课本Ｐ77练习2，3 师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79 ? 教学设计说明

在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

设计理念：

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

设计思路：

本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。

第6篇：圆的一般方程

圆的一般方程

教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

教学难点：圆的一般方程的特点．

教学疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． 活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 教学过程

(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)

(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

(三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题：

问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．

(2)

与圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．

(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．

当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．

它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 教师还要强调指出：

(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例

同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．

例

1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．

此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例

2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．

2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：

例

3求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．

这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程．

五、布置作业

1．求下列各圆的一般方程：

(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．

2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．

作业答案：

1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=0 2．x2+y2-x+7y-32=0 3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以

4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．

当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-

与x轴的两个交点．

第7篇：方程教学设计

教学内容：教材P49～50页。教学目标：

知识与技能：理解和掌握方程的意义，明确方程与等式两个概念的关系。

过程与方法：经历从生活情境到方程的模型的建构过程，使学生能够判断一个式子是不是方程，并能解决简单的实际问题。

情感、态度与价值观：让学生感受方程与生活的密切联系，培养学生的数学应用意识

。渗透转化的数学思想，发展其抽象思维能力和符号感。教学重点：理解和掌握方程的意义。

教学难点：判断一个式子是不是方程，用方程表示数量关系。教学方法：观察、分析、分类、抽象、概括和交流 教学准备：多媒体，天平。教学过程

一、情境导入

1．创设情境：观看视频《曹冲称象的故事》。

2．请学生简单地说一下曹冲是利用什么原理称出了大象的重量呢？（让大象和石头的重量相等，再称石头的重量。）

3．你们知道吗？在生活中有很多工具能帮我们测量出相同重量的物体。今天就先来认识其中的一种：天平。

二、讲授新知

1．出示天平： 让学生说一说对天平有哪些了解？

（学生自由发言，可能会说：天平有两个托盘，中间有指针；天平一边放物品一边放砝码，物品的重量与砝码的重量相等。）老师做补充：天平可以称量物体的质量，还可以判断两个物体的质量是否相等；使用天平一般是左盘放物体，右盘放砝码；指针在中间说明天平平衡。2．合作探究。

(1)观察课件，在天平的左端放一个空碗，在天平的右边放一个20克的砝码，天平平衡吗？ 让学生自主思考，提出问题：在天平的左边再放1个50克的砝码，右边再放多少克砝码就可以保持平衡？

用算式表示：20+50=70。让学生观察式子，等号左边与右边相等，这样的式子就是一个等式。（板书：等式）

(2)把一个碗放在天平的左边，右边放50g的砝码，让学生观察天平说一说发现了什么。引导学生通过观察发现：现在天平不平衡，说明空碗的重量小于50g。,20

学生思考得出：一碗米粉的重量等于碗的重量加米粉的重量。

如果用未知数x 来表示米粉的重量，那么碗和米粉一共有多重，又该怎样表示呢？

学生汇报：2O+x(师板书)(3)再次让学生观察现在的天平（天平右边放50g砝码），发现了什么？（天平两边不平衡）

哪边重一些呢？你们能用数学算式来表示吗？

学生回答：2O+x >50。怎样让天平两边平衡呢？（加砝码）

教师在右边加一个50g的砝码让学生观察，并说一说天平的情况。引导学生用式子表示：2O+x

引导学生说明这碗米粉的重量大于50g，小于100g。让学生继续思考，怎样才能使天平平衡呢？

引导学生把右边的砝码换成50克和20克的，使天平左右两边平衡。这说明了什么？(一碗米粉的重量等于70g)(4)同桌说一说自己喜欢的等式、不等式，并在等式、不等式下面记录下来。(5)让学生比较黑板上的等式和不等式，有什么不同？

学生思考，得出：有的等式没有未知数x，有的等式含有未知数x，有的含有未知数的是不等式，有的是等式。

教师小结：像2O+x =70这样的含有未知数的等式，称为方程。（板书：方程）(6)引导学生思考：是不是所有的等式都是方程？（不是。）那么，方程有哪些特点？ 归纳小结：方程的特点：是一个等式，且含有未知数。

（7）出示一组含有未知数和不含未知数的等式，借助集合图比较等式与方程，总结出方程与等式的关系。（方程一定是等式，等式不一定是方程）

三、巩固拓展

1．达标练习，通过练习引导学生发现利用天平的平衡找出等量关系，再用方程表示数量关系。

2．没有天平，我们能找出题目中的等量关系并用方程表示吗? 观察情境图，按要求完成题目。

3．拓展练习。根据给出的方程编题。

四、分享收获。

师：这节课你学会了什么？有哪些收获？ 引导总结：1．含有未知数的等式叫做方程。

2．方程有两个重要条件：一个是等式，一个是含有未知数。3．方程一定是等式，等式不一定全都是方程。

板书设计： 方程的意义

石块的重量=大象的重量

不平衡平衡

不等式 等式 方程 2050 20+x=70 20+x

含有未知数的等式叫做方程。

方程一定是等式，等式不一定是方程。

圆标准方程教学设计

方程教学设计

圆的标准方程教学反思

圆教学设计

方程意义教学设计