《勾股定理》教案

《勾股定理》教案

长沙市北雅中学 **

教材分析：

“勾股定理”为独立的一章，其主要包括勾股定理(直角三角形三边的关系；直角三角形的判定)、勾股定理的应用．知识结构框架如下：

本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。

学情分析：

学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。

(1)忽视定理成立的条件是在直角三角形中。(2)忽视题目中的隐含条件。有的同学一看到三角形的两边是3和4，就会认为第三边是5。

目标分析：

知识技能目标：理解并掌握勾股定理及其证明.

过程方法目标：在学生经历“观察—猜想—拼图—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想.

情感态度目标：通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；

在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神.

教学重点：

探索和验证勾股定理。

教学难点:

探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．

教学过程设计:

一、创设情境，引入课题

以伟大的数学家毕达哥拉斯导入。

二、合作探究，获得定理

1、探索勾股定理

活动1：探究等腰直角三角形三边的关系

相传2500年前，古希腊数学家毕达

哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家

用砖铺成的地面中反映了直角三角形

三边之间的某种数值关系：

（1）我们也来观察右图中的地面，看看有什么

发现？

（2）正方形A、B、C的面积有什么关系？

（3）右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？用等式表示

(4)你能用语言表述等腰直角三角形三边之间的关系吗？

【设计意图】探究等腰直角三角形的三边之间的关系，从最特殊的直角三角形入手，重点渗透解决直角三角形三边关系的方法.

活动2：探究直角三角形的三边之间的关系

1.利用仪器说明直角三角形三边关系。

2. 运用几何画板任一画一直角三角形，并分别以这个三角形的三边向外作正方形，改变三角形的边长，观察三个正方形面积之间关系。

(1)你能发现正方形A、B、C的面积有什么关系，用等式表示

(2)正方形A、B、C围成直角三角形三边有什么关系，用等式表示

通过几何画板操作，我们猜想：

命题1：如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，

斜边为c，那么$$a^2+b^2=c^2$$

【设计意图】利用几何画板操作更形象直观展示任意直角三角形三边的关系，为获得定理做铺垫。

2、拼图验证勾股定理

活动3：拼图验证定理

（1）用准备好的四个全等的直角三角形，以小组为单位进行合作，拼成一个正方形。（要求：不能重叠，内部可以中空）

（2）请同学们用拼成的这个正方形，以小组为单位，来验证这个命题1。

$$\begin{array}{c}\text{大正方形的面积}=(a+b{)}^2,\\ \text{小正方形的面积}=c^2,\\ \text{所以}(a+b{)}^2-4\times \frac{1}{2}\text{ab}=c^2,\\ \text{即：}{a}^2+b^2=c^2\text{.}\end{array}$$

.

$$\begin{array}{c}\text{大正方形的面积}=c^2,\\ \text{小正方形的面积}=(b-a{)}^2,\\ \text{所以}4\times \frac{1}{2}\text{ab}+(b-a{)}^2=c^2,\\ 2\text{ab}+b^2-2\text{ab}+a^2=c^2,\\ \text{即：}{a}^2+b^2=c^2\text{.}\end{array}$$

（3）勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

1.成立条件： 在直角三角形

2.公式变形:a2=c2-b2 b2=c2- a2

3.作用：已知直角三角形任意两边长求第三边.

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间概念，发展学生形象思维；通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想.通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，进一步体会我国古代数学人的智慧，增强名族自豪感.

三，综合运用，应用定理

例1：在Rt△ABC中，∠C =90° ，

（1）如果a=1，b=2，求c.（2）如果a=5，c=17，求b.

变式：若已知有两条边长分别为3，4，求另外一条边长。

【设计意图】在直角三角形中，已知其中两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想和分类讨论思想。

例2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值。

【设计意图】直角三角形中，已知一条边，以及另外两条

边的数量关系时，可利用勾股定理建立方程求解．

四、课堂小结，拓展延伸

（一）小结

1.是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？

2.在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？

3.今天我们用了什么方法证明勾股定理？

4.运用勾股定理应注意哪些事项？

（二）史话勾股定理

（三）课后作业：证明勾股定理加菲尔德总统证法。

【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国文化及数学美，感悟数形结合的数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的优化.

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