《分式与分式方程》复习教案

第二章 《分式与分式方程》

●教学目标

（一）教学知识点

1.用分式表示生活中的一些量.

2.分式的基本性质及分式的有关运算法则.

3.分式方程的概念及其解法.

4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型.

（二）能力训练要求

1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.

2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用.

3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识.

（三）情感与价值观要求

使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人.

●教学重点

1.分式的概念及其基本性质.

2.分式的运算法则.

3.分式方程的概念及其解法.

4.分式方程的应用.

●教学难点

1.分式的运算及分式方程的解法.

2.分式方程的应用.

●教学方法

讨论——交流法

讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系.

●教具准备

投影片两张，实物投影仪

第一张：问题串，（记作§2.5 A）

第二张：例题分析，（记作§2.5 B）

●教学过程

Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识.

出示投影片（§2.5 A）

问题串：

1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例.

2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？

3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？

［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流.

（教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）

［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影）

某人在外面晨练，有m分钟，他每分钟走a米；有n分钟，他每分钟跑b米.求此人晨练平均每分钟行多少米？

［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行$$\frac{\text{am}+\text{bn}}{m+n}$$米.

我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m2,长为p m,宽为____________ m.

［生］应为 m.

［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.

［生］如果某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为多少元？

［生］原价为元.……

［师］$$\frac{\text{am}+\text{bn}}{m+n}$$,,都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？

［生］整式A除以整式B，可表示成$$\frac{A}{B}$$的形式，如果除式B中含有字母，则称$$\frac{A}{B}$$是分式.而整式分母中不含字母.

［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如（用实物投影仪）

某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10 h，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？

解：设采用新工艺前、后每时分别加工x个，1.5x个，根据题意，得

$$\frac{\text{1200}}{x}$$=$$\frac{\text{1200}}{1\text{.}5x}$$+10

解，得x=40,1.5x=40×1.5=60.

经检验x=40是原方程的根，也符合题意.

答：采用新工艺前后每时分别加工40个、60个.

［师］下面我们来看第二个问题.

［生］分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下：

［师］用列表格的方式，使分数与分式的性质及其运算法则的异同清晰可见.你们的想法老师很欣赏.

［生］我们组来回答第三个问题吧.先看第一问.解分式方程分三步：第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，若最简公分母不为零，则此根是原方程的解.

［生］我认为从解分式方程的步骤就可以看出分式方程是通过去分母转化为一元一次方程后完成的.但解分式方程必须检验，这就是和一元一次方程的区别.因为在把分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘以含未知数的最简公分母，若解出的整式方程（这里通常是一元一次方程）的根使最简公分母为零，则原分式方程无意义，所以分式方程必须验根.

［师］同学们三个问题都回答得很好.下面我们来看一组例题（出示投影片§2.5 B）

［例1］当x为何值时，下列分式的值为零.

（1）$$\frac{(x-2)(x-3)}{x^2-9}$$；（2）$$\frac{x-1}{x+1}$$.

解：（1）由分子（x－2）（x－3）=0，得

x=2或x=3.

当x=2时，x2－9≠0；当x=3时，x2－9=0.

所以当x=2时，分式的值为零.

（2）由分子x－1=0，得x=1,

而当x=1时，分母x+1=1+1=2≠0.

所以当x=1时，分式的值为零.

［例2］约分

（1）$$\frac{a^2-1}{a^2-a-2}$$;（2）$$\frac{-\text{16}{x}^2}{\text{20}\text{xy}}$$.

解：（1）$$\frac{a^2-1}{a^2-a-2}$$=$$\frac{(a+1)(a-1)}{(a-2)(a+1)}$$

=$$\frac{a-1}{a-2}$$

（2）$$\frac{-\text{16}{x}^2}{\text{20}\text{xy}}$$=－$$\frac{4x\cdot 4x}{5y\cdot 4x}$$=－$$\frac{4x}{5y}$$

［例3］计算：

（1）$$\frac{a^2-\text{ab}}{a^2}$$÷（$$\frac{a}{b}$$－$$\frac{b}{a}$$）

（2）$$\frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$$－$$\frac{1}{a-1}$$（2003年南京市中考题）

解：（1）$$\frac{a^2-\text{ab}}{a^2}$$÷（$$\frac{a}{b}$$－$$\frac{b}{a}$$）

=$$\frac{a(a-b)}{a^2}$$÷$$\frac{(a+b)(a-b)}{\text{ab}}$$

=$$\frac{a(a-b)}{a^2}$$×$$\frac{\text{ab}}{(a+b)(a-b)}$$

=$$\frac{b}{a+b}$$

（2）$$\frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$$－$$\frac{1}{a-1}$$

=$$\frac{(a+1{)}^2}{(a+1)(a-1)}$$－$$\frac{1}{a-1}$$

=$$\frac{a+1}{a-1}$$－$$\frac{1}{a-1}$$

=$$\frac{a}{a-1}$$

［例4］下列解法对吗？若不对，请改正.

（1）解方程$$\frac{1}{x-2}$$=$$\frac{1-x}{2-x}$$－3

方程两边同乘以x－2,得1=－（1－x）－3

x=5

［错因分析与解题指导］在方程两边同乘（x－2）时，右边－3项漏乘了.去分母时，特别要当心原方程中原来“没有分母”（其实是分母为1）的项，不要漏乘.

正确解法：

方程两边同乘以（x－2），得1=－（1－x）－3（x－2）

解，得x=2

检验：将x=2代入x－2=0.

所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

Ⅱ.建立知识结构图.

（在学生回忆、反思的过程中，建立知识结构图）

［师生共析］

Ⅲ.课时小结

这节课我们通过回顾与思考，更进一步体会到了分式和分式方程这样的数学模型如何去解决生活中的实际问题，并且提高了运算的能力和对算理的进一步理解.

Ⅳ.课后作业

1.课本复习题知识技能、数学理解和问题解决，学有余力的同学可完成联系拓广.

2.独立完成一份小结，谈一谈学习本章后的收获及遇到的困难等.

Ⅴ.活动与探究

甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？

［过程］平均价格是为两次买的总糖量除总价钱.由于两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可.

［结果］设两次买糖的进价分别为x、y（单位：元/斤），A、B分别是甲、乙两人买糖的平均进价.则：

A=$$\frac{2\times \text{1000}}{\frac{\text{1000}}{x}+\frac{\text{1000}}{y}}$$=

B=$$\frac{\text{1000}x+\text{1000}y}{2\times \text{1000}}$$=$$\frac{x+y}{2}$$

B－A=$$\frac{x+y}{2}$$－=$$\frac{(x+y{)}^2-2\text{xy}}{2(x+y)}$$

=$$\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}$$＞0

所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.

●板书设计

§2.5 回顾与思考

《有理数小结与复习》教案

分式方程教案模板（共17篇）

《从分数到分式》教案

《岳阳楼记》复习教案

对联复习教案