初中三角形证明数学教案模板

第1篇：初中数学三角形证明

1.如图△ABC，∠AFD＝

158°，求∠EDF的度数。

2.如图，∠C

＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A与∠EFD的度数。

3.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC

4.如图，在△ABC中，已知AD是△

ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度数．

5.如图△ABC的周长为18

cm，BE、CF

分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.解题思路：

（1）求角度问题要考虑：角平分线、三角形内角和定理、两内角之和等于第三角的外角

（2）先列等式，然后根据题目要求去掉无关信息，最后采用“消元法”的思路转换解决，求出未知

（3）对于某些题要结合外围图形和条件，比如四边形、三角形全等、直线关系（平行、相交）来解答。

00第八讲三角形证明

（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，F 求证：∠1=∠2E A8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C AB A9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：EAE=AD+BEBDC10如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）解题思路：(1)三角形的证明一般思路是证全等和相似（八年级）（2）分析题目先看求什么？然后考虑求未知必须先求什么？需证明那些量相等，或哪个三角形相等然后找出已知条件所能得出的结论，然后看它们能不能证出所要的关系（3）如果不能证出数量关系要考虑添加辅助线来“凑出”条件，然后在证明

11.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，A

17.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求ACBD。求证：ACFBDE。较难

12.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C

13.已知如图，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求证：DE=BD+CE.14.在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E求证：ADC≌CEB

15.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证：∠C=2∠BCD

BF

18.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平

A

E

分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交 D

BA的延长线于F．BC

求证：BD=2CE．Q

A

E

19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定 P

AP与AQ的数量关系和位置关系B

C

20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在 AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明 理由．

(附加题)如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥ AC于E，BF⊥AC于F，若AB=

CD，AF=CE，BD交AC于点 M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上 述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

第2篇：初中数学《认识三角形》教案

悦考网www.xiexiebang.com相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明；如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ＝45°，求证：PQ＝PB＋DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQAP为公共边

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°∴DP⊥NP

例1：(基础题)如图,AC//DF , GH是截线.∠CBF=40°, ∠BHF=80°.求∠HBF, ∠BFP, ∠BED.∠BEF

例2：(基础题)

①在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A =（度）

②：、。如图，△ABC中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD =。③已知，在△ABC中，∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC的形状为（）

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、以上都不对

④下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmC.5cm，6cm，10cm

D.3cm，8cm，12cm

⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是

_．______.⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为

⑧在△ABC中，AB = AC，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B =，∠C =。BD=______,CD=________

⑨如图，AB = AC，BC ⊥ AD，若BC = 6，则BD =。

⑩画一画如图，在△ABC中：

（1）.画出∠C的平分线CD

（2）.画出BC边上的中线AE

（3）.画出△ABC的边AC上的高BF

例3：(提高)

①△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A=，∠B=

③在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角？

_______________________

④：在等腰三角形中，周长为40cm,一个边另一个边2倍，求三个边？

_________________

例4 如图，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA的延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B

例5：(15，)

例6.ABC为等边三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且CE =BC 求证： BD = DE

一、选择题：

1.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.150°B.80°C.50°或80°D.70°

2． 在△ABC中，∠A＝50°，∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是()

A．65°B．115°C．130°D．100°

3．如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△的角平分线，AN为△的角平分线。

二、填空题：

1.。

2.3.

4.已知△ABC中，则∠A + ∠B + ∠C =（度）

5.。若AD是△ABC的高，则∠ADB =（度）。

6.若AE是△ABC的中线，BC = 4，则BE ==

7.若AF是△ABC中∠A的平分线，∠A = 70°，则∠CAF = ∠=(度)。

8.△ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积

为。

9.直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为。

10.等腰三角形的一个角为45°，则顶角为。

11.在△ABC中，∠A：∠B：∠C = 1:2:3，∠C =。

12.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中共有个直角三角形；

13.△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB若∠A=70°，则∠BOC=；若∠BOC=120°，∠A=。

三、解答题：

14、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4=度；

15、如图；ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD

上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长？

16有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米（即两脚着地时的间距有三米”。有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”。你觉得小颖的话有道理吗？

17． 图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数..18。已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。

求等腰三角形各边的长。

19．已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC，求证：AB＝AC

.20。.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。

21．、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

.22。如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别

在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。

23．、如图，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。试探求∠F与∠B、∠D之间的关系，并说明理由。

例

1、填空：。

（6）正二十边形的每个内角都等于。

（7）一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为。

（8）n多边形的每一个外角是36°，则n是。

（9）多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。

（10）如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是。

（11）一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角等于。

例

5、给定△ABC的三个顶点和它内部的七个点，已知这十个点中的任意三点都不在一条直线上，把原三角形分成以这些点为顶点的小三角形，并且每个小三角形的内部都不包含这十个点中的任一点，求证：这些小三角形的个数是15。

1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论。

解：

当B在BC的中点时四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°证明；在△ADC和△BFC中BF=DC,BC=AC,∠B=∠ACD∴△ADC△≌BFC∴AD=FC,∠DAC=∠BCF=30°∵△AED是等边三角形∴ED=FC，∵∠EAB=∠ BAD=60°∴AD垂直平分ED∴∠BDE=∠DCF=30°

∴ED‖FC∴CDEF是平行四边形且∠DEF=30°

第5篇：初中数学三角形证明题练习及答案

三角形证明题练习

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）

2．如图，在△ 3 A．1B． 10 C． 2 1D． 5

ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）

5个

A．3．如图，在B．4 个 C．3个

D．2 个

△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）

4．如图，在△ABC4 ：3 A．B．3：4 C．1 6：9 D．9：16

中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）

5．如图，在7 0°

A．B．80°

C．4 0° D．30°

△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）

3 0°

A．B．36°

C．4 0° D．45° 6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）

7．如图，在△1 45°

A．B．110°

C．7 0° D．35°

ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）

A．2B． 3 C．

4D． 5

8．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）

9．在Rt△

A．2B． 3 C．

6D．不能确定

ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）

10．△.8cm A．3B． 7.6cm C． 1.4cm 1D． 11.2cm

ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）

1 10°

A．

2 °/ 40 B．120

C．1 30° D．140°

11．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）

A．

12．如图，B． 4 C．

6D． 8

△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）

3cm A．1

B． 14cm C． 5cm 1D． 16cm 13．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）

5 0°

A．14．如图，要用“HL”

B．75°

C．8 0° D．105°

判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）

AC=A′C′，A．

15．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）

3 / 40 BC=B′C′ AC=A′C′，C．

AB=A′B′

B．∠A=∠A′，AB=A′ B′

D．∠B=∠B′，BC=B′ C′ B C＞PC+AP B．BC＜PC+AP C． C=PC+AP D．BC≥PC+AP

A．B

16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）

949 0°﹣∠A B． 0°﹣∠C．1 80°﹣∠D． 5°﹣∠ A．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）

A． △ABD≌△ACD

B． AD是△ABC的高线

A

A

A

C． AD是△ABC的角平分线 D． △ABC是等边三角形

三角形证明中经典题2

1.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

4 / 40

2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．

3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．

4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．

5 / 40

5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．

6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．

6 / 40

7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．

2015年05月03日初中数学三角形证明组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）

A13 ．

考点： 分先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分

7 / 40 线段垂直平分线的性质． B10 ．

C12 ．

D5 ． 析： 线，得出BE=AE=13． 解解：∵∠C=90°，答： ∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13； 故选：A． 点本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股评： 定理求出AE是解题的关键．

2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）

A5个 B4个 C3个 D2个 ． ．

．

．

考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．

点： 专证明题．

题： 分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形析： 进行分析，即可得出答案．

8 / 40

CE分别是解解：共有5个．

答：（1）∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线 ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；

（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；

同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形． 故选：A． 点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理评： 的理解和掌握，属于中档题．

3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）

9 / 40

A4：3 ．

考点： 专题： 分首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，计算题． 角平分线的性质；三角形的面积． B3：4 ．

C16：9 ．

D9：16 ．

析： 根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积． 解解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1答： 分）

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）

∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3． 故选A．

10 / 40 点

此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关评： 键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）

A70° ．

考点： 专题： 分由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度几何图形问题． 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． B80° ．

C40° ．

D30° ．

析： 数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．

11 / 40 解解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，=70°，答： ∴∠ABC=∠C=∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°． 故选：D． 点此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性评： 质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）

A30° ．

考点： 分求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和等腰三角形的性质． B36° ．

C40° ．

D45° ．

析： 是180°，求∠B，12 / 40 解解：∵AB=AC，答： ∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B． 点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三评： 角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．

6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）

A145° B110° C70° D35° ． ．

．

．

考角平分线的定义．

点

13 / 40 ： 分析： 解答解：∵射线OC平分∠DOA． ∴∠AOD=2∠AOC，首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数．

： ∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B． 点评：

7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．

A2 ．

考点：

14 / 40 线段垂直平分线的性质． B3 ．

C4 ．

D5 ． 分根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂析： 直平分线的性质进一步求解． 解解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，答： ∴∠B=30°．

∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°． ∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4． 故选C． 点此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线评： 段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．

8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）

A2 ．

考三角形的角平分线、中线和高．

15 / 40 B3 ．

C6 ．

D不能确定 ． 点： 专计算题．

题： 分根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出析： 即可． 解解：∵BD是△ABC的中线，答： ∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2． 故选A． 点本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地评： 进行计算是解此题的关键．

9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（A3.8cm B7.6cm C11.4cm D11.2cm ． ．

．

．

考角平分线的性质．

点：

16 / 40

CAB=60°，）分由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，析： 又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解． 解解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，答： ∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4． 故选C． 点本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的评： 距离DE即为CD长，是解题的关键．

10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）

A110° ．

考点： 专题： 分

B120° ．

C130° ．

D140° ．

角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

计算题．

由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三

17 / 40 析： 角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 解解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，答： 即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140 ∠OBC+∠OCB=70 ∠BOC=180﹣70=110° 故选A． 点此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，评： 三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．

11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）

A2 ．

考点： 专题：

B4 ．

C6 ．

D8 ．

角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

计算题．

18 / 40 分利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理析： 求证△POE≌△POF，即可求出PF的长． 解解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，答： ∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6． 故选C． 点此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性评： 质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．

12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）

A13cm B14cm C15cm D16cm ． ．

．

．

考线段垂直平分线的性质．

点： 分要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即析： 可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．

19 / 40 解解：∵DE是AB的垂直平分线，答： ∴AD=BD，AB=2AE=2 又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm． 故选B 点此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线评： 上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．

13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）

A50° ．

考点： 分根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=线段垂直平分线的性质． B75° ．

C80° ．

D105° ．

析： ∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案． 解解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，答： ∴BP=AP，CQ=AQ，20 / 40 ∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C． 点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三评： 角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．

14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′C′全等的条件是（）

AAC=A′B∠A=∠． C′，． A′，BC=B′AB=A′C′ B′

CAC=A′D∠B=∠． C′，． B′，AB=A′BC=B′B′ C′

21 / 40

B′考直角三角形全等的判定．

点： 分根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．

析： 解解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，答如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，： Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 点此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌评握，难度不大，是一道基础题．

：

15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）

ABC＞BBC＜CBC=PC+AP DBC≥． PC+AP ． PC+AP

．

． PC+AP 考线段垂直平分线的性质．

点：

22 / 40

C在MN分从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，析： 结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案． 解解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，答： ∴PA=PB．

∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP． 故选C． 点本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点评： 到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）

A90°﹣∠B90°﹣． A 考点： 分由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，等腰三角形的性质． ． ∠A

C180°﹣． ∠A

D45°﹣． ∠A 析： BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全

23 / 40 等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．

解解：∵AB=AC，答： ∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A． 故选B． 点此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形评： 的判定与性质是解本题的关键．

17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）

A△ABD≌． △ACD BAD是△． ABC的高

24 / 40 线

CAD是△D△ABC是． ABC的角． 等边三角平分线 形

考等腰三角形的性质．

点： 分利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 析： 解解：

答： A、在△ABD和△ACD中，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；

B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；

C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；

D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确； 故选D． 点本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线评： 合一”的性质是解题的关键．

18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）

25 / 40

A点P在∠B点P在∠． ABC的平分线上 ． ACB的平分线上

C点P在边D点P在边． AB的垂直平分线上

考点： 分根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线段垂直平分线的性质． ． BC的垂直平分线上

析： 线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 解解：∵PB=PC，答： ∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D． 点本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：评： 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

26 / 40 19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）

A15° ．

考点： 分析： 解答

B20° ．

C25° ．

D30° ．

等腰三角形的性质．

根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．

解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，： ∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°． 故选：C． 点评：

27 / 40 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．

20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）

A1个 ．

考点： 分由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，角平分线的性质． B2个 ．

C3个 ．

D4个 ．

析： 进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得． 解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN答： ⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD ∴△OMD≌△OND，28 / 40 ∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN ∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确． 故选D． 点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到评： 两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．

二．解答题（共10小题）

21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．

（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？

考点： 分（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即角平分线的定义．

析： 可得出∠NOC；

（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．

29 / 40 解解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，答： ∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°． 点本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间评： 的数量关系是解决问题的关键．

22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

考点：

30 / 40 线段垂直平分线的性质． 专题： 分探究型．

（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥析： OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；

（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论． 解解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，答： ∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，31 / 40 ∴OE=4EF．

点本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等评： 腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．

考点： 分根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=角平分线的性质．

析： ∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题． 解解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，答： ∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，32 / 40 ∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12． 点本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考评： 查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．

24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．

考等腰三角形的性质．

点： 分由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠析： DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数． 解解：∵AD=BD 答： ∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°

33 / 40 ∴5x=180°，∴∠DBA=36°

∴∠BAC=3∠DBA=108°． 点此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定评： 理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．

25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；

（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．

考点： 分（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的等腰三角形的性质．

析： 性质即可求得∠ABC的大小；

（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．

34 / 40 解解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；

答：（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是 67.5°． 点本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主

．

评： 要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．

26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．

考点

35 / 40 等腰三角形的判定． ： 分析： 解答证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．

： ∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；

（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形． 点评：

27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数． 本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．

36 / 40 考线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

点： 分求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂析： 直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案． 解解：∵AB=AC，∠C=67°，答： ∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°． 点本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三评： 角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．

28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．

考等腰三角形的性质．

点：

37 / 40 分首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠析： AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可． 解解：∵AB=AD=AE，DE=EC，答： ∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°． 点本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰评： 三角形的性质求得有关角的度数．

29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．

考等腰三角形的性质．

38 / 40 点： 专题： 分由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，证明题．

析： CE=EF．便可得出结论． 解证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），答： ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；

又∵DE平行BC（已知）

∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE． 点此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性评： 质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．

30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．

39 / 40 考点： 专题： 分等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．

证明题．

根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件析： “DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形． 解证明：∵AD是△ABC的平分线，答： ∴∠BAD=∠CAD，（3分）

又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F ∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）

又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）

点

本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与评： 性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．

40 / 40

第6篇：初中数学证明三角形全等找角

初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点，AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD

5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE

6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F

3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD

4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB，DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。

第7篇：初中数学几何证明教案

初中数学几何证明教案模板范文学生推理能力的培养，是初中数学教学的一项重要内容。而几何证明题过程的书写正体现了学生推理能力的水平。

证明是指从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程。现阶段初中生的数学几何证明题的书写情况不容乐观。

下面小编为大家带来初中数学几何证明教案模板范文，仅供参考，希望能够帮到大家。初中数学几何证明教案模板范文

一、彻底搞清定义、定理、公理的真正含义

要想让学生写出思路清晰、层次分明的几何证明题的书写过程。首先最关键的一步就是要让学生彻底分清定义、定理、公理的题设和结论，真正理解其真实含义。只有这样，学生才能在以后的证明过程中，正确地利用它来证明相关结论。反之，如果你对定理的内容都没有真正理解，而是含糊其词，是是而非，或者本身就不知道有这样一个定理，那么你在以后的证明过程中，就不能正确地应用这个定理或者就不知道应用这个定理，整个证明过程就会陷入僵局。同时，我们还要让学生把握清楚定理的内涵，不能对定理的理解有模棱两可、含糊其词之感。例如，在学习等腰三角形的“三线合一”这一定理时，有些同学就理解不清，没有真正掌握其含义，甚至自己都感到有些困惑，致使在应用时出现一些小错误。我们都知道这个定理的正确用法是，在知道一个三角形是等腰三角形的大前提下，其中“顶角的平分线”、“底边上的高”、“底边上的中线”三者知道一个，就可以得到另外两个结论。而有些没有真正理解其含义的同学就这样写道：(如图)

在△ABC中

∵AB=AC，AD⊥BC，BD=CD ∴AD平分∠BAC

显然，这是不恰当的。原因就在于没有真正理解等腰三角形“三线合一”这一定理的内涵，应该去掉“的任一个。

二、加强三种几何语言的教学，特别是符号语言

几何语言包括三种不同形式的语言，即文字语言、图形语言、符号语言。对定理、公理的教学，我们老师不仅要让学生掌握定理对应的三种语言，还要培养学生对三种语言的转换能力。

由于三种语言

AD⊥BC”和“BD=CD”中的不同特点，在教学中各自发挥的作用也不相同。在三种语言中，符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础，因为考试中的证明题要用符号语言来体现。

我们老师在教学中如何让学生掌握好符号语言呢?在教学某一定理时，首先要让学生在理解的基础上，结合图形能用自己的语言进行描述再引导学生如何用符号语言进行“翻译”。的点到角的两边的距离相等”这一定理时。

(即文字语言)，然后

例如在教学“角平分线上首先，我们老师要引导学生用什么样的方法证明这一定理，然后引导学生用自己的话表述这一性质，最后训练学生如何用符号来描述这一定理。这一定理的题设中，关键的两点即“角平分线”和“角平分线上的点到角的两边的距离”，如何用符号表示呢呢?(如图)，?结论中的“相等”，又如何用符号表示

题设中的“两点”可以这样用符号表示：∠1=∠2，CD⊥AO，CE⊥BO，结论中的“相等”可表示为：CD=CE

如果我们以后用到这一性质时，就可以这样写了：∵∠1=∠2，CD⊥AO，CE⊥BO∴CD=CE

三、理清思路，做到层次分明

我们老师在批改学生的证明题时，常常会发现这样的现象：为了证明某一结论，假设需要通过两步“同等身份”的推理，才能得出最后的结论，个别学生在证明时，往往两步的推理互相穿插，第一步证明的推理在第二步中有出现，第二步的推理在第一步中也有体现。也就是说，思路不清，条理不清晰。出现这种现象的原因还是在书写过程之前，思路不清、层次不分明。针对这种现象，我们老师要帮助学生细细分析清楚后，再让学生书写过程。例如有这样一道证明题：(如图)

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE‖AC，CE‖BD。

求证：四边形OBEC是菱形。

针对这一题目，引导学生通过分析后，发现这个题目只要证明“两大块”就行了，即证“OB=OC”和“四边形

OBEC为平行四边形”，然后再引导学生这“两大块”又分别怎样用符号语言表述就可以了。当然，这“两大块”的证明不分先后。通过这样的分析后，学生在书写时就不会出现证明“OB=OC”时出现“BE‖AC”这样的“不速之客”了。

四、掌握几何证明题常用的分析方法

几何证明题常用的分析方法有综合法和分析法，另外还有一种就是分析法和综合法的结合使用。那么我们在证明某一结论时，到底用上述三种方法的哪一种呢?这要根据具体的问题，具体的情况进行决定。有时一个待证的结论分析法也可以，综合法也可以，都比较容易找到解决问题的思路，但有时一个待证的结论，这两种方法都不奏效，都不容易找到解决问题的方法，这时我们不妨把这两种方法结合起来使用，或许能找到“突破点”。因此，我们老师要让学生在解决证明题的过程中，自己要注意总结和反思，灵活掌握上述的三种方法。只有这样才能在寻求解决问题方案的过程中游刃有余。

五、多鼓励学生

刚刚学习几何证明题书写的学生，在书写的过程中肯定要或多或少地出现这样或那样的错误。我们老师在对待这一问题时，不要急躁，要耐心地对学生进行讲解和引导，多鼓励、多表扬他们。不理想的推理步骤要不断改进，同时引导学生自己多领悟多反思一下。这样，学生就不会失去这方面的信心，他们会做得越来越好。

总之，对学生几何证明题书写的教学，我们老师要有足够的耐心，采取不同的教学思路和方法，引导和鼓励学生循序渐进地掌握正确书写的方法和技巧。只有这样，学生才能书写出思路清晰、层次分明的几何证明题书写过程。[初中数学几何证明教案模板范文]

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