三角形证明（共20篇）

11如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：

(1)AD是∠BAC的平分线；(2)AB=AC．

F

B

C

12如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．C

AB E

13在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于

G，求证：AE＝BG．

C D

14如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，求证

AD=BD+CD

15如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于F,且AE=EF,求证AC=BF

16如图，在△ABC中，∠ABC=100º，AM=AN,CN=CP,求∠MNP的度数

17如图，在△ABC中,AB=BC,M,N为BC边上的两点，并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,求∠MAC的度数

.18如图，已知∠BAC=90º,AD⊥BC, ∠1=∠2,EF⊥BC, FM⊥AC,说明FM=FD的理由

19如图A、B、C、D四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明． EAEBF①ACED,②ABCD,③，④ EAGFBG

DG

20如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．求证：（1）△ACE≌△BCD（2）直线AE与BD互相垂直

第16篇：初一全等三角形证明

全等三角形１．三角形全等的判定一（SSS）

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D。

B

５．如图, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求证：∠E=∠F

A

DCBF

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

E B

4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

CB

5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．

AC

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． AE D

３～４．三角形全等的判定

三、四（ASA、AAS）

1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm． 求BE的长．

3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

E

DB

4．已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB

5．如图, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求证：DE＝BE.3 QDPA

6．如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC，(1)求∠ABC与∠C的度数；

(2)求证：BC＝2AB.07．如图，四边形ABCD中，

∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；

（2）求证：E是CD的中点；

（3）求证：AD+BC=AB.8．如图, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于点F, 过F作FD∥

BC交AB于点D.求证：AC＝AD.C

第17篇：证明三角形全等(四)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

一、倍长中线（线段）造全等

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.A

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

E

F

B

D

C

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB＝AC+BD

A

3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别 在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

C

A

BDEC

B

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

求证：BQ+AQ=AB+BP

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0



C

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证： AC180

C

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

应用：

分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

B

B

C

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.B

G

C

F

D

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.A

图①

B

M

P N

图②

D C

D

BDE

C

图③

C

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MDN60,BDC120,BD=DC.探究：

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.图1图2图

3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时

QL

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用

． x、L表示）

B

C

第18篇：三角形的证明单元测试

三角形的证明单元测试（北师版）3.1n1.如图，在△ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AD=AC，AD 与 BC 相交于点 E，∠CAD=30°，则∠BCD 的度数为()nn1nn2nn3nn5))))nn2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 D，E，AD，CE 交于点 H，已知 EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长是(3.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，若 CD＝2，那么 BD 等于(4.(本小题 10 分)在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 D 是 BC 上的一点，那么点 D 到 AB 与 AC 的距离之和为(5.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P，则∠APE 的度数为(6.(本小题 10 分)如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∠EBD＝62°，则∠AEB 的度数为()nn6nn7nn10nn7.(本小题 10 分)如图，A，C，B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE，BD 分别与 CD，CE 交于 点 M，N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN； ③AC＝DN．其中，正确结论的个数是(8.(本小题 10 分)下列命题中，其逆命题不成立的是(n nn)nn)nnA.同旁内角互补，两直线平行 C.如果两个实数相等，那么它们的平方相等nnB.线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等)nn9.(本小题 10 分)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时，应假设(nnA.有一个锐角小于 45° B.每一个锐角都小于 45° C.有一个锐角大于 45° D.每一个锐角都大于 45° 10.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 DF 交△ABC 的外角平分线 AD 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 ．则()A.BC＝AC＋AE B.BE＝AC＋AE C.BC＝AC＋AD D.BE＝AC＋ADnn

第19篇：证明一、证明二、证明三_解直角三角形小结

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

证明

（一）

1、本套教材选用如下命题作为公理：

（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（5）、三边对应相等的两个三角形全等。（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。

2、平行线的判定定理

公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

3、平行线的性质定理

公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。

5、三角形内角和定理的推论

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明

（二）

一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

b

2

180A

22、等腰三角形的判定方法

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形

性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）三线合一 判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c2

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式：由三角形面积公式可得：

两直角边的积=斜边与斜边上的高的积（等面积法）

（二）、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2，那么这个三角形是直角三角形。

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

（三）直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

五、角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点（三角形的内心），并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（三角形的外心），并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法

八、互逆命题、互逆定理

1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

证明

（三）

一、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah

二、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

四、正方形（3~10分）

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

Sb

2正方形=a2

2

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）

六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

解直角三角形 知识点总结

考点

一、直角三角形的性质（3~5分）

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：

BC=

2AB∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=

1AB=BD=ADD为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90CD2ADBD

AC2ADAB

CD⊥BC2BDAB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

考点

二、直角三角形的判定（3~5分）

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2，那么这个三角形是直角三角形。考点

三、锐角三角函数的概念（3~8分）

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

sinA

A的对边斜边a

c

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

cosA

A的邻边斜边b

c

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA

A的对边A的邻边a

b

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)（2）平方关系

sin2Acos2A

1（3）倒数关系 tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系 tanA=

sinA

cosA

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）考点

四、解直角三角形（3~5）

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：a2

b2

c2

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：

sinA

ac,cosAbc,tanAab,sinBbabc,cosBc,tanBa

第20篇：三角形的证明说课稿

三角形的证明说课稿

本单元在教材中的地位：

本单元内容属于图形与几何。以前，研究图形主要采用了实物操作、折纸、画图、度量及轴对称等直观方法，主要发展学生的合情推理能力。三角形的证明是在八年级上册的基础上，由证明基础的公理开始，探索、总结了一些定理及推论。本章通过学习等腰三角形（含等边三角形）的性质及判定定理、直角三角形的性质及判定定理、线段的垂直平分线的性质及判定定理、角平线的性质及判定定理的证明和运用，能用规范的数学语言来表达整个推理论证过程，包括准确表述命题的条件、结论，从而培养用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。《课标》要求：（1）知识目标

经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生的推理能力。进一步掌握综合的证明方法，结合实例体会反证法的含义。

了解作为证明基础的几条公理的内容，能证明与三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理。

结合具体的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

能用尺规作已知线段的垂直平分线和角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形。（2）证明思路、渗透数学思想方法

归纳 类比 转化

本章重点：与等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线 等探索证明的思路与方法发。

本章难点：准确地表达推理证明的过程和相关计算

在命题的证明中，对证明技巧来说，证明的思路与方法更为重要，在解题中着重分析证明的思路和方法，通过一定的推理证明训练，逐步掌握证明的方法与思路。如借助直观操作顺利作出辅助线或辅助图形，将要证明的结论转化为已知的结论，反证法通过实例与教学例子体会思想。

本章的证明从命题出发，观察实验结果，运用归纳、类比方法得出猜想，再证明，体会探索结论和证明结论的关系，发展学生的推理能力。考试分值大

设计思路

利用设定的公理和已证明的结论（证明

（一）中）证明与三角形等有关的结论

等腰三角形（等边三角形）、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线及其在一般三角形中的结论

创设情景，将合情推理与论证推理相结合，探索新命题——直角三角形中，300所对的直角边与斜边的关系；三角形的三边垂直平分线的位置关系三角形的三角的平分线的位置关系。

对一些命题进行推广和一般化——第一节中的第二个“议一议”； 倡导学生探索证明思路和不同的证明方法

提问：“你还有其他的证明方法吗？”

展示证明思路、渗透数学思想方法 归纳 类比 转化 1.2直角三角形（2-2）教材分析：

本节课是在对“边边角”判定三角形全等进行“批判”的基础上自然引出“HL”定理，并结合上节课推证出的勾股定理对HL定理进行进一步的推理验证，继而利用“HL”定理来解决实际中的应用问题，这也是本节课的第一板块，主要围绕“HL”定理的推证、应用这一主题展开；而第二板块通过“议一议”设置一道条件开放的题目，目的是对全等三角形各种判定方法的综合应用，培养学生多角度全方位的寻求解决问题的不同方法，培养学生思维的灵活性与开放性。学情分析：

1学生在七年级已经获得了一般三角形全等的条件，也尝试过已知三角形的两边及其中一边的对角画三角形，知道画出的三角形不唯一。七（下）第五章《探索直角三角形全等的条件》中，通过尺规作三角形已经探索得到“HL”定理，因此对本节课的知识点并不感到陌生，但相同的知识点对学生的要求却不同，本节课是在以往合情推理的基础上进一步通过演绎推理进行验证，是在遵循一个“探索—发现—猜想—证明”的完整过程。

2、学生经过八年级（上）的学习，已经初步具备一定的逻辑推理能力，但证明语言及格式往往不太严格，有待进一步训练与提高。 学习目标：

1.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理（教学重点）2.能利用“HL”判定定理解决简单的实际问题（教学难点）

3.学会从数学的角度提出问题、理解问题，体验解决问题的多样性，提高实践能力和创新能力．

方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

意图： 动手操作发现直角三角形全等，获得直角三角形全等的特殊方法。

证明的思路：由勾股定理—一条直角边相等—（SSS）两三角形全等。感受定理的发现、提出、证明过程。

要求：引导会用数学语言归纳、概括猜想书写定理

意图：实际问题，让学生利用“HL”定理来解决、选择这个素材是为了让学生体会数学结论在实际中的应用。应要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程书写出来。

意图：这是一个答案不惟一的开放题，需要学生灵活运用所学知识，教学中应鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间相互交流，获得各种不同的答

教学建议•••••1 让学生经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，体会证明的必要性。2 注重证明思路的启发，关注学生的独立思考。3 要求学生掌握证明的基本思路和方法。4 注意数学思想在教学中的渗透及对学习方法的启发5 要把握好证明的难度

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