“一题多解与一题多变”在培养学生说题能力中探索

作者：ghbnhg85 | 发布时间：2021-01-09 06:53:23 收藏本文下载本文

“一题多解与一题多变”在培养学生说题能力中的探索 [ [ 摘要] ]教会学生在学习过程中，遵循教学规律，善于开动脑筋，注重新旧知识的内在联系，探究一题多解和一题多变，能够举一反三，养成良好的思维习惯，对题目要能说会道，不断提高的思维能力和创新能力。

[ [ 关键词] ] 高中数学说题探索学高中数学，离不开解题训练，但我们在解题中不能为解题而去“孤立”的解题，要善于拓展思路，用联系的眼光看待数学问题。要学会在解题中去寻求一题多解与一题多变，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。

为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力，教学中适当精选一些一题多解的典型题目，尽可能的引导学生进行多向思维，把所学的各方面知识有机的联系起来，既能有效巩固基础知识，又能提高学生的思维能力和创新能力。一题多解的题目要具有代表性,能包容大部分所学知识点,不能过于复杂（难）,但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣,这一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。本文以一道不等式证明为例，围绕说题的样式，谈谈“一题多解与一题多变”在学生说题能力方面如何得到培养。【职称论文+V：ch661134】题目：已知.1 , 12 2 2 2    y x b a 求证：

.1  by ax 1 1 ．说题意条件：① 12 2 b a ；②.12 2  y x 结论：求证：

.1  by ax 涉及的知识点：①圆的标准方程；②不等式的性质；③圆的参数方程；④圆的几何意义.2．说题目出处本题出自南安国光中学高二年下学期不等式练习卷 6 3．说解法本题发现有很多解法，具体如下：

分析 1 用比较法。本题只要证.0)(1    by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。

证法 1)()1 1(21)(1 by ax by ax       )()(212 2 2 2by ax y x b a      

2 2 2 21[(2)(2)]2a ax x b by y      2 21[()()] 0,2a x b y      所以.1  by ax 小结：作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.分析 2 运用分析法。从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆．．．．，并注意书写规范。

证法 2 要证.1  by ax 只需证 , 0)(1    by ax 即 , 0)(2 2    by ax 因为.1 , 12 2 2 2    y x b a 所以只需证 , 0)(2)(2 2 2 2      by ax y x b a 即.0)()(2 2    y b x a 因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

小结：通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”,逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，事物都有自己的原因和结果。从结果来找原因，或从原因推导结果，就是找出事物产生、发展的来龙去脉和规律,这就起到了证明论点的合理性和正确性的作用。

分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法 3.2,22 2 2 2y bbyx aax .12 22 2 2 2  y b x aby ax 即.1  by ax 小结：运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简x lM· y d O

单的应用题。此外，综合法的优点还在于将多个分解的算式组合成一个综合式子，使解法更加简单。

分析 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

证法 4 , 1 , 12 2 2 2    y x b a   可设     cos , sin.cos , sin     y x b a  , 1)cos(cos cos sin sin             by ax 小结：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

分析 5 数形结合法：由于条件 12 2  y x 可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而.2 2b aby axby ax  联系到点到直线距离公式，可得下面证法。

证法 5（如图 4-2-1）因为直线 0 :  by ax l 经过圆 12 2  y x 的圆心 O，所以圆上任意一点),(y x M 到直线 0  by ax 的距离都小于或等于圆半径 1，即.1 1 | || |2 2      by ax by axb aby axd 小结：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

总结：五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。

4 4 ．说拓展推广 1 1 ：

12 2221  na a a ，12 2221  nb b b ，求证：

12 2 1 1  n n ba b a b a  推广 2 2 ：已知.1 , 12 2 2 2    y x b a 求证：

.1 | |  by ax

推广 3 3 ：已知.1  by ax 12 2  b a 求2 2y x  的范围综上所述，通过一题多解、一题多变，对教材中的例题、习题进行纵向或横向的展开，能加强学生对诸多知识和多种方法的理解和变通，从而最大限度地发挥教材中习题、例题的潜在功能，从而达到培养学生良好思维方式和创新意识的目的。

本文为泉州市教育科学“十三五”规划（第一批）立项课题《中学数学师生说题教研活动的理论与实践研究》（QG1351－161）研究成果之一。