一题多解,工程应用题

一题多解 工程应用题 例 例 1 一项工程，甲队单独做完要 2 12 天，乙队单独做完要 10天，两队合做多少天就可以完成？ 【分析 1 1 】把这项工程看作整体“1 1 ”，甲每天完成工程的121，乙队每天完成工程的101，甲乙合做每天完成工程的（121+ 101）），工程“1 1 ”里包含几个（121 + 101）），就是两队合做完成这个工程的天数..【解法 1 1 】两队合做 1 1 天完成的工程？ 121+ +101 = =6011 两队合做多少天完成这项工程？ 1 1 ÷6011= =1160（天）综合算式：

1 1 ÷（121+ +101）=1 ÷6011= =1160（天）..【分析 2 2 】用最小公倍 数 解法..因为 2 12 和 和 0 10 的最小公倍数是 是 60为，所以可假设这项工程为 60.为 那么甲队工作效率为 60 ÷12=5，乙队工作效率为 60 ÷ 10=6，甲乙合做效率为 5+6=11.用总工作量 0 60 除以甲乙效率和 11，即得两队合做完成这个工程的天数..【解法 2 2 】假设这项工程总工作量为 60.60 ÷（60 ÷ 12+60 ÷ 10）=60 ÷（5+6）=60 ÷ 11= =1160（天）..【分析 3 3 】甲队 2 12 天的工作量，乙队 0 10 天即可完成，所以

乙队 1 1 天的工作量，甲队要用 ﹙ 12 ÷ 10 ﹚ 天完时，即 1 12.2 天。那么甲乙两队合做 1 1 天的工作量，甲队要用 ﹙1 1 ＋ 1.2 ﹚ 天..所以乙队 队 0 10 天完成的这项工程，两队合做要用 12 ÷ ﹙1 1 ＋ 1.2 ﹚= =）（天）..【解法 3 3 】 12 ÷（1+12 ÷ 10）=12 ÷（1+ 1.2）=12 ÷ 2.2= =1160（天）..答：两队合做1160天就可以完成..【评注】解法 1 1 是工程应用题的一般解法，易于理解..是较好的解法。解法 2 2 是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量..例 例 2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过 过 9 9 小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6 6 小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？ 【分析 1 1 】把甲乙两站全程看作标准“1 1 ”..两车同行 1 1 小时行完全程的91，货车 1 1 小时可行全程的151，即..那么客车 1 1 小时可行全程的 ﹙91－151﹚..全程“1 1 ”里包含着多少个 ﹙91－151﹚，就是客车行全程需要多少小时..【解法 1 1 】 1 1 ÷（91－151）=1 ÷452= = 22.5（小时）..【分析 2 2 】货车行全程需 9+6=15（小时），9 9 和 和 5 15 的最小公倍数是 45，所以两站全程可假设为 45，那么两车同时行 1 1 小时

可行 45 ÷ 9=5，货车 1 1 小时可行 45 ÷ 15=3，所以客车每小时可行5 5--3=2.甲乙两站全程 5 45 内包含多少个 2 2，就是客车行全程需要多少小时..【解法 2 2 】假设甲乙两站全程为 45.45 ÷ [45 ÷9 9--45 ÷（9+6）] ] =45 ÷ [45 ÷9 9--45 ÷ 15] =45 ÷ [5--3]= 22.5（小时）..【分析 3 3 】两车 9 9 小时行完的路程，货车要用 5 9+6=15（小时）行完..而客车 9 9，小时行完的路程，货车只需 6 6 小时行完..那么货车1 1 小时行完的路程 客车需要 9 9 ÷5 6=1.5）（小时）。

所以货车 5 15 小时的行程，客车需要 1.5 × 15=22.5（小时）..【解法 3 3 】 9 9 ÷6 6 ×（9+6）=9 ÷6 6 × 15 =1.5 × 15=22.5（小时）..【分析 4 4 】两车同时行全程需 9 9 小时，货车行全程需要 9+6=15（小时），那么客车行 9 9 小时恰好行完全程的 6 6 ÷﹙9 9 ＋6 6 ﹚，所的 以客车每小时行全程的 6 6 ÷﹙9 9 ＋6 6 ﹚ ÷ 9=.由此可求客车行全程的时间..【解法 4 4 】 1 1 ÷[ [6 6 ÷﹙9 9 ＋6 6 ﹚÷9 9] ] =1 ÷[ [6 6 ÷ 15 ÷9 9] ] =1 ÷452= = 22.5（小时）..【分析 5 5 】把客车行完全程需要的时间看作“1 1 ”..货车行全

程需 9+6=15（小时），而货车 6 6 小时的行程和客车 9 9 小时的行程恰好相同，由此可求出客车 9 9 小时行全程的 6 6 ÷﹙9 9 ＋6 6 ﹚，即 9 9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间..【解法 5 5 】 9 9 ÷[ [6 6 ÷（9 9 ＋6 6）] ] =9 ÷[ [6 6 ÷ 15] ] =9 ÷ 0.4= = 22.5（小时）..答：客车行完全程需要 5 22.5 小时..【评注】比较以上五种解法，解法 1 1 是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法 5 5 是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法..例 例 3 一件工作，甲乙合做 8 8 天可以完成，甲独做 2 12 天可以完成..做 现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做 3 3 天才完成..乙一共做了多少天？ 析 【分析 1 1 】乙每天完成这件工作的 ﹙1 1 ÷8 8 －1 1 ÷ 12 ﹚，那么乙 乙 3 3 天完成了这件工作的 ﹙1 1 ÷8 8 －1 1 ÷ 12 ﹚×3 3，再求出甲乙合做的工作量[ [1 1 －﹙1 1 ÷8 8 －1 1 ÷ 12 ﹚×3 3] ] 里包含多少个 ﹙1 1 ÷8 8 ﹚，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天..再加上余下 3 3 天即得乙共做多少天..【解法 1 1 】 [1--（1 1 ÷8 8 －1 1 ÷ 12）× 3] ÷ ﹙1 1 ÷8 8 ﹚ +3 =[1--241× 3] ÷81+3 =[1--81] ] ÷81+3 = =87÷81+3=10（天）。

【分析 2 2 】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙 先做了几天，再加上 3 3 天即得乙共做了多少天..【解法 2 2 】设甲乙合做了 x x 天..81x x ＋ ﹙81－121﹚×3 3 =1 81x =1--﹙81－121﹚×3 3 x=7 7+3=10 【分析 3 3 】假设总工作量为 24，那么甲乙效率和是 24 ÷ 8=3，甲的效率是 24 ÷ 12=2，所以乙的效率是 3 3--2=1，它 3 3 天完成了 1 1× 3=3.因此，甲乙合做（24--3 3）÷ 3=7（天），即乙先做了 7 7 天，再加上 3 3 天即得乙共做的天数..【解法 3 3 】假设工作总量为 24.[24--（24 ÷8 8--24 ÷ 12）× 3] ÷（24 ÷8 8）+3 =[24--（3 3--2 2）×3 3）÷ 3+3 =[24--3] ÷ 3+3 =21 ÷ 3+3=10（天）..【分析 4 4 】假设甲乙合做了 5 5 天，那么比实际少完成 1 1--81×5 5--（81--121）× 3=41，甲乙继续合做还要用41÷81=2）（天）。

所以乙共做了 0 5+2+3=10 天..【解法 4 4 】假设甲乙合做了 5 5 天..[1--81×5 5--（81--121）× 3] ÷ +5+3

=[1--85－81] ] ÷81+5+3 = =41÷81+5+3=10（天）..答：乙一共做了 0 10 天..【评注】解法 1 1 和解法 2 2 是较好的解法..解法 1 1 是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到..例 例 4 一项工程，甲、乙两队合做 0 20 天完成..已知甲、乙两是 队工作效率的比是 4 4 ∶ 5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 【分析 1 1 】甲乙两队的工作效率和是201，又知甲乙工作效率是 的比是 4 4 ∶5 5，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率..再用总工作量“1 1 ”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数..【解法 1 1 】甲队每天完成多少工程？ 201×[ [4 4 ÷﹙4 4 ＋5 5 ﹚] ] ＝451 乙队每天完成多少工程？ 201－451＝361 甲队独做全工程需几天？ 1 1 ÷451=45（天）乙队独做全工程需几天？ 1 1 ÷361=36（天）：

综合算式：甲队：1 1 ÷201×﹛[ [4 4 ÷﹙4 4 ＋5 5 ﹚] ] ﹜ =1 ÷4515 =45）（天）乙队：1 1 ÷（201－451）=1 ÷361=36（天）..【分析 2 2 】因为“工作量÷工作效率= = 工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例..即甲乙两队工作量的比是 是 4 4 ∶5 5，所以甲 0 20 天完成了全工程的94，乙队 0 20 天完成了全工程的95..由此可分别求出甲、乙独做全工程 各需多少天..【解法 2 2 】甲队独做全工程需要多少天？ 20 ÷94=20 ×49=45（天）乙队独做全工程需要多少天？ 20 ÷95=20 ×59=36（天）【分析 3 3 】由分析 2 2 可知，甲乙完成工作量的比是 4 4 ∶ 5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例..由此可分别列比例式，求出两队的独做时间..【解法 法 3 3 】设甲队独做需 x x 天完..20 ∶ 4=x ∶（4+5）4x=20 ×9 9 x=20 ×9 9 ÷4 4 x=45 设乙队独做全工程需要 y y 天..20 ∶ 5=y ∶（4+5）5y=20 ×9 9 y=20 ×9 9 ÷5 5 y=36 【评注】解法 1 1 是解工程应用题的一般方法，易于理解，但

思路较曲折..解法 2 2 是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的 较好解法..解法 3 3 虽与解法2 2 的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的..例 例 5 修一段公路，甲队单独修需要 6 16 小时完工..甲乙两队合修 4 4 小时后，剩下的由乙队又用 5 6.5 小时修完..这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？ 【分析 1 1 】乙队先后共修了 4+ 6.5= =5 10.5 小时..先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1 1 ”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时..【解法 1 1 】乙队共修了全长的几分之几？1 1--161× 4=43 乙队先后共修了几小时？ 4+ 6.5= = 10.5（小时）乙队每小时修全长的几分之几？43÷ 10.5 ＝43÷221= =141 乙队独修全长需几小时？ 1 1 ÷141=14（小时）综合算式：

1 1 ÷[ [（1 1--161×4 4）÷（4+ 6.5）] ] =1 ÷[ [（1 1--41）÷ 10.5] ] =1 ÷[ [43÷221] ] =1 ÷141=14（小时）..【分析 2 2 】把乙队独修全长需要的时间看作“1 1 ”..由分析 1 1 可知，乙队先后共修了 ﹙4 4 ＋ 6.5 ﹚ 小时，修了全长的 ﹙1 1--161×4 4 ﹚，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时..【解法 2 2 】（4 4+ + 6.5）÷（1 1--161×4 4）= = 10.5 ÷43=14（小时）..【分析 3 3 】根据“甲队修路+ + 乙队修路= = 全路长”这一等量关系列方程解..【解法 3 3 】设乙队独修需 x x 小时完..161× 4+x1×（4+ 6.5）=1 x1×（4+ 6.5）=1--41 x=1 ÷141 x=14 答：这段公路由乙队独修需 4 14 小时完工..【评注】比较以上三种解法，解法 2 2 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法..例 例 7 一项工程甲队单独做要 5 15 天才能完成，乙队单独做2 12 天才能完成，如果甲队先做 3 3 天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？ 【分析 1 1 】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完..【解法 1 1 】甲队先做了多少？ 1 1 ÷ 15 × 3= 0.2 剩余的工作有多少？ 1 1--0.2= = 0.8 两队合做还要多少天完？ 0.8 ÷（1 1 ÷ 15 ＋1 1 ÷ 12）= =316（天）综合算式：

（1 1--1 1 ÷ 15 ×3 3）÷（1 1 ÷ 15 ＋1 1 ÷ 12）= =（1 1--0.2）÷203= =54÷203= =316（天）..【分析 2 2 】把两队合做全工程的时间看作“1 1 ”..先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成..【解法 2 2 】甲乙合做全工程需要几天？ 1 1 ÷（151＋121）= =320（天）两队要合做全工程的几分之几？ 1 1--151×3 3 ＝54 两队还要多少天可以完成？ 320×54= =316（天）综合算式：

1 1 ÷（151＋121）×（1 1--151×3 3）=1 ÷203×54 = =316（天）..【分析 3 3 】根据“甲队先做的工作量+ + 两队合做的工作量= = 工作总量”列方程解..【解法 3 3 】设两队还要 x x 天完成..151× 3+（151＋121）x=1 x=（1 1--51）÷（151＋121）x=316 【评注】以上三 种解法各有特点..解法 1 1 是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法..解法 2 2 是分数应用题的解法，思路更直接..解法 3 3 是方程解法..读者可灵活选用..例 例 8 仓库有 5 45 吨化肥，甲汽车单独运 0 10 小时完成，乙汽

车单独运 5 15 小时完成..用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？ 【分析 1 1 】先求两车每小时各 运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间..【解法 1 1 】甲车每小时运多少吨？ 45 ÷ 10=4.5（吨）乙车每小时运多少吨？ 45 ÷ 15=3（吨）两车每小时运多少吨？ 4.5+3=7.5（吨）两车同时运需几小时运完？ 45 ÷ 7.5=6（小时）综合算式：

45+（45 ÷ 10+45 ÷ 15）=45 ÷（4.5+3）=45 ÷ 7.5 =6（小时）。

【分析 2 2 】先求出两车每小时共运总吨数的几分之几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时..【解法 2 2 】两车每小时运货的几分之几？101＋151＝61 两车每小时运货多少吨？ 45 ×61=7.5（吨）两车合运几小时完成？ 45 ÷ 7.5=6（小时）综合算式：

45 ÷ [45 ×（101＋151）] ] =45 ÷ [45 ÷] ] =45 ÷ 7.5=6（小时）..【分析 3 3 】甲车每小时运化肥的101，乙车每小时运化肥的151，两车每小时运化肥的（101＋151＝61）..把化肥总吨数 看作“1 1 ”，“1 1 ”里包含几个61，就是两车同运几小时完成..【解法 3 3 】1 1 ÷（101＋151）=1 ÷61=6（小时）..【分析 4 4 】根据“甲车运肥+ + 乙车运肥= = 化肥总量”这一等量关系列方程解..【解法 4 4 】设两车同运 x x 小时完..101x+151x=1（101＋151）x=1 x=1 ÷61 x=6 答：两车同时运 6 6 小时可以完成..【评注】比较以上四种解法，解法 3 3 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法..例 例 9 甲乙两地相距 0 630 千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行..客车行完全程需 4 14 小时，货车行完全程需 1 21 小时..两车相遇时各行了多少千米？ 【分析 1 1 】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米..【解法 1 1 】客车每小时行多少千米？ 630 ÷ 14=45）（千米）货车每小时行多少千米？ 630 ÷ 21=30（千米）两车几小时相遇？ 630 ÷（45+30））= =4 8.4）（小时）

相遇时客车行多少千米？ 45 × 8.4 =378（千米）相遇时货车行多少千米？ 30 × 8.4 =252（千米）综合算式：

客车：

630 ÷ 14 × [630 ÷（630 ÷ 14+630 ÷ 21）] ] =45 × [630 ÷（45+30）] ] =45 × 8.4 =378（千米）货车：

630--378=252（千米）【分析 2 2 】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米..最后再求货车的行程..【解法 2 2 】客车每小时行多少千米？ 630 ÷ 14=45）（千米）两车几小时相遇？ 1 1 ÷((141＋211)= 8.4（小时）客车行了多少千米？ 45 × 8.4 =378（千米）货车行多少千米？ 630--378=252（千米）综合算式：

客车：（630 ÷ 14）× [1 ÷（141＋211）] ] =45 × [1 ÷425]=45 × 8.4 =378（千米）货车：

630--378=252（千米）析 【分析 3 3 】 因为“路程÷速度= = 时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即141∶211=3 ∶ 2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米..【解法 3 3 】客车与货车所行路程的比是 141∶211=3 ∶2 2 客车行了多少千米？ 630 ×[ [3 3 ÷﹙3 3 ＋2 2 ﹚] ] 8 =378）（千米）

货车行了多少千米？ 630 ×[ [2 2 ÷﹙3 3 ＋2 2 ﹚] ] =252）（千米）【评注】比较以上三种解法，解法 1 1 最繁，但其思维难度小，也最容易想到..解法 3 3 的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法..如果由分析 3 3 继续分析，运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米..例 例 10 一项工程，甲单独做 0 40 天完成，乙单独做 0 30 天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用7 27 天..求乙单独工作了多少天？ 【分析 1 1 】把全工 程看作“1 1 ”..先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数..最后用 7 27 天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天..【解法 1 1 】 乙共完成工程的几分之几？ 301× 27=109 甲完成了工程的几分之几？ 1 1--109= =101 甲乙合做了多少天？ 101÷401=4（天）乙单独做了多少天？ 27--4=23（天）综合算式：

27--（1 1--301× 27）÷401 =27--101÷401 =27--4=23（天）..【分析 2 2 】假设甲没有被调走，那么甲乙合做 7 27 天要超过全工程的（301＋401）× 27--1=4023..这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就是乙单独又做了几天..【解法 2 2 】甲乙的效率和是多少？ 301＋401= =1207 甲乙合做 7 27 天 完成工程的几分之几？ 1207× 27=4063 超过全工程的几分之几？ 4063--1=4023 乙单独工作了多少天？ 4023÷401=23（天）综合算式：

[ [（301＋401）× 27--1] ÷401 =[1207× 27--1] ÷401 =[4063--1] ÷401 ＝4023÷401=23（天）析 【分析 3 3 】 根据“甲乙合做的工作量+ + 乙单 独做的工作量= =总工作量”列方程解..【解法 3 3 】设乙单独工作了 x x 天..（301＋401）×（27--x x）+ +301x=1 1207× 27 －1207x x ＋301x x ＝1 1 x=23

一次函数应用题每天一题2

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“一题多解与一题多变”在培养学生说题能力中探索

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