几何画板数学实验案例

作者：jyq88 | 发布时间：2020-11-20 19:22:46 收藏本文下载本文

几何画板数学实验案例 ―― 圆锥曲线的判定【实验目的】在数学建模思想的指导下，根据圆锥曲线的定义和性质，利用几何画板实验的方法，反推验证所给曲线为椭圆、抛物线和双曲线，以培养学生自觉应用所学知识分析问题、解决问题的意识和能力。

【实验前提】 1.在几何画板中仅给定一条二次曲线（椭圆、抛物线和双曲线）2.预备知识：

圆锥曲线的定义和性质椭圆、双曲线的平行弦的中点轨迹过中心抛物线的平行弦的中点轨迹平行于对称轴的性质【实验设计】一、判定给定曲线为椭圆 1.找中心：如下图，作给定曲线（椭圆）的平行弦 AB和 CD 的中点，过两弦中点的直线交给定曲线于 E、F,作出弦 EF 的中点 O（椭圆中心）。

2.作顶点：以 O 为圆心，过 B 作圆，取此圆与给定曲线的一个交点 G, 连接 BG，分别过 O 作 BG 的垂线和平行线（长轴、短轴所在直线），分别取它们与给定曲线的一个交点 H、1（椭圆长轴、短轴的顶点之一）。

3.作焦点：以点 1（短轴的顶点）为圆心、线段 OH（半长轴）为半径作圆, 交直线 OH 于点 F i、F 2（椭圆焦点）。

4.验证为椭圆：在给定曲线上取点 M,度量|MF i |> |MF 2 |的距离，计算 |MF i |+|MF 2 |的值，拖动点M发现|MF i |、|MF 2 |的值在变化，|MF i |+|MF 2 I的值不变，满足椭圆的定义，所以给定曲线为椭圆。

二、判定给定曲线为抛物线 i.找顶点：如图，作给定曲线（抛物线）的平行弦 AB和 CD 的中点 E、F，连接 EF（平行于对称轴），过点 E 作 EF 的垂线，交给定曲线于 G、H 两点，作

出弦 GH 的中点 I,过 I 作 GH 的垂线（抛物线对称轴），交给定曲线于点 0（抛物线顶点）。

2.作焦点：作线段 EI 的中点 J，以 I 为中心将点 J 旋转 90°得点 K,连接EK,过顶点 O 作 EK 的平行线交给定曲线于点 L,过 L 作直线 LF（线段 LF 为通径之半）交对称轴 OI 于 F（抛物线的焦点，V|LF|/|OF|=2）o 以 O 为中心将点 F旋转 180°得点 N,过 N 作对称轴 OI 的垂线（抛物线准线）。

3.验证为抛物线：在给定曲线上取点 M,度量距离|MF|、M 到准线的距离d,计算|MF|/d 的值，拖动点 M 发现|MF|、d 的值在变化，MF/d 的值不变, 满足抛物线的定义，所以给定曲线为抛物线。

二、判定给定曲线为抛物线 1.找中心：如下图，作给定曲线（双曲线）的平行弦 AB和 CD 的中点, 过两弦中点的直线交给定曲线于 G、H,作弦 GH 的中点 O（双曲线中心）。

2.作顶点：以 O 为圆心过 B 作圆，在点 B的同支上取交点 I,连接 BI，过O 作 BI 的垂线（实轴轴所在直线），交给定曲线于两点 A i、A 2（两顶点）。

3.作虚半轴 b：取 BI与直线 A i A 2 的交点 J，分别过 B、A 2 作 A i A 2 的平行线和垂线，其交点为 L；以 A 1 A 2 为直径作圆，过点 J 作此圆的切线，设切点为 K，连接 OK,过 L 作 LM平行于 OK，交直线 AA 于 M，则 A 2 M 的长等于虚半轴 bo

1 OJ x 0 证明：设 B(x o , y o),在 RtAJKO 中，苗=OK = 亳因为 RtAJKO^RtALA 2 M, tan 3 = = 于所以呉_ 1 ~-tan 2 3 = 1 nMA 2 = b 所以 a 2 MA ； cos 2 3 2 4.作焦点：以 A ；为中心，将点 M 旋转 90°得点 N,以 O 为圆心过点 N 作圆交直线 A 1 A 2 于点 F i、F 2（双曲线焦点）。

5.验证为双曲线：在给定曲线上取点 M,度量|MF i |、|MF 2 |的距离，计算||MF I |-|MF ； ||的值，拖动点 M 发现|MF i |、|MF 2 |的值在变化，||MF I |-|MF ； ||的值不变，满足双曲线的定义，所以给定曲线为双曲线。