教案模板复数（共12篇）

第1篇：复数教案

2014年10月16日教案

教学课程

复数的有关概念

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学内容

1、复数的有关概念，由x^2+1=0，引进概念虚数 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

2、分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下。

3、复数相等的充要条件，对于复数 数 时，一定有，实部是，虚部是 ．注意在说复，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

4、复数的几何表示，①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．

②复数 而不是(用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当

(时，对任何，时，是纯虚数，所以纵轴上的点())都是表示纯虚数．但当 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

5、共轭复数的概念．要学生注意可以提一下当

于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 随即写几个例子

时的特殊情况，即实轴上的点关

时，与

互为共

6、“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

教学重难点

1．要注意知识的连续性：复数因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

是二维数，其几何意义是一个点，3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

第2篇：复数 复数与方程 教案

复数·复数与方程·教案

教学目标

1．掌握在复数集内解一元二次方程的方法；使学生掌握含有未知数的解法．

2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维．

3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．

教学重点与难点

个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程设计

师：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 生：因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}． 师：对．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 生1：当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为

师：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？

生3：无意义．此时方程的解集为

师：对．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当Δ≥0时有实根；当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．

例1 若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．

生2：因为|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9．

例2 已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值． 生：2x2＋rx＋s=0一根为2i-3，另一根为-3-2i．由韦达定理知： s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，r=2i-3+（-2i-3）=-6．

师：我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？

例3 求方程x2-2ix-5=0的解．

生1：将方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即x1=2+i，x2=-2+i．

师：通过这个例子大家想一想对于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至少有一个虚数）解是什么？ 生1：对原方程左端配方，得

师：b2-4ac一定是解负实数吗？

生2：不一定．a，b，c中至少有一个是虚数，所以b2-4ac∈C． 师：那么这个方程的解应该怎样表示．

生3：先求b2-4ac的平方根．设b2-4ac的平方根为z1，z2∈C．那么

师：对．一元二次方程的求根公式此时仍然适用．再提一个问题，当b2-4ac≥0时，方程的解都是实数吗？ 生1：是．

师：请问由此得出怎样的结论．

生3：当一元二次方程的系数中至少有一个虚数时，求根公式仍然适用，但判别式不再适用． 师：还有吗？

生4：韦达定理仍然适用． 师：系数不全为实数的一元二次方程中，判别式不再适用，说明“世界上的任何事物都是相对的而不是绝对的”这一辩证唯物主义观点．求解系数不全为实数的一元二次方程的步骤：

（1）求出Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；

练习解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i，因为-18i=（3-3i）2，则-18i的平方根为3-3i，-3＋3i． 所以 x1=1-2i，x2=2＋i为原方程解． 例4 解方程|z|+2z=2+4i．

师：解这个方程能用求根公式吗？

生1：不可以．此方程不是一元二次方程． 师：这类方程如何解呢？ 生：……

师：观察方程等号左端和左端．左端是一个虚数，实部、虚部都是已知的，右端是复数．两个复数相等的充要条件是什么？

生2：两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等． 师：这个方程左端能分离实部虚部吗？

师：怎样求z？

生4：求出a，b即可．

众生：不对！师：为什么？

师：含有|z|的复数方程，转化为无理方程组时，所求出方程组的解一定要代回原方程组验根． 例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解． 生1：方程有实根，判别式Δ≥0，从而解出m．

生2：这是一个系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式已不再适用． 师：对．那么方程有实根这一条件应如何用呢？ 生：……

师：设实根为x0，想到什么呢？ 生：分离复数的实部和虚部．

综上所述：

生1：设x=a＋bi．原方程转化为： a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．

所以 原方程的解为：x1=-3＋i或x2=1-i． 师：这位同学解题过程有问题吗？ 生2：设x=a＋bi（a，b∈R）．没有“a，b∈R”这一条件，上面的解法就无依据了． 师：我们一定要注意思维的严谨性．

师：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二项方程．任何一个二项高次方程都可以化成xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通过复数开方求根，在复数集内有且仅有n个复数根．

例6 在复数集内解方程： x4＋x2＋x2＋x＋1=0．

师：这个方程与二项方程有关系吗？

生：方程左端是等比数列．由等比数列前n项和公式得到x4＋x3＋

师：现在把原方程的求解问题转化为x5=1的求解问题，这就是数学中转化的思想．把未知问题向已知问题转化，从而使未知问题得到解决．

师：这个方程能转化为二项方程吗？ 生：……

师：|z|能计算出来吗？

生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1． 当|z|=0时，z4=z．解为z=0．

师：这节课我们研究了几类方程的解法？

生：这节课是研究在复数范围内解方程．主要类型有：（1）实系数一元二次方程；（2）系数不全为实数的一元二次方程；（3）含有|z|，师：解这几类方程应注意些什么？

生1：对于实系数一元二次方程：当Δ＞0时，方程有两个相异的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ＜0时，方程有两个共

生2：对于系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式不再适用，但求根公式，韦达定理仍然适用．在使用求根公式时，需先计算出Δ=b2-4ac的平方根．

法，根据复数相等的充要条件，转化为方程组，从而求出z．特别注意，在解无理方程时，一定要验根．另外，若方程有实根时，解决问题的方法类似．

生4：对于高次方程的解法，通常要转化为二项方程．在复数范围内解方程时，n次方程一定有n个根． 师：这节课通过复数范围内方程的求解过程，我们要进一步体会数学转化的思想、方程的思想的运用． 作业

1．P214：2，4；P217：16（1），（3），（5）；P218：20（2），（4）． 2．补充题：

（2）解方程：x2-4ix+5=0；

（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值． 补充题答案

（1）设z=a＋bi，a，b∈R．a2+b2-3ai-3b=1+3i，则

（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根为6i，-6i．

课堂教学设计说明

法．为了保持本教案的完整性将可化为二项方程的高次方程的解法也列入本教案，教学中可根据情况酌情处理．

本教案中学生答错的地方，带有一定的普遍性，应给予足够的重视．

本教案特别强调展示学生的思维过程，在教师的逐步引导下，诱导学生得出正确的结论，使学生有水到渠成的感觉．

第3篇：复数 概念 教案

复数 教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力． 教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．

②复数 用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当 时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数．但当 时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念

设，则，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．

教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时，与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

（二）教法建议

1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念 教学目标

1．了解复数的实部，虚部；

2．掌握复数相等的意义；

3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数． 教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件． 教学难点

用复平面内的点表示复数Ｍ． 教学用具：直尺 课时安排：1课时 教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2．复数相等

如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

相等的意义，得方程组：

例2：m是什么实数时，复数 ，(1)是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.解：

(1)∵ 时，z是实数, ∴ ,或.(2)∵ 时，z是虚数，∴，且

(3)∵ 且 时，z是纯虚数.∴

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．

4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用 表示．若，则： ；

（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称．

三、练习

四、小结：

1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业

第4篇：复数与几何教案

复数与几何·教案

教学目标

1．掌握复平面、向量等有关概念；弄清复数集C与复平面内所有的点组成的集合之间一一对应关系，以及复数与从原点出发的向量之间的一一对应关系；弄清复数模的几何意义．

2．通过数形结合研究复数，提高学生的数形结合能力，突出比较与类比的研究方法．

3．感受到为真理执着追求的精神．进行辩证唯物主义教育． 教学重点与难点

重点：复数与点与向量的对应关系以及复数的模．

难点：自由向量与位置向量的区别，以及它们与复数的对应关系． 教学过程设计

师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？ 生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）

师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？我们能不能像实数那样来表示复数呢？

生：数轴上的点不能表示虚数，只能表示实数．

师：那么用什么可以表示复数呢？注意复数是由a，b两个实数决定的，可以大胆设想一下，我们可以利用什么来表示复数？

生：可以用直角坐标系里的点来表示吗？ 师：××提出了一个想法，用直角坐标系内的点来表示复数．这种想法行不行呢？

（在黑板上画出直角坐标系，任取一点（a，b））师：能不能用点来表示复数呢？

生：可以．因为有一个复数a＋bi（a，b∈R），就有一个点（a，b），而有一个点（a，b），就有一个复数a＋bi．

师：他刚才所说的实际想说明一点复数集与坐标系中的点构成的集合是一一对应的．的确，由复数相等的概念，我们知道一个复数a＋bi由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的．因此我们完全可以建立复数集与点集之间的一一对应．看来，用点来表示复数是完全可以的．为了区别表示复数的点与其它的点，我们把这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．那么在这个坐标系中x轴上的点与y轴上的点所表示的复数分别具有什么特点呢？

生：x轴上的点的纵坐标为0，即复数的虚部为0，因此x轴上的点代表实数．

师：既然x轴上的点代表了所有实数，我们就把复平面中的x轴叫实轴．那么y轴上的点代表什么样的复数呢？

生：由于y轴上的点的横坐标都是零，因此y轴上的点表示的是纯虚数． 师：同学们认为他说得对吗？

（大多数同学认为他说得对，少数人有疑惑）

生：原点也在y轴上，但0不是纯虚数，而是实数．所以y轴上的点除原点外表示的都是纯虚数．

师：他说得很对．y轴上只有这个原点捣乱，不然就可以表示所有的纯虚数．因此，我们把去掉原点后的y轴叫虚轴．这样虚轴上所有的点都表示纯虚数．那么，直角坐标平面与复平面有什么区别？

生：直角坐标平面中的x轴与y轴交于原点，而复平面中的实轴与虚轴没有交点．

师：我们通过建立复平面，将复数集与复平面上的点建立了一一对应的关系，这样复数对我们来说，也就不显得那样遥远了．但对于复数的认可，在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它．看来复数从发现到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受他的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在．

（学生对数学史方面的知识很感兴趣，因为他们感到数学的发展是那样神秘，可以凭空造出数来，学生听得聚精会神，当最后得知是用点来表示复数这一理论使复数得以被人承认后，甚至还有些成就感）

师：用点表示复数后，我们还要介绍一种表示复数的方法，连接坐标原点O与点Z，得到一个具有长度且有方向的线段，这种既有大小又有方向的线段叫有向线段，而有向线段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 师：能不能举出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它们都是向量．

师：现在的问题是我们能不能用向量来表示复数？我们一般将起点为O，终点为Z的向量记作

．

生：当然可以．因为有一个向量就对应一个点，而有一个点就对应一个向量，而点与复数有一一对应的关系，因此可用向量表示复数．

（学生议论纷纷，看起来有不同意见）生：那我在复平面内任意画一个有向线段（大家在思考）

师：这个问题提得很好．实际上，大家可以想一想，刚才××同学说一个向量对应一个点，一个点对应一个向量，对不对？怎么样改一下就对了？ 生：应改为起点为原点的向量对应一个点，也就是起点为原点的向量与点构成一一对应．

师：既然这样，我们就知道，起点为原点的向量与复数是一一对应的．那其它向量怎么办？它们对应什么复数？能不能将他们移到原点来？，这个向量表示哪个复数呢？

生：只要它们的长度和方向与合的位置上．

相同，就可以平移到起点为原点，与 重师：实际上，我们把长度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其实，我们只要规定相等的向量对应同一个复数，我们就可以用向量来表示复数了．对那些起点不在原点的向量，我们只要怎么做就可以知道它所对应的复数了呢？ 生：只要将它们平移到起点与原点重合，这时向量终点所确定的复数就是那些起点不在原点的向量所表示的复数．

（教师给予肯定）

师：在这个正六边形中有多少对向量相等，它们分别对应着哪些复数？

师：这样我们完成了今天我们要讨论的第二个问题：复数与向量．我们弄清楚了向量可以来表示复数，相等的向量对应着同一个复数．一个复数所对应的向量唯一吗？

生：一个复数实际上可以对应无数个长度相等、方向相同的向量，只是这些向量的位置不同．

师：现在我们知道复数可以用点和向量来表示，它们之间的对应关系可以用下图来表示．

有了这种一一对应关系后，我们常把复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说成向量 ．

师：在用有向线段表示向量时，有向线段的长度我们定义为向量的模，即线段OZ的长度为向量的模．那么

可以表示复数z=a＋bi，那么的模可以表示复数的哪个量呢？在实数集中，一个数的绝对值的几何意义就是数轴上的点到原点的距离．在复数集中呢？

生：向量 的模就是复数的绝对值．

师：他的意思说出来了，但在复数中，我们一般不叫绝对值，叫复数的模．因此 的模就叫复数的模，只有复数为实数时，我们叫绝对值．那么复数的模具有什么样的几何意义？

生：复数的模的几何意义是表示复数的点到原点的距离．

（教师给予肯定，并指出复数模的几何意义与实数的绝对值的几何意义是统一的．）

师：复数的模用什么表示呢？

生：用实数集中绝对值的符号表示，z的模，记作|z|． 师：复数z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（学生板演）

师：我们知道复数一般不能比较大小，而复数的模是实数，可以比较大小．（将z1，z2所表示的点画在复平面上，再将它们所表示的向量画出来，强调这三者的转化）

例2 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原点距离为4的点． 师：这样的点构成一个什么图形？ 生：是原点为圆心，半径为4的圆． 师：是圆面还是只有边界的圆？为什么？

生：应该是表示只有边界的圆．因为与复数z对应的点Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即点Z到原点的距离为4．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆． 生：（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点Z到原点的距离，所以2≤|z|＜4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．

师：准确地说这个图形应当是半径为2与半径为4的圆构成的圆环内容及内边界．包不包括边界，主要是由原不等式中的等与不等决定的．

例3 用复数表示下图中的阴影部分．

生甲：|z|＜3且虚部＜-1．由于图中所示的点在半径为3的圆中，且纵坐标小于-1．

师：这种表示是否正确？（学生小声议论）

生：是两条直线．

师：夹在这两条直线中间又满足|z|＜3的点显然不仅仅是阴影部

（学生到黑板画出图）

师：因此刚才乙同学的想法是好在不满足于用一种方法表示，肯思考，但这个题无法用实部来表示．

（下面提问第2小题）生：|z|≥3，且实部≤-1．

生：不对．

师：看来用实部还是虚部表示，一定要全盘考虑，表示出来后，还要反过来检查一下是否符合题设条件．

（教师小结）

师：这节课我们共同探寻了复数的几何表示方法以及复数模的几何意义．要特别重视数与点与向量之间的对应关系，在研究的过程中要特别注意与实数的联系与区别．

补充作业

1．判断下列命题的真假，并说明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨迹．

4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．

作业答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原点为圆心，半径为3的圆；

（2）以原点为圆心，半径为3的圆面，不包括边界；

（3）以原点为圆心，半径为3和5的圆构成的圆环内部，包括外边界；（4）以原点为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分，不包括边界． 课堂教学设计说明

本节课是一节内容较为简单的概念课，但所涉及的知识内容，非常重要，它是学习复数的重要一环．

本设计着重突出主体性教学的原则，尽量做到让学生来发现复数的几何表示法，由实数自然地过渡到复数．本节课还将复数的点的表示与向量的表示集中在一节课处理，笔者认为这样有利于学生对复数几何意义的整体把握． 在教学中还注意通过数学史的故事，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心，并自然地将思想教育渗透到教学中．

第5篇：高中数学复数教案

高中数学复数教案

教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．

以及复数的运算法则

教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部

2．复数相等

如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数可用点 来表示．其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数

(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称． 6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。小结：

1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 3复数的四则运算的规律和方法。

第6篇：名词变复数教案

名词变复数 教 案

年级 六年级 授课教师 赵新存

教学 目标：正确进行可数名词的复数变形 教学重难点：掌握名词复数的变形 教学方法：问答法、讲授法 教学用具：多媒体，课件 教学过程： Step1.Warming-up: 1． T:How are you today? S :略 Step2.Lead-in: 一般来说，可数名词有单数、复数之分，表示“一个”时用单数，表示“多个”时用复数。其变化方式分为规则变化和不规则变化。一．名词变复数规则变化：

1、绝大多数的可数名词在词尾加上s ；

eg：book→books；desk→desks；pen→pens；car→cars

2.、以s、x、ch、sh结尾的单词，在该词末尾加上-es；

eg：bus→buses;box→boxes;watch→watchches;dish→dishes

3、以辅音字母+y结尾的名词，要把y变为i，再加-es；

eg：fly→flies;baby→babies;元音字母加y结尾的单词直接加s； eg：toy→toys；boy→boys；

4、以-f或-fe结尾的名词，要将-f或-fe变为-v，再加es；

eg：knife→knives；leaf→leaves；

5、以-o结尾的名词，初级阶段只有三个单词要加-es，其余都加-s；

eg：tomato→tomatoes西红柿;potato→potatoes土豆;hero→heroes

1 英雄;Negro—Negroes

口诀：“黑人英雄喜欢吃土豆和西红柿”

其余eg：zoo→zoos;piano→pianos； 二．名词变复数不规则变化：

1.单词内部发生变化：口诀―oo常常变ee，男人女人a变e‖ eg：foot→feet脚；tooth→teeth牙齿；man→men男人；woman→women女人；

2.单复数相同：―羊鱼小鹿无变化，单数复数是一家‖ eg：sheep→sheep绵羊；fish→fish鱼；deer→deer鹿；

3.不规则变化：child→children孩子；mouse→mice老鼠；German→Germans德国人；

4―某国人‖的复数有三种类型： 口诀“中日不变，英法变，其它S加后边”

（1）Chinese, Japanese单数复数同形，不需加s；

（2）Englishman, Frenchman, Dutchman（荷兰人）复数要把 man 变为men；

（3）其他各国人以–an,-ian收尾的均直接加s。如：Americans, Australians.Step3:Practise: 写出下列名词的复数形式

1、orange

2、cla

3、text

4、monkey

5、piano

6、child

7、shelf

8、bed

9、country

10、family

11、toy

12、foot

13、Japanese

14、radio

15、photo

16、army

17、tomato

18、fox

19、woman

20、knife

22、sheep Step4:summary

2 名词单数变复数口诀(一)规则变化

名词单数变复数，直接加-s 占多数；

s, x, ch, sh 来结尾，直接加上-es；

词尾是 f 或 fe，加-s 之前先变 ve；

辅母 + y 在词尾，把 y 变 i 再加-es；

词尾字母若是 o，常用三个已足够，要加-es 请记好，hero, tomato, potato。(二)不规则变化

男人女人 a 变 e，鹅足牙 oo 变 ee；

老鼠虱婆也好记，ous 变 ic；

孩子加上 ren，鱼鹿绵羊不用变。

第7篇：复数·复数的开方

复数·复数的开方·教案

复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

（二）探求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根，并推导开方公式 师：（提出课题）求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？ 生：我认为有n个．

师：这只是预测，这要通过求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．

复数n次方根的意义：如果xn=z（n∈N＋，z∈C），那么x叫做z的n次方根． 因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．

师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？

由上面分析可知，复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根仍是复数，设它为ρ（cosφ+isinφ），那么这两个复数有什么联系呢？

生：r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n（n∈N＋）． 师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和φ． r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n=ρn（cosnφ+isinnφ）． ①

这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？

生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍． 师：由①式可得

由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？

生甲：用公式解题．

生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识． 师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用． 对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．

公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．

个虚数根．

进一步深化对复数r（cosθ＋isin θ）的n次方根的认识．提出以下问题： 师：问题1 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有几个，它们的模等于什么？

师：问题2 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根的几个辐角有什么规律？ 学生讨论，教师归纳总结．

解题后思考以下问题：

（1）1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？

1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有

（2）方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？（因式分解法，本节不展开）

（四）小结

由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它们的对应点在复平面内是以原点为圆心，（五）作业

1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题． 2．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 [ ]．

课堂教学设计说明

本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．

1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．

2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．

3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．

第8篇：复数

1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加

4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos，6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→deer, mouse→mice.7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：

9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book

名词复数：）~~

英语中名词可分为可数名词和不可数名词。可数名词在应用时有单数和复数形式。表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。

1.规则变化：

1)一般在名词词尾加s，① map—maps地图，bird—birds鸟，orange—oranges 桔子，bike—bikes自行车；

2)以s, x, ch, sh结尾的名词加es，① box—boxes盒子，cla—claes班级，watch—watches手表，dish-dishes盘，碟子，餐具；

3)以O结尾的名词后面加s或es

① photo—photos相片 radio—radios收音机 zoo—zoos动物园

tomato—tomatoes西红柿 potato—potatoes土豆

4)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es ① baby—babies婴儿 family—families家庭；

以元音字母加y结尾的名词直接加s ① boy—boys男孩 toy—toys 玩具；

5)以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves ① knife—knives小刀

wife—wives妻子

leaf—leaves树叶。，二：名词复数的不规则变化

1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women

注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。

如： an Englishman，two Englishmen.但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。

2）单复同形 如：

deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin

但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars;a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。

如： people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说

a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swi 等名词，表示国民总称时，作复数用。

如： The Chinese are industries and brave.中国人民是勤劳勇敢的。

4）以s结尾，仍为单数的名词，如：

a.maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。

b.news 是不可数名词。

c.the United States，the United Nations 应视为单数。

The United Nations was organized in 1945.联合国是1945年组建起来的。

d.以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。

"The Arabian Nights" is a very interesting story-book.>是一本非常有趣的故事书。

5)表示由两部分构成的东西，如：glaes(眼镜)trousers, clothes

若表达具体数目，要借助数量词 pair(对，双);suit(套);a pair of glaes;two pairs of trousers

6）另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。

读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。例：friend→friends;cat→cats;style→styles;sport→sports;piece→pieces

二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。例：bus→buses;quiz→quizzes;fox→foxes;match→matches;flash→flashes

三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。 读音变化：加读[z]。例：candy→candies;daisy→daisies;fairy→fairies;lady→ladies;story→stories

四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。 读音变化：加读[z]。例：tomato→tomatoes;potato→potatoes;torpedo→torpedoes;bingo→bingoes 反例：silo→silos;piano→pianos（外来词）;photo→photos;macro→macros（缩写词）

五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。 读音变化：尾音[f]改读[vz]。例：knife→knives;life→lives;leaf→leaves;staff→staves;scarf→scarves 反例：roof→roofs

六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。 读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti

七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。 读音变化：尾音[is]改读。例：axis→axes;basis→bases;naris→nares;hypothesis→hypotheses;restis→restes

八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。 读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。例：matrix→matrices;directrix→directrices;calix→calices;appendix→appendices 反例：affix→affixes

九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。 读音变化：去掉鼻尾音[m]。例：forum→fora;stadium→stadia;aquarium→aquaria;datum→data;vacuum→vacua

十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。 读音变化：尾音[E]改读。例：larva→larvae;formula→formulae;ala→alae;media→mediae;hydra→hydrae 十

一、部分单词的复数形式不变。 读音变化：保持原音。

例：fish→fish;sheep→sheep;cattle→cattle;deer→deer;salmon→salmon

十二、极少数单词，其复数形式没有任何规律。 读音变化：没有规律。例：man→men;woman→women;child→children;person→people;ox→oxen

十三、一些单数词得加en才能变成复数词： 例：ox→oxen;child→children;brother→brethren 十

四、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词

例：analysis→analyses分析;basis→bases基础;datum→data数据;foot→feet;formula→formulae/formulas公式;goose→geese;louse→lice虱子;man→men mouse→mice;medium→media/mediums媒介;memorandum→memoranda/memorandums备忘录;parenthesis→parentheses 圆括号;phenomenon→phenomena现象;radius→radii 半径 tooth→teeth;woman→women

十五、有些名词是单数、复数不分的 例：deer;fish;cannon;sheep;salmon 鲑鱼;trout 鳟鱼

十六、一些名词虽分单数、复数，但出现次数多的总是单数词

例：abscence;clothing;film;help;furniture家具;machinery机械;news;scenery风景;sugar;traffic交通

十七、另一些名词则以复数词出现的机会较多

例：bellows风箱;clothes;police;shorts短裤;sciors剪刀;spectacles眼镜;shears大剪刀 trousers长裤;wages工资

十八、compound nouns，这类复数词是以主要的名词来表示 例：daughter-in-law→daughters-in-law 媳妇;father-in-law→fathers-in-law岳父 man-of-war→men-of-war兵舰;maid-servant→maid-servants step-son→step-sons晚子;son-in-law→sons-in-law

十九、若表达具体数目，要借助数量词

例：pair(对，双);suit(套);a pair of glaes;two pairs of trousers 二

十、另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，例：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

二十一、除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。

例：a dollar, two dollars;a meter, two meters

以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词如：heroes,potatoes,tomatoes,echoes,tornadoes,torpedoes,dominoes,vetoes,mosquitoes,Negroes,mangoes,buffaloes,volcanoes 但下面几类词只加s：1.以“元音+o”或“oo”结尾的词如:videos,radios,studios,folios,oratorios,embryos,zoos,bamboos,kangaroos,taboos 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos,solos,concertos,tobaccos,mottos,cellos 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos,memos,micros,Eskimos,Filipnos 有个别词加两种词尾都可以，如：archipelago(e)s,halo(e)s,cargoes(英），cargos(美）

名词单数变复数规则

「速记口诀」

单数变复数，规则要记住，一般加s，特殊有几处： /s/结尾，es不离后，末尾字母o，大多加s，两人有两菜，es不离口，词尾f、fe，s前有v和e；

没有规则词，必须单独记。

第9篇：复数的几何意义教案

课题：复数的几何意义

学校

姓名

一、教学目标：

（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义（2）会利用几何意义求复数的模；（3）能够说出共轭复数的概念

二、教学重点、难点：

重点：复数的几何意义以及复数的模 难点：复数的几何意义及模的综合应用

三、教学方法：

本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义和复数的模公式。

四、教学过程：

（一）课题引入 实数的几何意义

1.提问：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示

 数轴上的点 实数 (数)(形)

（二）新知探究

探究一：复数的几何意义

思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？ 问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？（教师提出问题，学生思考，进行小组讨论）。

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数的几何意义。

思考2：平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？

一一对应

通过思考2，让学生能够把复数和位置向量相结合，从而推导复数的另一个几何意义。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

一一对应一一对应复数 复平面内的点 平面向量

（数）（形）

建立了平面直角坐标系来表示------复数平面(简称复平面)x轴------实轴 y轴------虚轴 小结：复数的几何意义：

1复数与复平面内的点是一一对应的 2复数与复平面内向量oz一一对应的 复平面的有关概念介绍 1复平面

2实轴 表示实数

3虚轴 除原点外都是纯虚数 探究二：复数的模

思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗? 复数z=a+bi(a，b∈R)的模：|z|=OZ= 共轭复数：

（三）典型例题 例1．辨析

下列命题中的假命题是（）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。变式（或跟踪）训练

1．“a=0”是“复数a+bi(a , b∈R)是纯虚数”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件

(C)充要条件(D)不充分不必要条件

2．“a=0”是“复数a+bi(a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件

(C)充要条件(D)不充分不必要条件

例2．已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围

方法总结：表示复数的点所在象限的问题 转化 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题

(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想

变式（或跟踪）训练：

1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴m=1或m=-2。

2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

（四）拓展提升

探究

三、复数的模 的几何意义: 对应平面向量 的模| Z|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

（五）归纳小结

1、复数几何意义

2、复数模的几何意义

3、数学思想方法：类比、数形结合五、作业布置 1.书面作业： 2.探究性作业：思考：

(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

（2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

六、教学反思

七、超级链接

1、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i

13i，试比较它们模的大小 2

23、若复数Z=4a+3ai(a

2、已知复数Z1=3-4i，Z2=4满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

5、复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.6.设Z为纯虚数，且z11i，求复数Z

7、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z

第10篇：《人琴俱亡》教案模板学习目标：

1、疏通文意，明确文言实词、虚词在文中的意思。

2、感受文章的内容，体会人物的心情和个性特点，感受兄弟亲情。

一、课堂学习

1、你认为课文中哪些语句最能表达子猷与子敬的兄弟之情？“弦既不调”说明了什么，你理解“人琴俱亡”的含义了吗？

2、王子猷是一个怎样的人？你喜欢这个人物吗？

3、课文描写子猷先是“了不悲” “都不哭”，后又写他“恸绝良久”，他前后的表现是否矛盾？为什么？

二、课外拓展：结合材料探究魏晋风度

材料一：《伤逝十二》郗嘉宾(郗超)丧,左右白郗公:“郎 丧”既闻不悲,因语左右:“殡时可道。”公往临殡,一恸几绝。

材料二：《雅量谢公》东晋名相谢安的侄子在前线与八十万秦兵作战，这一战关乎国家危亡，大胜后派人急来报捷。谢安当时正与客人下棋，看完后若无其事的继续与客人慢慢下棋，客人问起也只淡淡地说小儿辈破大敌了。——这一战关系到国之兴亡、家之存绝，谢安不可能真的无动于衷，只是越是激动的重要时刻越平静，才是超脱的风度。

明确：《人琴俱亡》是《世说新语伤逝》第十六篇，结合其余十八篇来看，《人琴俱亡》作为其中一篇还是较为集中的体现了魏晋时期文人士大夫的某种思想性格特点及其文化特征——在任由性情、不拘矩度、注重情感的个性表达的同时，还故作旷达追求一种超脱的风度，魏晋风度。所以子猷的不悲不哭正好体现了魏晋时代士人独特的思想情感追求——他们注重真性情，追求个性的自由飞扬，同时又力求能摆脱世俗的一切利害得失、荣辱毁誉，寻求一种超然的风度。为此，尽管子敬很悲痛，却还是要强自抑制。

阅读下面的文言文，完成题目。

（甲）王子猷、子敬俱病笃，而子敬先亡。子猷问左右：“何以都不闻消息？此已丧矣。”语时了不悲。便索舆来奔丧，都不哭。

子敬素好琴，便径入坐灵床上，取子敬琴弹，弦既不调，掷地云：“子敬子敬，人琴俱亡。”因恸绝良久。月余亦卒。

（乙）魏武将见匈奴使，自以形陋，不足雄远国，使崔季硅代，帝自捉刀立床头。既毕，令间谍问曰：“魏王如何？”匈奴使答曰：“魏王雅望非常；然床头捉刀人，此乃英雄也。”魏武闻之，追杀此使。

1、给下列字注音

猷()笃()恸()舆()

2、解释加点词的含义。

王子猷、子敬俱病笃（）（）子敬素好琴（）

何以都不闻消息（）（）此乃英雄也（）

3、用现代汉语疏通下列句子的意思，加点字的意思要力求译准。

（1）语时了不悲。

译文：____________________________________________________________

（2）便索舆来奔丧。

译文：____________________________________________________________

（3）便径入坐灵床上。

译文：____________________________________________________________

（4）因恸绝良久，月余亦卒。

译文：____________________________________________________________

4、曹植有一首《七步诗》，和（甲）文都是写 的，请你把它工整地写在下面。

5、（甲）（乙）两文都选自《世说新语》，（乙）文中的魏武就是曹操。文中的他是怎样的形象？

第11篇：初中英语名词单复数教案

名词单复数教案

名词可分为可数名词和不可数名词

可数名词：可以用来计数的名词，有单数和复数形式，如：desk-desks, apple-apples等

不可数名词：不可以直接用来计数的名词，没有复数形式，只有单数形式，如：some bread，a little milk等

一、可数名词

1.可数名词复数的规则变化

1）一般名词变复数在其后面加s,如map→maps(地图)2）以s，x，sh，ch等结尾的词加es，如bus→buses（公共汽车），watch→watches（手表）,box→boxes,dish→dishes（盘子）

3）A.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i，再加es，如baby→babies（婴儿）

B.以元音字母＋y结尾的词，直接加s，如monkey→monkeys（猴），holiday→holidays（假期），storey→storeys（楼层）；

注意：以y结尾的专有名词变复数时，直接加s，如：two Marys, the Henrys 4）以o 结尾的名词变复数时：

A.表示无生命的加s, 如photo→photos(照片)，piano→pianos（钢琴），radio→radios（收音机），zoo→zoos（动物园）

B.表示有生命的加es，如hero→heroes(英雄)，potato→potatoes（土豆），tomato→tomatoes（西红柿）巧记:英雄爱吃土豆炖西红柿。特殊：zero→zeros / zeroes。5）以f或fe结尾的名词变复数时：

A.变f，fe 为v，再加es，如 half→halves（一半），knife→knives（刀子），wife→wives（妻子），life→lives（生命）巧记：小偷(thief)的妻子(wife)用刀子(knife)和树叶(leaf)把狼(wolf)劈成两半(half)。

B.加s的名词有： belief→beliefs（信念），roof→roofs（屋顶）特殊：如handkerchief→handkerchiefs / handkerchieves。

Practice: 1.They come from different ______ A.country

B.countries

C.a country

D.countrys 2.How many ______ do you see in the picture?

A.tomatos

B.tomatoes C.tomato

D.the tomato 3.There are some ______ in these _______.A.knifes…pencil-boxes

B.knives…pencils-box

C.knives…pencil-box

D.knives…pencils-boxes 4._______ are good for our health.A.Tomatos

B.Tomatoes

C.Tomato 5.I like to eat cake with ______.A.cherries

B.cherry

C.cherrys 6.______ and ______ are not friends.A.Foxs…wolfs

B.Foxes…wolfs

C.Foxes…wolves 2.可数名词复数的不规则变化

1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice

man---men woman---women goose---geese(鹅)注意：1）由一个词加 man 或 woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women，如an Englishman，two Englishmen，因为German不是合成词，故复数形式为Germans；由man 或 woman构成的复合名词变复数时，两个名词需要同时变为复数形式，如 woman teacher-wowen teachers, man doctor-men doctors 2）单复同形，如deer，sheep，fish，Chinese，Japanese，jin，yuan，mu等。除人民币的元、角、分外，美元、英镑等都有复数形式。如：two dollars, two pounds。3）表示“某国人”的复数变化规则

巧记：中日瑞士都不变，英法变，其他后面加s.Chinese→Chinese，Japanese→Japanese，Swi→Swi；Englishman→Englishmen，Frenchman→Frenchmen；German→Germans,Canadian→Canadians 4）“数词+名词”作定语时，这个名词保留单数形式, 要用连字符连接，例如：

two-dozen eggs 两打鸡蛋 a ten-mile walk 十英里路 two-hundred trees 两百棵树 a five-year plan.一个五年计划

Practice: 1.They are______.A.woman teachers

B.women teachers

C.women teacher

D.woman teacher 2.Would you like _______ ,please?

A.two gla of water

B.two glaes of water

C.two gla of waters

D.two glaes of waters 3.Most of ______ live in _______.A.Germans, German

B.German, Germen

C.Germen, Germany

D.Germans, Germany 4.These are the ______ of our national ______.A.photos … heroes

B.photoes … heroes

C.photos … heros 5.The ______ are running on the ______.A.deer … graes

B.deers … gra

C.deer … gra 6.I was so hungry and I ate two ______.A.bowls of noodle

B.bowls of noodles

C.bowl of noodles

要注意的问题：

1）以s结尾，仍为单数的名词，如：

a.maths，politics，physics等学科名词，一般是不可数名词，为单数。b.news 为不可数名词。

c.the United States，the United Nations 应视为单数。2）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。例如：

people，police，cattle 等本身就是复数，后面谓语动词用复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说a person，a policeman，a head of cattle 3）只有复数形式的名词 trousers裤子，pants裤子，shorts短裤 glaes眼镜，compaes圆规，scales天平，pliers钳子，clips剪子。traffic lights交通灯（一般有三盏，这样理解）sports（运动），做主语时，谓语动词用复数

4）the+ 姓氏复数表示一家人，如: The Greens like playing tennis.5）另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼。

6）名词所有格

1）一般情况下，单数名词的所有格是在词尾直接加"'s"，如the boy's bag 男孩的书包；复数名词词尾没有s，也要加"'s"，如men's room 男厕所；若名词已有复数词尾-s，只加" ' "，如：the workers' desks工人的桌子。

2）表示两人或多人共同拥有某物时，只需在最后一个名词词尾加’s；表示两人或多人分别拥有时，各个名词词尾都需加’s John's and Mary's rooms（两间）

John and Mary's room（一间）3)表示时间，距离，国家，团体等无生命的东西的名词，也可+’s , 如，nine hour’s walk yesterday’s work 4)有些名词所有格表示诊所，家，店铺

如，at the doctor’s at Mary’s at the barber’s 5)无生命的名词所有格一般用of构成 如，a map of China the name of the city Practice: 1.______ like ______ by air.A.Greens, travelling

B.The Green, traveling

C.The Greens, travel

D.The Greens, traveling 2.I wonder why ______ are interested in action films(武打片).A.the people

B.people C.peoples

D.the peoples 3.There is no ______ in the plate.A.apples

B.oranges

C.rice

D.eggs

二、不可数名词

1）常见的不可数名词：advice, hair, homework, work，information, knowledge, money, news, progre，health，time，baggage(行李), change(零钱), furniture（家具）

2）不可数名词如何表示数量：通常用"数词+单位词+of"来表示。如： a piece of paper, three pieces of paper等。

a piece of bread（paper(纸), cloth(布), news(新闻), advice(意见), information(信息), , meat(肉)）

a cake of soap 一块肥皂 a tube of tooth paste 一条牙膏 a bottle of ink 一瓶墨水 当单位词可数，且前面的数词大于一时，单位词需要用复数形式，如two bottles of water 两瓶水 two pieces of paper 两张纸

3）有些物质名词单复数形式表示不同含义, 如，fruit 水果----fruits各种各样的水果，gla 玻璃----glaes眼镜，玻璃杯，paper 纸----papers 报纸；论文；试卷（a daily paper 日报），coffee 咖啡----four coffees四杯咖啡

可数名词和不可数名词的主谓一致问题：

1）可数名词作主语时，谓语动词的单复数与主语的单复数保持一致。如：

These pictures are very beautiful.这些画很美。

2）不可数名词作主语时，谓语动词要用单数形式，但是不可数名词前有复数"单位词"时，谓语动词要用复数形式。如：

Two cups of tea are on the table.桌上有两杯茶。

真题重现：

第12篇：高考数学回归课本教案：复数

高考数学回归课本教案

整理：卢立臻 第十五章 复数

一、基础知识

21．复数的定义：设i为方程x=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ

iθ

iθ称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：

z1（1）z1z2z1z2；（2）z1z2z1z2；（3）zz|z|；（4）z22z1；（5）z2（6）||z1z2||z1||z2|；22

22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，则z4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z20,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θz2r22)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e

i(θ1+θ2)，z1r1i(12)e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.开方：若wr(cosθ+isinθ)，则wnn

r(cos2knisin2kn)，k=0,1,2,„,n-1。

-1[cos(2)isin(2)]ncosn(2)isin(2)cos(2n)isin(2n)，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。4．二项式定理的应用。

02410013599例5 计算：（1）C100；（2）C100 C100C100C100C100C100C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2，=1002505050

由二项式定理(1+i)=)+（***00C100C100iC100iC100iC100i024100(C100C100C100C***9)i，比较实部和虚部，得C100=-2，C100C100C100C100C100C100C10013599=0。C100C100C100C1005．复数乘法的几何意义。

例6 以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,CAz1a,BAz1a，由复数乘法的几何意义得：CNz3ai(z1a)，①BMz2ai(z1a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=

z2z3ai,为2定值，所以MN的中点P为定点。

例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。

[证明] 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥|A-C|•|B-D|, “=”成立当且仅当Arg(BABCDABC)Arg()，即Arg()Arg()=π，即A，B，C，D共圆DACDBADC时成立。不等式得证。6．复数与轨迹。

例8 ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。

[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x26(y).3所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。7．复数与三角。

例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[证明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则

-3[证明] 以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取Q三角形；又由C-Q=i(B-Q)得

CiB，则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角1iDAQi(Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直ii角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。

例14平面上给定ΔA1A2A3及点p0，定义As=As-3,s≥4，构造点列p0,p1,p2,„,使得pk+1为绕0中心Ak+1顺时针旋转120时pk所到达的位置，k=0,1,2,„,若p1986=p0.证明：ΔA1A2A3为等边三角形。[证明] 令u=ei3，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得

22p6=w+p3=2w+p0,„,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明ΔA1A2A3为正三角形。

三、基础训练题

221．满足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-

100=__________。z3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)•z是纯虚数，则z__________。4．已知z213i，则1+z+z+„+z

2199

2=__________。

5.设复数z使得z1的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是__________。 z266．设z,w,λ∈C,|λ|≠1，则关于z的方程z-Λz=w的解为z=__________。

1x1x2arcsin__________。7.设0

29．若a,b,c∈C,则a+b>c是a+b-c>0成立的__________条件。

2210．已知关于x的实系数方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是__________。

211．二次方程ax+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。12．复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z0≠0，且满足方程|z1-z0|=|z1|，①另一个动点Z对应的复数z满足z1•z=-1，②求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。

13．N个复数z1,z2,„,zn成等比数列，其中|z1|≠1，公比为q,|q|=1且q≠±1,复数222222

|z1||z2||z3|1,zzz13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足1231,求

z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。

三、联赛一试水平训练题 1．已知复数z满足|2z1|1.则z的辐角主值的取值范围是__________。z2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，复数z,(1+i)z，2z在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为__________。3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,„,z20,则复数1995z1,z1995,,z1995220所对应的不同点的个数是__________。

4．已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为__________。5．设w130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，∠AOB=90，i，22|AO|=|BO|，则ΔOAB面积是__________。6．设wcos5isinm5n，则(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展开式为__________。

3797．已知(3i)=(1+i)(m,n∈N+)，则mn的最小值是__________。

8．复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z1•z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__________。63i7)1]n的值中有实数__________个。29.当n∈N,且1≤n≤100时，[(10．已知复数z1,z2满足

z2z17，且Argz1，Argz2，Argz3，则

368z1z2Argz1z2的值是__________。z318

4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，问：集合C中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A的模为1，那么方程(1ixn)A的所有根都是不相等的实根（n1ix∈N+）.13.对于适合|z|≤1的每一个复数z，要使0

六、联赛二试水平训练题

《复数》复习案

复数教学设计

高二复数知识点精品

复数的概念优秀说课稿

复数几何意义以及运算公式