高中数学教学设计与案例分析 复数的概念

课程名称：数学教学设计与案例分析

任课教师：陈建强

开设时间：2020-2021第一学期

专 业：数学与应用数学专业

年 级：2018级

学生姓名：李瑶

学 号：2018010520

课题题目：7.1复数的概念

成 绩：

哈尔滨师范大学

二〇二〇年十二月

课题:§7.1复数的概念

一、教材内容解析

复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识。复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用。复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b)。复数本质上是一对有序实数，因此与利用数轴表示实数类似，可以借助建立了直角坐标系的复平面来表示复数。x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数，y轴叫做虚轴，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数。利用复平面表示复数，可以直接得到复数的两种几何意义：复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的。在引入复数的代数形式时，教科书从复数z=a+bi（a，b∈R）本质是一对有序实数对（a，b）出发，基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标，因此，复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的；基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，因此复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的。复数与以原点为起点的平面向量是一一对应的，于是用复数对应的向量的模定义复数的模.依据复数的模的定义，实数的模与实数的绝对值是一致的。熟练地求复数的模是复数代数运算和复数三角形式表示的基础。利用几何直观引入共轭复数，更多地关注互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称这一几何性质，提升学生的逻辑推理、直观想象素养，激发学生的求知欲望和好奇心。

二、教学目标解析：

(1)知识技能目标:

1、了解引入复数的必要性；

2、了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；

3、理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义；

4、理解复数的几何意义；

5、在复平面内表示满足一定条件的复数。

(2)过程与方法目标:

1、通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用；

2、通过自主探索，让学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用；

3、通过归纳总结，学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题；

4、通过与平面直角坐标系上的类比，在复平面上能够准确地表示复数（画出复数对应的点和向量），能准确地对复平面、实轴、虚轴、共轭复数等定义进行辨析；

5、能利用所学知识求复数的模，能在复平面内画出复数的模刻画的一些常见几何图形——圆、圆形区域和环状区域等。

(3)情感、价值观目标:

1、通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力；

2、培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性，创造性，科学性的批判性；

3、激发起学习数学的兴趣，在民主开放的课堂氛围中，提高分析解决问题的能力；

4、让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生学习兴趣。

三、学情分析

学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程x2-2=0的解这样的问题等），因此当遇到像x2+1=0这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使x2+1=0方程有解。学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能。

四、教学重点 从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念；

复数的几何意义和在复平面内表示复数。

教学难点 复数的引入，理解复数引入的必要性以及复数与复平面和向量的一一对应关系。

五、教学方法及策略选择

运用探究发现、类比研究、小组合作、多媒体辅助教学

六、教学程序设计

七、目标检测设计（形成性评价）

1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件

2.当实数m取什么值时，复数z=（m2-3m-4）+(m2-5m-6)i是下列数？

（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.

3.求适合下列方程的实数x与y的值：

（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；

（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．

4.在复平面内描出表示下列复数的点.

（1）2+5i；（2）-5+2i；（3）-2-5i；（4）5-2i.

5.在复平面内描出表示下列复数对应的向量，并求这些复数的模.

(1)2+i ；（2）-5i；（3）4;(4)$$\frac{3}{2}-4i$$

6.当实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m2-8m+15）+(m2-5m-14)i的点分别满足下列条件？

（1）位于第一象限或第三象限；（2）位于直线y=x上

设计意图：

讲练结合让同学们能够更加理解及更好地运用本节所学解决问题；让同学知道本节课学到了什么知识和思想，然后师生共同总结得到共识；

1.考查学生对复数概念的理解，对复数基本概念和复数相等含义的理解,利用两个复数相等的含义解决简单数学问题；

2.对复数几何意义的理解,能够熟练地计算复数的模。

八、教学路线图

创设情境

创设两个问题情境，通过与其他几个函数的解的数系对比发现一新的数系，为复数学习做铺垫

历史回顾

通过介绍数学史上有关复数的发展历史，认识到复数在解决数学问题上的重要性

教师引导，与学生一起阅读教材，探究归纳总结复数的概念，形成初步感知

呈现定义

概念教学

对实部a，虚部b的取值进行讨论，加深对定义的理解，并利用三个练习，深化复数的概念

探究性质

利用5个问题引导学生探究出复数的的几何意义

例课讲解

通过例题深化学生对数系的扩充与复数概念及其几何意义的理解

小结巩固

总结知识，回顾研究思路，参透科学研究的一般方法

九、设计说明（指出教学设计是否对参考教材内容进行了修改，教学顺序以及例习题是否进行了增删，并说明理由）

本节教学设计对参考教材内容进行了部分修改，教学顺序未做改变，例题未进行增删，练习题部分删掉了P70的第二题以及P73的练习。

理由：本节课教材内容安排循序渐进，由浅入深，故教学顺序未做改变但增添了复数的数学史部分，让学生认识到复数在解决数学问题上的重要性，更好的引起学生的学习兴趣；例题经典且具有代表性有利于学生理解并应用所学内容因此未做删减；练习题部分由于课上时间有限，无法全部完成，故删去了P70的第二题以及P73的练习留作课后作业，其他习题作为课堂练习巩固所学知识。

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