高考数学选择题填空题答题技巧

高考数学选择题答题技巧 题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 例 1 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则 f(99)等于()A．13 B．2 C.132 D.213 思维启迪：先求 f(x)的周期． 解析 ∵f(x＋2)＝13f(x)，∴f(x＋4)＝13f(x＋2)＝1313f(x)＝f(x)． ∴函数 f(x)为周期函数，且 T＝4.∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13f(1)＝132.题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”． 例 3 已知非零向量 a＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，给出下列条件，①a＝kb(k∈R)； ②x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝|a||b|；⑤x 2 1 y 2 2 ＋x 2 2 y 2 1 ≤2x 1 x 2 y 1 y 2.其中能够使得 a ∥ b 的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4 解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当 λ≠ 12 时，整理得 a＝λ＋32λ－1b，故 a∥b，当 λ＝ 12 时也可得到 a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为 θ，则由 a·b＝|a||b|cos θ，可知 cos θ＝1，从而 θ＝0，所以 a ∥ b；⑤是正确的，由 x 2 1 y 2 2 ＋x 2 2 y 2 1 ≤2x 1 x 2 y 1 y 2，可得(x 1 y 2 －x 2 y 1)2 ≤0，从而 x 1 y 2 －x 2 y 1 ＝0，于是 a ∥ b.题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论． 例 4(2009·海南)用 min{a，b，c}表示 a，b，c 三个数中的最小值．设 f(x)＝min{2 x，x＋2,10－x}(x≥0)，则 f(x)的最大值为()A．4 B．5 C．6 D．7 思维启迪：画出函数 f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂． 解析 由题意知函数 f(x)是三个函数 y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图象的最高点． 变式训练函数 y＝|log 12 x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度 b－a 的最小值是()A．2 B.32 C．3 D.34 解析 作出函数 y＝|log 12 x|的图象，如图所示，由 y＝0 解得 x＝1；由 y＝2，解得 x＝4 或 x＝ 14.所以区间[a，b]的长度 b－a 的最小值为 1－14 ＝34.题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．

（（1）特殊值 例 例 6、若 sinα>tanα>cotα(2 4  )，则 α∈（）A．(2，4)B．（4，0）C．（0，4）D．（4，2）解析：因2 4  ，取 α=－6π代入 sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除 A、C、D，故选 B。

例 例 7、一个等差数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则它的前 3n 项和为（）A．－24 B．84 C．72 D．36 解析：结论中不含 n，故本题结论的正确性与 n 取值无关，可对 n 取特殊值，如 n=1，此时 a 1 =48,a 2 =S 2 －S 1 =12，a 3 =a 1 +2d= －24，所以前 3n 项和为 36，故选 D。

（（2）特殊函数 例 例 8、如果奇函数 f(x)是[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区间[－7，－3]上是（）A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 解析：构造特殊函数 f(x)=35x，虽然满足题设条件，并易知 f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为 f(-3)=-5，故选 C。

例 例 9、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数，设 a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（）A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③ 解析：取 f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选 B。

（（3）特殊数列 例 例 10、已知等差数列 { }na 满足1 2 1010 a a a   ，则有（）A、1 1010 a a   B、2 1020 a a   C、3 990 a a   D、5151 a  解析：取满足题意的特殊数列 0na ，则3 990 a a  ，故选 C。

（（4）特殊位置 例 例 11、过)0(2  a ax y 的焦点 F 作直线交抛物线与 Q、P 两点，若 PF 与 FQ 的长分别是 q、p，则  q p1 1（）A、a 2 B、a 21 C、a 4 D、a4 解析：考虑特殊位置 PQ⊥OP 时，1| | | |2PF FQa ，所以1 12 2 4 a a ap q   ，故选 C。

例 例12、向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是()解析：取2Hh ，由图象可知，此时注水量 V 大于容器容积的12，故选B。

（（5）特殊点 例 例 13、设函数()2(0)f x x x   ，则其反函数)(1x f的图像是（）A、B、C、D、解析：由函数()2(0)f x x x   ，可令 x=0，得 y=2；令 x=4，得 y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数 f－ 1(x)的图像上，观察得 A、C。又因反函数 f － 1(x)的定义域为 { |2} x x ，故选 C。

（（6）特殊方程 例 例 14、双曲线 b 2 x 2 －a 2 y 2 =a 2 b 2(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为 e,则 cos2等于（）A．e B．e 2 C．e1 D．21e 解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为42x－12y=1，易得离心率 e=25,tanα= ba =12 ,cos2=52，故选 C。

（（7）特殊模型 例 例 15、如果实数 x,y 满足等式(x－2)2 +y 2 =3，那么xy的最大值是（）A．21 B．33 C．23 D． 3 解析：题中xy可写成00xy。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式 k=1 21 2x xy y，可将问题看成圆(x－2)2 +y 2 =3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值，即得 D。

题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论． 例 16 方程 ax 2 ＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是()A．0

实数 m 的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1] C．(－∞，1)D．(－∞，1] 解析 令 m＝0，由 f(x)＝0 得 x＝ 13 适合，排除 A、B.令 m＝1，由 f(x)＝0 得：x＝1 适合，排除 C.例 例 17、若 x 为三角形中的最小内角，则函数 y=sinx+cosx 的值域是（）A．（1，2 ] B．（0，23] C．[21，22] D．（21，22] 解析：因 x 为三角形中的最小内角，故(0, ]3x，由此可得 y=sinx+cosx>1，排除 B,C,D，故应选 A。

例 例 18、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元，现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元，超过 3 分钟的，每分钟按 0.11 元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（）A．不会提高 70% B．会高于 70%，但不会高于 90% C．不会低于 10% D．高于 30%，但低于 100% 解析：取 x＝4，y＝ 0.33-0.360.36·100%≈－8.3%，排除 C、D；取 x＝30，y ＝ 3.19-1.81.8·100%≈77.2%，排除 A，故选 B。

例 例 19、给定四条曲线：①252 2  y x，② 14 92 2 y x，③ 1422 yx，④ 1422  yx,其中与直线 0 5    y x 仅有一个交点的曲线是()A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线14 92 2 y x是相交的，因为直线上的点)0 , 5(在椭圆内，对照选项故选 D 题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例 20 若 A 为不等式组 x ≤0y ≥0y － x ≤2表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直线 x ＋ y ＝ a 扫过 A 中的那部分区域的面积为()A.34 B．1 C.74 D．2 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比 1 大，比 S△OAB

＝ 12 ×2×2＝2 小，故选 C 项． 例 例 21、如图，在多面体 ABCDFE 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF=23，EF 与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为（）A、29 B、5 C、6 D、215 解析：依题意可计算 6 2 3 33131      h S VABCD ABCD E，而ABCDEF E ABCDV V ＝6，故选 D。

（四）选择题解题的常见失误 1 1、审题不慎 例 例 1、设集合 M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合 P M  中的元素的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2 误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为 0 或 1 或 2 个，所以 P M 中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。

剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合 M，P 就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P 表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选 A。

2 2、忽视隐含条件 例 例 2、若 x 2 sin、x sin 分别是   cos sin 与 的等差中项和等比中项，则 x 2 cos 的值为（）A、833 1 B、833 1 C、833 1 D、42 1 误解：依题意有   cos sin 2 sin 2   x，① 2s i n s i n c o s x    ② 由① 2-②×2 得，0 2 2 cos 2 cos 42   x x，解得1 33cos28x。故选 C。

剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由  cos sin sin2 x，得 0 2 sin 1 2 cos     x，所以833 1不合题意。故选 A。

3 3、概念不清 例 例 3、已知 0 1 2 : , 0 2 2 :2 1      y mx l my x l，且2 1l l ，则 m 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、不存在 误解：由2 1l l ，得.12 1  k k 1)2(2   mm，方程无解，m 不存在。故选 D。

剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即2 1l l ，则 12 1  k k，是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0，则两直线也垂直。当 m=0时，显然有2 1l l  ；若 0  m 时，由前面的解法知 m 不存在。故选 C。

4 4、忽略特殊性 例 例 4、已知定点 A（1，1）和直线 0 2 :    y x l，则到定点 A 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是（）A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选 C。

剖析：本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性，即 A 点落在直线 l 上。故选 D。

5 5、转化不等价 例 例 5、函数)0(2 2    a a x x y 的值域为（）A、), 0()0 ,(    B、), [   a C、] 0 ,( D、), [)0 , [    a a  误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数xa xx f2)(2 21，所以 0  x，故选 A。

剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由2 2a x • x y   ，两边平方得2 2 2)(a x x y   ，这样的转化不等价，应加上条件 x y ，即ya yy22 2，进而解得，0     y a a y 或，故选 D。

填空题的解题方法与技巧 题型一 直接法 例 1 在等差数列{a n }中，a 1 ＝－3,11a 5 ＝5a 8 －13，则数列{a n }的前 n 项和 S n 的最小值________．

思维启迪量 ：计算出基本量 d，找到转折项即可． 解析 设公差为 d，则 11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝ 59.∴数列{a n }为递增数列． 令 a n ≤0，∴－3＋(n－1)·59 ≤0，∴n≤325，∵n∈N *.∴前 6 项均为负值，∴S n 的最小值为 S 6 ＝－ 293.题型二 特殊值法 例 2 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足(sin A－sin C)(a＋c)b＝sin A－sin B，则 C＝_______.思维启迪 题目中给出了△ABC 的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角 C 的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角 C 的大小． 解析 容易发现当△ABC 是一个等边三角形时，满足(sin A－sin C)(a＋c)b＝sin A－sin B，而此时 C＝60°，故角 C 的大小为 60°.例 3 如图所示，在△ABC 中,AO 是 BC 边上的中线，K 为 AO 上一点，且OA→＝2AK→, 过点 K 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则 m＋n＝________.思维启迪：题目中过点 K 的直线是任意的，因此 m 和 n 的值是变化的，但从题意看 m＋n的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解． 解析 当过点 K 的直线与 BC平行时，MN 就是△ABC 的一条中位线(∵OA→＝2AK→，∴K 是AO 的中点)．这时由于有AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，因此 m＝n＝2，故 m＋n＝4.题型三 图象分析法(数形结合法)例 4 函数 y＝f(x)的图象如图所示，其定义域为[－4,4]，那么不等式f(x)sin x ≤0 的解集 为__________________________________．

解析 f(x)sin x ≤0⇔  f(x)≤0，sin x>0，或  f(x)≥0，sin x<0，在给出的坐标系中，再作出 y＝sin x 在 [－4,4]上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[－4，－π)∪(－π，0)∪[ π2，π)． 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果． 例6 设函数f(x)＝  x 2 －4x＋6，x≥03x＋4，x<0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3 满足f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，则 x 1 ＋x 2 ＋x 3 的取值范围是________． 思维启迪：将问题转化为 y＝m 与 y＝f(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围． 解析 本题可转化为直线 y＝m 与函数 f(x)的图象有三个交点,y＝x 2 －4x＋6 在[0,＋∞)的最小值为 f(2)＝2，故 20，由于 y＝x 2 －4x＋6 的对称轴为 x＝2,则 x 1 ＋x 2 ＝4，令 3x＋4＝2，得 x＝－ 23，则－23

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例 7 函数 f(x)＝2sin(x＋ π4)＋2x2 ＋x2x 2 ＋cos x的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________.思维启迪：直接求 f(x)的最大值、最小值显然不可取．化简 f(x)＝1＋x＋sin x2x 2 ＋cos x，构造新函数 g(x)＝x＋sin x2x 2 ＋cos x 利用 g(x)的奇偶性求解． 解析 根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋x＋sin x2x 2 ＋cos x，f(x)－1 为奇函数，则 m－1＝－(M－1)，∴M＋m＝2.例 8 已知 a、b 是正实数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 a＋b 的取值范围是__________． 思维启迪：考虑到已知条件中出现了两个正数 a 和 b 的乘积 ab 以及和 a＋b，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解． 解析 ∵a、b 是正实数且 ab＝a＋b＋3，故 a、b 可视为一元二次方程 x 2 －mx＋m＋3＝0 的两个根，其中 a＋b＝m，ab＝m＋3.要使方程有两个正根，应有 Δ＝m 2 －4m－12≥0，m>0，m＋3>0，解得 m≥6，即 a＋b≥6，故 a＋b 的取值范围是[6，＋∞)．

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