证明线面平行

第1篇：证明线面平行

证明线面平行

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

【平面与直线平行的性质】

定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

第2篇：线面平行证明

线面平行证明“三板斧”

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面

内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

练习：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

D

例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC

1练习：

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：

A1E//平面B1CF

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG

练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：

AC1//平面AB1D

B

C

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P

E

C

A

B

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

A

7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b

C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()

A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条

10.如图所示：设P

上的点，AMDN且MBNP

11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．

第3篇：线面,面面平行证明题

线面，面面平行证明

一．线面平行的判定

1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

3.符号表示为：a,b,a//ba//

二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号语言:_____________________________________________________________________

选择题

1．已知直线l

1、l2,平面α, l1∥l2, l1∥α, 那么l2与平面α的关系是（）.A.l1∥αB.l2αC.l2∥α或l2αD.l2与α相交

2．以下说法（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b

其中正确说法的个数是（）.A.0个B.1个 C.2个D.3个

3．已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（）.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交

4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（A.平行B.相交C.平行或相交D.AB

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个

6.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系()

A ｂ∥αB ｂ与α相交CｂαDｂ∥α或ｂ与α相交

7．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：

//m//n

①mm//

n//

②m//

mm,n异面

③n

其中假命题有()

A0个B1个C2个D3个

8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为()

AｌαBｌαCｌ≠αDｌ∩α＝

9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()

A平行B相交C异面D平行或相交或异面

10．下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行

④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④

1.）

证明题：

1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：FGH．

2．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△ABC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行 的是哪几个面？试证明你的结论.平面

4 D是直三棱柱ABC—A1B1C1的AB边上的中点，求证： AC1∥面B1CD。

C A1B

1B

5.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、SC的中点，求证： EF∥面SAD

E

B

C

6、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A至A′的位置，取AB的中点为M,求证:ME∥平面ACD

7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD

1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

8.如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D

是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,ACBD=O,求证:平面AGO∥平面D1EF

AD

C

A B

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。



C

E B

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B

1、AB的中点：求证：平面AMC1//平面NB1C.

12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC

B

第4篇：线面平行证明题

线面平行证明题

1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）.A.异面B.相交C.平行D.不能确定

2．若直线a、b均平行于平面α，则a与b的关系是（）.A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面

3．已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A.D1B1∥lB.BD//平面AD1B

1C.l∥平面A1D1B1D.l⊥B1 C1

4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A.α、β都平行于直线l

B.α内存在不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

5．下列说法正确的是（）.A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行

C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行

D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

6．下列说法正确的是（）.A.直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行

C.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行

D.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

7．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是.8．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为

AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.DA

10．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.B

D11．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC（1）求证：MN//平面PAD；

（2）若E在PC上，CECP，过ADE做一平面与PB交与F点，是确定F点位置。

12.已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.13.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为 侧棱PC上一点且PA//面BDE，求

14.在正方体AC1中 ，PEPC的值。

C

A

AEAA1

,过ED1和B作出正方体的截面

A1

′

E

第5篇：构造平行四边形证明线面平行

1、已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN//平面PAD；

（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；

2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.（I）求证：PA1⊥BC；

（II）求证：PB1//平面AC1D；

3、（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD中，BDCD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.⑴求证： GH//平面CDE；⑵求证： BD平面CDE.4、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45

（I）求证：EF平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面

BCE

5、（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

6、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP

与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论． B1CD

B

D C

变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

7、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PABC1AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？

2若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.8、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,AB1,BC2,CD1过A 作AECD,垂

足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证：

BC面CDE；(2)求证：FG//面BCD；（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR面DCB,并说明理由.D D C G E A B 2F C

A B

第6篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证： (1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证： （Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

证明平行

平行教学反思

《平移与平行》说课稿

《平移与平行》教案

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