四边形证明

作者：月满西楼 | 发布时间：2021-05-02 00:05:57 收藏本文下载本文

第1篇：四边形证明

1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四

边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

M D

2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．

求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

B C E

3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E

是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”

⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，(1)试说明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

第2篇：四边形证明

…密…○…封…内…要…题…○…… … … 题 … … … …：答号座… … … … 要 … ：…场…考… 不 … … … … 内：名…姓… … … 线 … … ：…级…班封… 15.如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F，G分别是BO、CO的中点．

求证：四边形EFGD为平行四边形．

16如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=0.5AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

17.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，AF与BE交于点G,CE和DF交于点H求证：EF与GH互相平分。

18.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC与E,AF⊥CD于点F，若∠EAF=60度，BE=3,CF=1.5,求平行四边形的面积

八年级数学

第5页，共12页

19如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．

20.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,M,P,N分别是AD,BD,的中点，∠ABD=20度，∠BDC=70度，求∠PMN的度数

21,如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在BD上,BE=DF,（1）求证：AE=CF

(2)若AB=6,∠COD=60度，求矩形ABCD的面积

22如图，矩形ABCD的对角线交于点O，OF⊥AD于点F，OF=4,AE⊥BD于点E,且BE:BD=1:4,求矩形ABCD的周长。

八年级数学

第6页，共12页

23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，且AC=8，若三角形AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积

24如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE。求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形。

25如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△FCE．

（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

八年级数学第7页，共12页 26.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90度，F为DC上的一点，且AB=FC,E为AD上的一点，EC交AF于点G,，EA=EG.求证;ED=EC

27．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD 于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

28．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.（1）求∠APB的度数；

（2）如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．

八年级数学

第8页，共12页

…密…线…不…答…○… …密…○…封…内…要…题…………○…

第3篇：证明四边形

证明直角三角形全等

三组对应边相等的两个三角形全等（SSS）

两组对应边和一组对应的夹角相等的两个三角形全等（SAS）

两组对应角和一组对应的对边相等的两个三角形全等（AAS）

直角三角形中一组斜边和一组直角边相等的三角形全等（HL）

证明三角形相似

两三角形的对应边要的比例，所以“边边边”就是三条对应边的比例都相等“边角边”就是夹角相等的两边比例相等。

证明平行四边形

连结一条对角线，得到两个三角形，可证明它们全等，从而得到内错角相等，进而得到平行，由定义知是平行四边形

⑵由四边形内角和等于360°，而两组对角相等，因此四个内角的和变成一组邻角的和的两倍，即一组邻角的和是180°，得到一组对边平行，类似地可得另一组对边平行，从而得证

⑶由SAS可证全等，进而得到内错角相等，得到两组对边平行，问题得证证明菱形

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

证明矩形

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

证明正方形

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

第4篇：四边形证明题

1.如图，BD是□ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．

求证：△ABE≌△CDF．

ABFC

2.如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

3．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB

交CB的延长线于点G．

（1）求证：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

4.如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求

证：DE=

A1BE 2D

BCE

5.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

6.如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CFE

7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为8，求AC的长．

B 8.如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形.9.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；

（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存

在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.A

DC'B

10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB

于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．

(1)求EG的长；

(2)求证：CF ＝AB ＋AF．

第5篇：四边形证明练习题

四边形练习题

1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

求证：四边形OCED是菱形．

2.如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△FCE．

（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

3.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．

求证：FP=EP．

4.如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED＝BF，EF与AC相交于点O.求证：OA＝

OC.5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OA＝

BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

6.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并说明你的结论。

7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并说明你的结论。

8.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

9.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢC＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．

10.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？

11.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=

12.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

BA C

13.已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F 求证：AN=BM

求证：△CEF为等边三角形

将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）。

A 图1图

214.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG 求证：（1）AD=AG

（2）AD与AG的位置关系如何

15.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF（2）点D在∠A的平分线上

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE

第6篇：四边形证明题

四边形证明题()

第一篇：特殊平行四边形：证明题特殊四边形之证明题

1、如图8，在abcd中，e，f分别为边ab，cd的中点，连接de，bf，bd． ?（1）求证：△ade≌△cbf．

（2）若ad?bd，则四边形bfde是什么特殊四边形？请证明你的结论． f c a e b 2、如图，四边形abcd中，ab∥cd，ac平分?bad，ce∥ad交ab于e．（1）求证：四边形aecd是菱形；

（2）若点e是ab的中点，试判断△abc的形状，并说明理由． 3.如图，△abc中，ac的垂直平分线mn交ab于点d，交ac于点o，ce∥ab交mn于e，连结ae、cd．（1）求证：ad＝ce；

（2）填空：四边形adce的形状是． a dmn b 4.如图，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be，（1）求证：△abe≌△

（2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由

5．如图，在△abc和△dcb中，ab = dc，ac = db，ac与db交于点m．（1）求证：△abc≌△dcb ；

（2）过点c作cn∥bd，过点b作bn∥ac，cn与bn交于点n，试判断线段bn与cn的数量关系，并证明你的结论．

6、如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef与ab，cd的延长线分别交于e，f．（1）求证：△boe≌△dof；

（2）当ef与ac满足什么关系时，以a，e，c，f为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． f a b e d b n 7.600，它的两底分别是16cm、30cm。求它的腰长。(两种添线方法)c 8．如图（七），在梯形abcd中，ad∥bc，ab?ad?dc，ac?ab，将cb延长至点f，使bf?cd．（1）求?abc的度数；

（2）求证：△caf为等腰三角形． c b 图七 f 第二篇：平行四边形证明题

平行四边形证明题由条件可知，这是通过三角形的中位线定理来判断fg平行da，同理he平行da，ge平行cb，fh平行cb!~ 我这一化解，楼主应该明白了吧!~ 希望楼主采纳，谢谢~!不懂再问！!此题关键就是对于三角形的中位线定理熟不!~!~·

已知：f，g是△cda的中点，所以fg是△cda的中位线，所以fg平行da 同理he是△bad的中位线，所以he平行da，所以fg平行he 同理可得：fh平行ge!~ 即四边形fgeh是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 证明：∵e，f，g，h分别是ab，cd，ac，bd的中点 ∴fg//ad，he//ad，fh//bc，eg//bc ∴fg//he，fh//eg ∴四边形egfh是平行四边形 3.理由：连接一条对角线，ac吧。

∵ad平行bc，ab平行dc(平行四边形的性质)∴∠dac=∠acb，∠bac=∠dca 在△abc和△dac中，∠dac=∠acb ac=ca ∠bac=∠dca 所以，△abc全等于△dac(a.s.a)所以，ab=da,ad=bc 证明：∵四边形abcd为平行四边形;∴dc‖ab;∴∠eaf=∠dea ∵ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线;∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf;∴∠eaf=∠cfb;∴ae‖cf;∵ec‖af

∴四边形afce是平行四边形 4 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

四边形证明题已知e.f分别为平行四边形abcd一组对边adbc的中点,be与af交于点g，ce与df交于点h求证四边形egfh是平行四边形

解：在三角形abf和三角形edc中因为：ab=cd 角dab=角dcb ae=fc 所以：三角形abf全等于三角形edc 所以：eb=fd 所以：四边形bedf为平行四边形同理可证：四边形aefc为平行四边形在三角形ehd和三角形chf中因为：角ehd=角chf 角deh=角hcf ed=fc 所以：角形ehd全等于三角形chf 在三角形bgf和三角形fhc中因为：角ebf=角dfc bf=fc 角afb=角ecf 所以：三角形bgf全等于三角形fhc 所以：三角形bgf全等于三角形ehd 所以：gf=eh 同理可证：ge=fh 所以：四边形egfh是平行四边形

如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30º，ef⊥ab，垂足为f，连结df。求证：四边形adfe是平行四边形。设bc=a,则依题意可得：ab=2a,ac=√3a, 等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a

∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad²+af²)=2a ∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形abcd中，ac、bd是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1x高第四篇：特殊四边形证明题习题特殊四边形证明题

1．（2014年湖北十堰市）如图①，四边形abcd是正方形, 点g是bc上任意一点，de⊥ag于点e，bf⊥ag于点f.求证：de－bf = ef．

2.（2014年山东青岛市）已知：如图，在abcd中，ae是bc边上的高，将△abe沿bc方向平移，使点e与点c重合，得△gfc． (1）求证：be?dg；

(2）若?b?60°，当ab与bc满足什么数量关系时，四边形abfg是菱形？证明你的结论．

【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定 d b c e f(更多请搜索)? 3．（2014 年佛山市）如图，在正方形abcd中，ce?df．若ce?10cm，求df的长． a e b f c 4．（2014年娄底）如图，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be，(1）求证：△abe≌△

(2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由

5．（2014年佳木斯）如图，将矩形纸片abcd沿对角线ac折叠，使点b落到点b′的位置，ab′与cd交于点e.(1）试找出一个与△aed全等的三角形，并加以证明.(2）若ab=8，de=3，p为线段ac上的任意一点，pg⊥ae于g，ph⊥ec于h，试求pg+ph的值，并说明理由.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

6．(2014年安顺)如图，在△abc中，d是bc边上的一点，e是ad的中点，过a点作bc的平行线交ce的延长线于点f，且af=bd，连结bf。

(1）求证：bd=cd；

(2）如果ab=ac，试判断四边形afbd的形状，并证明你的结论。?acd?30°，bd?6．7．（2014肇庆）如图 5，abcd是菱形，对角线ac与bd相交于o，a（1）求证：△abd是正三角形；(2）求 ac的长（结果可保留根号）．

8．（2014肇庆）如图，abcd是正方形．g是 bc 上的一点，de⊥ag于 e，bf⊥ag于 f． a d b f c（1）求证：△abf≌△dae；(2）求证：de?ef?fb．

9．（2014年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形abcd中，af＝be．求证：de＝cf；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定 a b d图1 10．（2014年广西梧州）如图，△abc中，ac的垂直平分线mn交ab于

点d，交ac于点o，ce∥ab交mn于e，连结ae、cd．(1）求证：ad＝ce；

(2）填空：四边形adce的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定 a m n b11．(2014年宜宾）已知：如图，四边形abcd是菱形，过ab的中点e作ac的垂线ef，交ad于点m，交cd的延长线于点f.(1）求证：am=dm；(2）若df=2，求菱形abcd的周长．【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定 b fd第21题图c ab?5，ac?6．12．（2014年广东省）在菱形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，过

点d作de∥ac交bc的延长线于点e．(1）求△bde的周长；

(2）点p为线段bc上的点，连接po并延长交ad于点q．求证：bp?dq． q p c e 【关键词】菱形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；利用平行四边形证明线段相等；全等三角形的性质与判定

第：平行四边形证明题证明题

1.四边形abcd、defg都是正方形，连接ae，cg．（1）求证：ae=cg（2）观察图形，猜想ae与cg之间的位置关系，并证明你的猜想答案：（1）∵四边形abcd、四边形defg都是正方形，∴ad＝cd，de＝dg，且∠gde＝∠adc＝90°，则∠adg＋∠gde＝∠adg＋∠adc，即∠ade＝∠cdg，∴△ade≌△cdg，∴ae＝cg.（2）ae⊥cg.设ae与cg的交点为q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠dea＝∠dgc，∴∠dea＋∠aef＋∠fgd＝180°＝∠dgc＋∠aef＋∠fgd＝180°，在四边形gqef中，由四边形的内角和性质可知，∠gqe＝360°－180°－90°＝90°，∴ae⊥cg.解题思路：（1）有题中已知的条件，四边形abcd、四边形defg都是正方形知，ad＝cd，de＝dg，且∠gde＝∠adc＝90°，所以∠adg＋∠gde＝∠adg＋∠adc，因此∠ade＝∠cdg，所以△ade≌△cdg，所以ae＝cg，结论得证.（2）ae⊥cg.设ae与cg的交点为q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠dea＝∠dgc，所以∠dea＋∠aef＋∠fgd＝180°＝∠dgc＋∠aef＋∠fgd＝180°，在四边形gqef中，由四边形的内角和性质可知，∠gqe＝360°－180°－90°＝90°，因此ae⊥cg.易错点：不能很好的利用四边形内角的性质试题难度：四颗星知识点：多边形的内角和与外角和

2.已知在四边形abcd中，ad∥bc，∠b=60°，ab=bc，e是ab上的一点，且∠dec=60°，求证：ad+ae=ab.答案：连结a、c两点，过点e作ef∥ac，∵∠b＝60°，ab＝bc，∴△abc、△ebf均为等边三角形，则∠efc＝120°，be＝bf，∴ae＝cf，又∵ad∥bc，所以∠ead＝120°，又∵∠dec＝60°，∴∠fec＋∠aed＝60°，又∵∠aed＋∠ade＝60°，∴∠fec＝∠ade，∴△aed≌△fce（aas），ad＝ef，又∵ef＝be，则ad＝be，由ae＋be＝ab知，ae＋ad＝ ab.解题思路：作辅助线，连结a、c两点，过点e作ef∥ac，由于∠b＝60°，ab＝bc，所以可以知道△abc、△ebf均为等边三角形，只需证明ad＝ef则结论即可证明，由等边三角形的性质，可知∠efc＝120°，be＝bf，所以ae＝cf，又因为ad∥bc，所以∠ead＝120°，又因为∠dec＝60°，所以∠fec＋∠aed＝60°，又因为∠aed＋∠ade＝60°，所以∠fec＝∠ade，所以△aed≌△fce（aas），ad＝ef，又因为ef＝be，则ad＝be，由ae＋be＝ab知，ae＋ad＝ab.易错点：不能找到一条合适的辅助线进行有效的解题试题难度：四颗星知识点：三角形全等的证明

3.如图，在矩形abcd中，延长bc到e，使be=bd，f为de的中点，连接af、cf，求证af⊥cf．

答案：如图，连接bf，∵be＝bd，f为de的中点，∴bf⊥de，∴∠bfa＋∠afd＝90°，又∵cf为直角三角形dce斜边的中线，∴cf＝df，则∠fdc＝∠dcf，∴∠adf＝∠bcf，又∵ad＝bc，∴△adf≌△bcf，∴∠afd＝∠bfc，∴∠bfa＋∠bfc＝∠afc＝90°，∴af⊥cf.解题思路：有题中的已知条件可知，如果连接bf，则bf⊥de，所以应该连接bf，因为be＝bd，f为de的中点，所以bf⊥de，所以∠bfa＋∠afd＝90°，如果能证明∠afd＝∠bfc，则结论即可得证.由已知条件，cf为直角三角形dce斜边的中线，则cf＝df，∠fdc＝∠dcf，所以∠adf＝∠bcf，又因为ad＝bc，所以△adf≌△bcf，所以∠afd＝∠bfc，所以∠bfa＋∠bfc＝∠afc＝90°，所以af⊥cf.易错点：不能连接合适的辅助线进行有效的解题试题难度：四颗星知识点：矩形

13．已知四边形abcd，从①ab∥dc；②ab?dc；③ad∥bc；④ad? bc；⑤

?a??c；⑥?b??d中取出2个条件加以组合，能推出四边形abcd是平行四边形的有哪几种情况？请具体写出这些组合．

14.如图，在平行四边形abcd中，e、f、g、h各点分别在ab、bc、cd、da上，且ae?bf?cg?dh，请说明：eg与fh互相平分．、15.如图所示，以△abc的三边ab△ab、d△ b、△ce c，b、c c在bc的同侧作等边ｈｇａｅｂ

请说明：四边形adef为平行四边形．ｆｆａｂｅ

16．如图所示，在平行四边形abcd中，ae、cf分别是?dab，?bcd的平分线，试说明四边形afce是平行四边形． 13．解：有以下组合可以得到平行四边形：

①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥． 14．提示：经证四边形hefg为平行四边形． 15．提示：?△bde≌△abc≌△ecf，16．解：是平行四边形．理由如下： ?四边形abcd是平行四边形，??bad??bcd． ?ae、cf是角平分线，??aeb??fce.?ae∥cf．又?af∥ce，?四边形afce是平行四边形．

?df?af，ad?fe.?四边形adef为平行四边形．