切线证明
第1篇：证明切线的方法
证明切线的方法
证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。
（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半
径，证垂直（比较常用）。
（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂
直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O
在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？
分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB
第2篇：证明圆的切线方法
证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒
∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切
D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC，C ∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900.∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）
∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CDCF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.
第3篇：圆的切线方程公式证明
已知:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)
直线CP的斜率:k1 =(y0a)
因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx0²a)² +(y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a² + b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)
根据点斜式, 求得切线方程：
yx0)
yx0)
整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x0²x0²Dx0/2a)² +(yMC²)
(根据勾股定理)
= √ [(x0b)²MC²)
(根据勾股定理)
= √ [(x0 + D/2)² +(y0 + E/2)²-((√(D²+E²-4F))/2)² ]
(半径:r=(√(D²+E²-4F))/ 2)
= √(x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)
第4篇：切线的两种证明方法
浅谈切线的两种证明方法
在中学学习圆的时候，我们学过切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。但很多学生在教学过程中对此判定不是很理解，并不知道如何使用这条判定定理来证明切线，为此我总结了一套切线证明的方法，供大家参考。
首先，我们对判定定理分解一下，里面共包含了两个条件：
１.经过半径的外端
２.垂直于这条半径
也就是说只要我们同时满足这两个条件就能说明这条线是切线，而在实际证明过程中，往往是通过辅助线先满足其中一个，再证明另外一个也成立。这里分为两种情况：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
例1.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.证明：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切.例2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线.证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠30°.∴∠BOC=∠A+∠1=60°.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直，证半径”。
例3.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线.例4.如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90°.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵ AC，BD与⊙O相切，∴ AC⊥OA，BD⊥OB.∵ AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∵∠COD=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.∵∠4+∠5=90°.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.又∵∠CAO=∠COD=90°，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴ E点在⊙O上.∴ CD是⊙O的切线.切线的证明题目形式多变，但切线的证明方法一般就这两种，只要你能判别情况，清楚证明方向，你离成功也就不远了。
（作者单位 江西省赣州市信丰县大阿中学）
第5篇：圆的切线计算与证明题
圆的切线证明与计算专题训练
1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线.5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E.求证：AC是⊙D的切线.6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P.求证：PD是⊙O的切线.7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D.求证：CD是⊙O的切线.8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E.求证：BE是⊙O的切线.O
9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD=5，求AC的长.10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点.（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OC=5，CE=6，求AE的长.11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆.（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求证：AB+EB=AC.12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.13.如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂涎PQ，垂足为C.（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，TC3，求弦AD的长.14.如图，割线ABC与⊙O相交与B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于点F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD.（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，AD=4,BC=6,EG=2，求⊙O的半径.15.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A、C两点，点D在⊙O上，∠A=∠B=30O.（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点N在⊙O上，且DN⊥AB，垂足为M，NC=10,求AD的长.116.如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，ACOB.
2（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45O，OC=2,求弦CD的长.17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA//BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD.（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长.18.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90.（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠ACB=75O，⊙O的半径为2，求BD的长.O
19.如图，AB是⊙O直径，OD⊥BC与点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB.（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长.20.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30O，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
