高中数学几何概型教案模板

第1篇：《几何概型》上课教案

课题：几何概型

授课教师：卓剑

教材：苏教版数学（必修3）第3章3.3节

[教学目标] 知识与技能

(1)了解几何概型的基本概念、特点和含义，测度的含义；

(2)能运用概率计算公式解决一些简单的几何概型的概率计算问题． 过程与方法

(1)经历由直观感知探讨未知领域的过程，培养数学类比能力和概括能力．(2)通过情感体验，使已有的知识和技能得到内化，同时转化为解决新问题的能力． 情感态度与价值观

(1)通过对几何概型的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．(2)在探求过程中，通过交流、发现、思维体验、情感体验等激发学生的学习兴趣． [教学重点、难点] 教学重点是：理解几何概型的概念，并能进行简单的几何概型的概率的计算． 教学难点是：通过实例让学生体会测度的合理选取． [教学方法与教学手段] 问题教学法、合作学习法，多媒体课件．

[教学过程] 1．创设情境

周杰伦的《青花瓷》歌曲全长4分钟，高潮部分从第50秒末开始，到第1分30秒末结束．小明最爱听这首歌．

暑假中的一天，他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听《青花瓷》．这时，妈妈喊他有事．回来后，他又立刻戴上耳机．

请问：小明刚好听到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？

2．提出问题，组织讨论

问题探究1 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

问题1 有多少种剪法？

问题2 怎样剪断绳子，能使得剪得两段的长都不小于1m？ 问题3 剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A，由于剪断绳子上的每一个位置都可视为一个基本事件；将绳子三等分，当剪断位置在中间一段时，事件A发生，所以事件A发生的概率为

P(A)中间一段绳子的长度1。

绳子的总长度3问题探究2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率为多少？

记“豆子落入圆内”为事件A，由于豆子落入正方形中的每一个位置都可视为一个基本事件；豆子落入圆内时，事件A发生。则豆子落入圆内的概率为 圆的面积a2P(A)。

正方形的面积4a24

3．建构概念

(1)归纳上述两个随机试验有什么共同特征.(2)归纳、概括几何概型的概念.设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率计算公式为

P(A)d 的测度

D 的测度(3)几何概型与古典概型有何异同点？(学生归纳)

4．数学运用

在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子。如果从中随机取出10mL，那么含有带麦锈病种子的概率是多少？ 分析 “在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子”可以理解为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的。“随机取出10mL”可以理解为该10mL的种子所在的区域形状和位置不影响事件发生的概率。

解 记“取出10mL麦种，含麦锈病的种子在内”为事件A，因为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的．所以 事件A的概率为P(A)取出种子的体积101．

所有种子的体积10001001． 100我之所以选取它作为本节课的惟一例题，在于本题具有丰富的生活背景和体验，同时最能反映几何概型的特征，有助于加深学生对于概念的理解。5．情境再现

学生运用几何概型的概念解决课开始时的疑惑，做到首尾呼应。

歌曲全长为4分钟，用线段MN表示；高潮部分为40秒，用线段CD表示。由于小明戴上耳机时可以听到整首歌曲中的任意一个时刻，于是小明听到高潮部分的答 含有麦锈病种子的概率为概率为P高潮的时长401。

总时长2406单曲循环的播放模式可以这样理解，不论小明再次戴上耳机时，歌曲已经循环播放了多少遍，他听到的时刻一定在该歌曲中，那么可以视一首完整的歌曲为研究的区域D。这与课本上的“地铁问题”是一致的。6．反馈练习在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率为

．（2008年江苏省高考第6题）7．课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获呢？

8．课后作业 课本103页 练习1,2,3．

第2篇：3.3.1几何概型教案

§3.3.1几何概型（第一课时）（人教A版〃必修3）

教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体；

（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力

（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法

3、情感态度与价值观：

本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点

几何概型的概念、公式

教学难点

几何概型的应用

教辅手段

投灯片，计算机及多媒体教学．

教学过程

一、情景设置——温故知新 处理方式

借助课件，提出问题，引导学生回顾

1、现实生活中有的古典概型的问题

2、古典概型的特点

二、新知探究

（一）创设情境：

处理方式

1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

（1）回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。（2）引导学生思考讨论得出结果。

2、几何概型的概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体

三、即时体验

处理方式

1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。

问题1：判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）将一颗豆子随即的扔到如图的方格中,假设豆子不落在线上,求落在红色区域的概率.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）豆子落入红色区域时有无限多个结果，而且不难发现“落入红色区域”的概率可以用红色部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

2、以问题探究的形式引导学生理解几何概型中的事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

问题2：取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率为多大？

问题3：一海豚在水中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。

问题4：有有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯中取出0.1升水,求小杯中含有这个细菌的概率.问题2解： 设A={剪得两段的长都不少于1m}，A的发生就是中间一米的那段一段：

P（A）=13

问题3解：设A={海豚嘴尖离岸边不超过2m}，为图中兰色区域：

P（A）=3020261630200.12=

23750.31 问题2解： 设A={小杯中含有这个细菌}，它的概率只与取出的水的体积有关

P（A）=

=0.5

四、归纳提升

处理方式

引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果教师帮助完善。

1、几何概型的概念，特点

2、几何概型的公式及应用

五、课后延续

1、回顾本课的学习过程，整理学习笔记

2、完成书面作业P14习题1

3、选作问题：

（1）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边做正方形，求这正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率。

（2）已知地铁列车每10分一班，在车站停1分，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

第3篇：高考数学复习点拨 约会型几何概型问题

谈“约会型”概率问题的求解

由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例：

例

1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？

解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|xy|15，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会 面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A

6024527因此，两人见面的概率P(A) 16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|xy|15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例

2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；

解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间

两列火车必须等待，则|xy|10，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能 等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A

60250211因此，这两列火车必须等待的概率是P(A) 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y表示，结论很快产生。

例

3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？

解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心

爱心

专心 6x7所以，由6.5y7.5

yx160230272得P(A)，86027即小强能见到小明的概率是。

8点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现6x7是小强到的时间，6.5y7.5是小明离家时间，要相见必须yx，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。

例

4、水池的容积是20m，向水池注水的水龙头A和水龙头B水的流速都是1m/小时，它们在一昼夜内随机开0~24小时，求水池不溢出水的概率。

解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，33x0,y0，水池不溢出水，则xy20

记“水池不溢出水”为事件A，则A所占区域面积为

12020200，整个区域的面积为2424576 22000.35 由几何概型的概率公式，得P(A)576即水池不溢出水的概率约为0.91。

点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开0~24小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。

例

5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。

解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示 8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23 路车”为事件A，则A所占区域面积为81078136

整个区域的面积为1015150

1360.91 150即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91。那么，等车不超过8分钟的概率P(A)点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。

例

6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；

解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|x|,|y|，记“它们到中点距离平方和

用心

爱心

专心 小于1”为事件A，则事件A：(x,y)|x2y21，由于|x|1,|y|1

12因此P(A)，即到中点距离平方和小于1的概率为 2442（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|x|,|y|,|z|，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件B：(x,y,z)|x2y2z21，由于|x|1,|y|1,|z|1

4313因此，P(B)，即到中点距离平方和小于1的概率为 3662点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。

用心

爱心

专心

第4篇：概率统计11.6 几何概型(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第59期

§11.6 几何概型

基础自测

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为.答案 12

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .（第2题）（第5题）

答案 2

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .答案 35

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .答案 13

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为.答案 16

例题精讲

例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=

103310=

410=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再

376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为927922=3281.14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

9281.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分 记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）=101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，180所以∠ACC′=302=75°，1590A=90-75=15，Ω=90，所以，P（D）=

=

16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=6024522=360020253600=

716.60377 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.答案 16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.

解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A=0.1升，Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=

AΩ=

0.12=

120=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）=

3090=

13.378 5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞y＜l2,x+l-x-y＞y

l2,y+l-x-y＞xx＜l2l2l2.故所求结果构成集合l2A=(x,y)|xy,y,x.由图可知，所求概率为

1P（A）=A的面积Ω的面积=l22l22=14.2回顾总结

知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是 .答案 310

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是 .答案 15

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .答案 116

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .379（第4题）(第7题)答案 1-2



S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .答案 6

7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 172565”的概率为.二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142

14×122 cm

×12.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率

1P（A）=41412.21222=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.210.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

380 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A=1-212×12×12=78，Ω =1，所以P（A）=

AΩ=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜3区间0，a的长度3区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==33.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2

(0,30)的长度(0，45)的长度=

23.12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=

912=

34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为

123222{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=

32=

23.

382

几何概型教案模板（共6篇）

高考数学（理）考点一遍过考点52,几何概型-之

高中数学miniquest设计模板设计探究型教案

几何：10周长：关系型周长

几何教案模板