求导证明

第1篇：指数函数exp(x)的求导证明

在高中时，指数函数e的导数为其本身，我觉得这个性质非常奇妙，可书上只有一个等式，并没有给出证明，我那时候百思不得其解。上大学后，书上也没有明确给出其严格的证明。下面是我的证明方法，当然要用到极限的概念。

首先，自然对数的定义为： x

elim1x x01x

则

11ln1x 1lnelnlim1xxlimln1xxlimx0x0x0x

注意到上式中的最后一个式子，令ln1xt

则有xe1，且当x0时，t0，所以 t

limln1xtlimt1 x0t0xe1

最后，根据导数的定义，即有

exxexexex1ex1xelimlimelimex x0x0x0xxxx

得证。

第2篇：求谏导学案1

2010级高二（下）语文学科导学案

课题：《求谏》

时间：2012-3-28 命制人：张占朋

审核人：李卯圈

年级领导签字___________ 一．教学目标：1.了解《贞观政要》的主要思想和进步意义。

2.了解唐太宗对于纳谏的认识，体会封建帝王的治国思想。

3、分析唐太宗贤明的君主形象，思考“贞观之治”出现的深层次原因。

4、积累常用的文言词句。

二．《贞观政要》

《贞观政要》是唐代史学家吴兢的著作，它以唐太宗君臣论政的言论为主，全面反映了中国古代以“君道”为中心的治国理念，宋以后历代君王对此书都给予了高度的关注，因此，它是了解中国古代政治的一把钥匙。

该书共分十卷四十篇，因其编辑是“随事载录，用备劝戒”，所以每篇都是围绕一个中心问题展开的，每卷大体上也有一个中心。它并不拘于描述具体历史事件，而是通过列举那些对后人有借鉴意义的君臣言行，显示贞观年间的政治面貌。分别讨论了为君之道、任贤纳谏以及仁义、忠义、孝友、公平、诚信等道德准则和俭约、谦让等社会风尚，在崇儒、重农、刑法、贡赋、征伐、安边等古代社会具有普遍性的社会问题上，也都各有专门论及。可称得上“人伦之纪备矣，军国之政存焉”。三．解题：

回忆《邹忌讽齐王纳谏》中，齐王是被讽喻“纳谏”。而“求谏”是唐太宗主动要求大臣们敢于向自己直谏。唐太宗李世民和他的重臣们，励精求治，开创了我国封建社会历史上的一代盛世“贞观之治”，其治政要略一直为后人所赏鉴。贞观盛世的出现，有着多方面的因素，其中与唐太宗的虚怀纳谏之风是密不可分的。

兼听则明,偏信则暗

居安思危,戒奢以俭

---魏

征

以铜为鉴，可以正衣冠； 以古为鉴，可以知兴替；

以人为鉴，可以明得失。今魏征逝，一鉴亡矣。

----唐太宗

（一）给加粗的字注音：

俨肃（）谏诤（）鲠议（）王珪（）刍荛（）

不讳（）丧乱（）属文（）芜词（）诋诃（）

愆过（）纂组（）怖懾（）

罄其狂瞽（）

（二）解释下面文句中的加粗词语：

1.读注释，解释加粗文言词语：

①必假颜色（）②必须极言规谏（）③后从谏则圣（）

④不能致理（）⑤惟君臣相遇（）⑥冀凭直言鲠议（）

⑦陛下开圣虑，纳刍荛（）（）（）（）

⑧但思正人匡谏（）⑨朕亦不以为忤（）⑩信为难矣（）

2.解释词语：①失其举措 ②罄其狂瞽 ③平章国计

④预闻政事 ⑤耳目外通 ⑥属文之士

⑦伎巧之徒 ⑧商略诋诃 ⑨一人听断

第3篇：不等式证明、最值求法

不等式的证明（论一个不等式的应用）

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一文（以下简称原文），经笔者研究发现，原文中的所有最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下比李老师的向量法在处理上更简单一些，故写此文和大家交流．

x2y222

2定理 若实数a,b,x,y满足221，则ab≥(xy)．

abx2y2b2x2a2y2222222

证明：ab(ab)(22)xy2 2

abab

222

≥xy2xy(xy)，xy

由证明过程易知等号成立的条件是22．

ab

注 这个不等式的条件是一个椭圆方程，故称此不等式为椭圆不等式．

１ 求满足整式方程的未知数的代数式的最值

例１ 已知x,y满足xy2x4y0，求x2y的最值（1988年广东高考题，原文例１）．

(x1)24(y2)2

解：xy2x4y01，依定理有

520

520[(x1)2(y2)]2，即(x2y5)，解得0x2y10，当且仅当2

5x1

y222

(x2y)min0，且xy2x4y0，即xy0时，当x2,y4

时，(x2y)max10．

例２ 已知a,bR，且ab10，求(a2)(b3)的最小值（第10届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）．

(a2)2(b3)2

1，由定理得： 解：令(a2)(b3)=t，则

tt

2t≥(ab5)2(ab16)236，即t≥18，当且仅当a2b3且ab10

时，即a1,b0时，tmin18，从而(a2)(b3)的最小值为18．

２ 求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值

例３ 已知实数x1,x2,x3满足方程x1

111212x2x31及x12x2x33，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三数学竞赛试题，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1x2x31x1x21x3，x12x2x331

222323233x3(3x3)323

由定理得

111112112121

(3x32)(3x32)(x1x2)23x32(x1x2)23x32(1x3)2x33

323233233311

从而x3的最小值为

21． 11

３ 求满足整式方程的未知数的分式的最值

例４ 如果实数x,y满足等式(x2)y3，求题）．

y的最大值（1990年全国高考试x

y

k，则ykx，由已知等式(x2)2y23可得 x

(2kkx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴≤k≤3，133kk4k2

33k

y

从而的最大值为3。

x

y22

例５ 若实数x,y适合方程xy2x4y10,那么代数式的取值范围

x2

解：令

是（第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试）．

y

t，则txy2t0，由已知方程得(x1)2(y2)24，变形得：x2

(txt)2(y2)2

1，∴由定理得：4t24≥(txy2t)2(23t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代数式的取值范围是[0，]．

5x25

y122

例６ 已知实数x,y满足方程(x2)y1，求的最小值(第10届＂希望杯＂

x2

解：令

邀请赛数学竞赛高二试题，原文例4)

(kx2k)2(kx2k1)2y122

1，解：设k，则ykx2k1，(x2)y1

k21x2

由定理得k1[(kx2k)(kx2k1)](14k)，解得0k４ 求满足不等式的未知数的最值

例７ 若2xy1，uy2yx6x，则u的最小值等于（）A．

y18，即的最小值为０． 15x2

77141

4B．C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题）

4(x3)2(y1)2

1，依定理及条件有 解：uy2yx6x

4(u10)u10

36142(x3)

当且仅当10，y1且2xy1

554

31114

时，即x,y时，umin，故选(B)．

555

11n

例８ 设abc，且≥恒成立，则n的最大值是（第11

abbcac

5(u10)(2xy5)236，即u

届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试，原文例１１）．

解：令

11112

=t，则=1，从而t(ac)≥(11)4，

t(ab)t(bc)abbc

由已知得ac0，故t≥５ 求无理函数的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． 

abbcacac

1994年上海市高三数学竞赛题，原

例９

求函数y文例５）．

解：由1994x0且x19930得1993x1994，两边平方易得y1，又

1

1994xx1993，由定理得：22，

1y



故函数y６ 求满足分式方程的未知数的代数式的最值

例１０ 设x,y,a,bR，且



ab

1，则xy的最小值为（第11届＂希望xy

杯＂全国数学邀请赛高二培训题）．

解：

依定理有xy，ab

1，即x，xy

x

时，(xy)min2．

例１１ 已知x,y(0,)，且数学竞赛试题，原文例６）．

解：由已知条件和定理有：xy117． 定理的推广 若

1998

1，求xy的最小值（1998年湖南省高中xy

a

i1

n

bi

i

1，则ai≥（i1

n

b)

ii1

2i

n，其中ai与bi同号（i=1，2，． ,n）

证明：由Cauchy不等式及已知条件有：７ 求使多项式函数取最值的未知数的值

a=a.a

i

i1

i1

nnn

bi

i

≥（i1

b)．

2ii12

n

例１２ 求实数x,y的值，使得(y1)(xy3)(2xy6)达到最小值（2001年全国高中数学联赛试题，原文例７）．

1()y2(22x6y)6(2)xy

解：令(y1)(xy3)(2xy6)t，则t4tt

1，由定理的推广得：6t[(1y)(2x2y6)(62xy)]1，即t，当且仅当6

1yxy362xy55

(y1)2(xy3)2(2xy6)2达，即x,y时，

12126

到最小值．

6８ 求满足分式方程的未知数的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,zR,，求的最2

1x21y21z21x21y21z2



大值（1990年首届＂希望杯＂全国数学邀请赛培训题，原文例８）．

x2y2z2111

2解：由易知1，而 1x21y21z21x21y21z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1y21，依定理的推广可有222

1x1y1z

1x21y21z2222xyz2xyz2，即()(2，从222222222

1x1y1z1x1y1z1x1y1z

而

xyz

． 

1x21y21

z2

９ 求无理式的最值

例１４ 如果abc1，（第８届＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题，原文例９）．

解：由条件知(3a1)(3b1)(3c1)6，则

3a13b13c1

1，由定理

666

的推广得：18，且仅当abc

时达到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函数的最值

例１５的最大值为M，最小值为N，则

（1999年＂希望杯＂数学邀请赛，山西、江西、天津赛区高二试题，原文例12）．

解：由1tanx



N

tanx13tanx



1，由定理得4

2 22

2，即M=2，故

M． N１１ 求对数函数的最值

例１６ 已知ab1000,a1,b

1，则的最大值是多少？（第13届＂希望杯＂全国邀请赛高二培训题，原文例13）．

解：由已知易得：(1lga)(1lgb)5，即

1lga1lgb

1，由定理有

10

2

由上我们可以看出，用本文中的定理和定理的推广要比文［１］中用向量解决这些问题

简单的多．当然，这样的例子很多的，这里不再赘述，请读者自行研究，以下是几个练习．

练习

１．设x,y,zR，且xyz1，求队第一轮选拔赛题）．（答案：３６）

２．已知x,y,zR,xyz1，求数学问题1504）．（答案：６４）

３．函数y



149

的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《数学通报》2004（7），22的最小值（2

xyz

3xx2的最小值为12届“希望杯”全国数学邀请赛高

参 考 文 献

一培训题）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．数学教学，2004，1１．

第4篇：《复合函数的求导法则》教学反思

本节课首先复习复合函数的概念，再通过一个实例分析，巩固符合函数的概念，并通过具体的计算让学生观察复合函数的是如何求导的，并由此总结出复合函数的求导法则，体会特殊到一般的推理。由于高中阶段只研究内函数是一次函数的形式，所以，应向学生说明内函数不只是一次函数。由于推导过程中需要用到一些变形，学生不易观察出来，所以觉得比较抽象，学习积极性不高，情绪比较低落。而且，由于我讲课的时候，性子比较急，所以留给学生的观察时间不多，展现结果有点着急，学生可能有点“消化不良”。

为了让抽象的东西具体化，我讲解了两道例题。第一次授课时，我仅仅让学生观察例题中的函数是由哪两个函数复合而成并说出来，并没有形成板书，只根据求导法则写出了求导过程。所以在之后的练习中，发现学生掌握的不是很牢固。因此，第二次授课时，我吸取教训，让学生写出复合函数是由哪两个函数复合而成，再应用法则进行求导，虽然书写时间变长，但效果较好。

对于本节课，需要改进的地方很多：（1）引入新知识的节奏一定要放缓，不可操之过急，需循循善诱；（2）学生在做练习时，一般都会参考例题的形式写，所以教师在讲解例题时，板书形式要保持与例题一致，该有的步骤不能省，否则会给学生造成困惑。

第5篇：求等比数列的参数及证明等比数列

求等比数列的参数及证明等比数列

例

1、（Ⅰ）已知数列Cn，其中Cn2n3n，且数列Cn1pCn为等比数列，求常数p；

（Ⅱ）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cnanbn，证明数列Cn不是等比数列

分析：要求常数p使数列Cn1pCn为等比数列，可从等比数列的概念和基本性质入手进行推理运算．

解：（Ⅰ）因为Cn1pCn是等比数列，故有(Cn1pCn)2(Cn2pCn1)(CnpCn1)，将Cn2n3n代入上式，得

2n13n1p(2n3n)

22n23n2p(2n13n1)2n3np(2n13n1)，即(2p)2n(3p)3n

n1(2p)22(3p)3n1(2p)2n1(3p)3n1 

整理得

解得 1(2p)(3p)2n3n0，6p2或p3.（Ⅱ）设an、bn的公比分别为p、q，pq，Cnanbn

2欲证Cn不是等比数列，只需证C2C1C

3事实上，2C2(a1pb1q)

2a12p2b12q22a1b1pq

C1C3(a1b1)(a1p2b1q2)

a1pb1qa1b1(pq)222222

22由于pq，pq2pq，又a

1、b1不为零，因此 2C2C1C3，故Cn不是等比数列．

小结：本题主要考查等比数列的基础知识逻辑能力，第（2）题中证明一个数列不是等比数列，即证明数列中连续三项不满足等比中项的性质，利用反例证明使数学常用的一种方法．

第6篇：命题与证明导学案

命题与证明（2）

学习目标：

1、会区分定理，公理和命题。

2、了解证明的含义，体验证明的必要性。

重点：证明的含义和表述格式。

难点：按照规定格式表述证明的过程。

一、独学（课本77~78页）

1、所有推理的原始共同出发点是_________________________________。

2、几何推理中，把那些从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的____________叫做公理。（举例证明）

3、有些命题。它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的命题叫做_____________，推理的过程叫做_________________。

二、对学（要探究出因与果，会填写理由，会使用“∵”“∴”）

例1：已知直线c与直线a、b相交，且12，求证ab。

=180,OE平分AOB，OF平分BOC，求证例2：已知，如图AOBBOC

OEOF.注：

1、做题时要写“证明”二字，不能写“解”。

2、结对双方要共同探究各步的因果关系，一定要写出每一步的理由（即根据题目使用“∵”“∴”）。

3、对文字说明题，一定要根据题意写出“已知”、“求证”和“画出图形”最后给出证明。

三、群学（组内交流展示）

1、课本78页练习（1）（2）.

2、第79~80页练习（1）（2）.

四、拓展练习.证明：如图ABCD,DF平分CDB，BE平分ABD，求证：12。

五、小结收获.

六、作业：第83页第5题（1）（2）。

实验一：求导

证明

证明a

物种证明

注销证明