证明等差数列

第1篇：等差数列证明[推荐]

设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Sk

k(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22

(k1)(a1ak1)k(a1ak)

+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1

(n1)(a1an1)n(a1an),Sn

所以anSnSn1

n(a1a2)(n1)(a1an1)

 22

(n1)(a1an1)n(a1an)

同理有an1

从而an1an

(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)

n(a1an)

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.

第2篇：等差数列的证明

等差数列的证明

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

在新的数列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

证明：

an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以数列{an}是等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第3篇：等差数列的证明

一、等差数列的证明 利用等差（等比）数列的定义

在数列{an}中，若anan1d

二．运用等差中项性质

anan22an1{an}是等差数列

三．通项与前n项和法

若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列； 若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an等差数列；

例1.若Sn是数列an的前n项和，Snn2,则an是().Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｂ.等差数列，但不是等比数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列Ｄ.既非等比数列又非等差数列

练习：已知数列前n项和snn22n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

练习：设数列an的前n项的和Snn22n4,nN，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。

例2：已知数列an满足a11，an2an12

（Ⅰ）求证：数列nn2，an是等差数列； n2

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

练习：已知数列an满足a12，an1an，12an（Ⅰ）求证：数列1是等差数列； an（Ⅱ）求数列an的通项公式。

第4篇：证明等比等差数列

1．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

2.已知数列{an}中，a135，an21an1(n2,nN)，数列{bn}满足

bn1(nN)an1；

（1）求证：数列（2）求数列

{bn}是等差数列；

{an}的通项公式

na1,a2a23.在数列an中，1 n1n（1）设bnan,n1证明2bn是等差数列;（2）求数列an的通项公式。

4.设数列

{lgan}是等差数列；{an}的前n项和为Sn,a110,an19Sn10。

求证：

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求证：{1/Sn}是等差数列；（2）求an表达式；

第5篇：等差数列与等比数列的证明

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等差数列与等比数列的证明

作者：刘春建

来源：《高考进行时·高三数学》2013年第03期

一、考纲要求

1.理解等差数列的递推关系，并能够根据递推关系证明等差数列。

2.理解等比数列的递推关系，并能够根据递推关系证明等比数列。

3.能够利用等差中项和等比中项证明等差数列和等比数列。

二、难点疑点

1.在证明等差数列和等比数列的过程中，部分学生只是求出了等差数列和等比数列的通项公式，而没有利用递推关系或者等差、等比中项进行证明。

2.在用等比中项证明等比数列的时候，没有交代各项均不为零。

3.要注意整体思想在证明等差数列和等比数列中的灵活运用。

第6篇：等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；

（5）m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等差数列．

第7篇：等差数列

数列

（一）

----等差数列

一．等差数列的定义：anan1d(n2)

二．两个重要公式：

（1）通项公式ana1(n1)d；（推到：叠加法）

（2）前n项和公式sn

三．等差数列中的转化

1.联系基本量（知三求二）an(a1,d)Sn a1ann(n1)nna1d。（倒序相加）22

2.等差数列的重要性质

（1）anam(nm)d；

（2）当mnpq时,则有amanapaq（若bac，则称b为a与c的等差中项）；

2（3）sn,s2nsn,s3ns2n成等差数列；

n1s1ansnsn1n2（4）a1ansnn2

四．例题讲解

题型

一、等差数列的判断或证明 例1 设{an}是等差数列，求证：以bn=

等差数列.变式：数列{an}的前n项和Snn22n(nN*)判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论。

练习：设{an}是等差数列，证明数列{Aan}（A为常数）为等差数列。

第1页 a1a2an nN*为通项公式的数列{bn}为n1

2思考：已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

注意：判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自

anaa(n1为同一常数。(2)通项公式法。然数,验证nan

12(3)中项公式法:验证2ana(ana)nN都成立。1n1anann2

2题型

二、差数列的性质运算

例2（1）（2005福建卷）已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是

（）A．15 B．30 C．31 D．6

4（2）（2007辽宁卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．27

2变式

1、（2009海南卷）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138,则m（）

（A）38（B）20（C）10（D）9

2、（04年全国卷三.理3）设数列{an}是等差数列，且a26，a86，Sn是数列{an}的前n项和，则

（A）S4S5（B）S4S5（C）S6S5（D）S6S5 练习：

1、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，则aa1a2a380，a112131a（）

A．120 B．105C．90 D．7

52、（2007陕西卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

A．12B．18C．24D．

423、（2010辽宁文数）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33，S624，则a9

作业：

3159，，，，…的一个通项公式是（）222

21373A．2nB．2nC．2nD．2n 2222

2、下列四个命题：①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列a，a1，a2，1、等差数列a3是公差为a1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成ananb的形式（a、b为常数）；④数列2n1是等差数列．其中正确命题的序号是（）

A．①②B．①③C．②③④D．③④

3、C中，三内角、、C成等差数列，则（）

A．30、已知aB．60C．90 D．120 ，ba、b的等差中项是（）

B

C

A

D

5、已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can（c为常数，且c0）是（）

A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列

C．非等差数列D．以上都不对

6、在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于（）

A．10B．42C．43D．4

57、在等差数列an中，已知a1510，a4590，则a60等于（）

A．130 B．140 C．150 D．160

8、等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则a3a6 a9的值为（）

A．30 B．27C．24D．

219、在数列an中，若a11，an1an2n1，则an__________________．

10、48，a，b，c，12是等差数列中的连续五项，则a__________，b_________，c___________．

11、（2011全国Ⅱ理）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k（）

(A)8(B)7(C)6(D)

512、（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9

13、（2009辽宁卷理）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4

14、（2007湖北理8）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An7n45a，则使得n为整数的正整数n的个数是（）Bnn3bn

A．2B．3C．4D．5

第8篇：等差数列

等差数列

1等差数列的定义:

2定义式3等差中项

4通项公式

二．等差数列的判定

1.在数列{an}中，an4n1，求证：{an}是等差数列。

5等差数列的性质

6等差数列的前N项求和公式：

一.有关等差数列的计算: {an}是等差数列

1.a158,a6020,求a75;2.a312, d1, Sn15,求an，n；

3.a11, an512，Sn1022，求d；

2.已知数列{an}满足a14，an4

4an1

记b1

n

a n2

（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求数列{an}的通项公式；

三．等差数列性质的应用

1.已知等差数列{an}中，a1a4a715，a2a4a645，求通项公式；

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