交流电机试题

作者：Kara78355 | 发布时间：2023-12-19 10:32:48 收藏本文下载本文

1. 在交流电机的分析中，应如何选择坐标系统？

答：ABC坐标系，αβ0坐标系，120坐标系和空间向量坐标系为静止坐标系，dq0坐标系，fb0坐标系为旋转坐标系，转速与转子转速相同。在电机分析中，为了使电感矩阵称为对角矩阵且各个元素均为长沙，定子侧应选择静止坐标系，转子侧应选择旋转坐标系;对于隐极电机，可以选择αβ0坐标系，对于凸极同步电机，可以选择dq0坐标系;在实域分析时，可以选择ABC坐标系，αβ0坐标系，dq0坐标系，在复域分析时，可以选择120坐标系，空间向量坐标系，fb0坐标系，三相感应电机的电、磁两方面都为对称，用空间向量来表示电机的运动方程，形式比较简单清楚。

角速度为任意值的选择坐标系应用于某些特定的交流电机动态问题，如振荡问题，调速过程中的转矩控制问题等。

2.写出两相对称感应电机的运动方程。

图中，A、B为定子绕组轴线，a、b为转子绕组轴线，a相绕组轴线与A相绕组轴线间的夹角为θ。设定子绕组每相的自感为Lss，定子绕组两相间互差90°电角度，互感为0,转子绕组每相的自感为Lrr,转子绕组两相间互差90°电角度,互感为0。由于气隙均匀，且绕组对称，各相的自感相等。定转子之间的互感为MsrCosθ; 其中θ为定转子两个绕组轴线间的夹角; Msr为定转子两个绕组的轴线重合时互感的幅值。

磁链方程：

定子绕组：

$ψ_{A} = L_{ss} I_{A} + M_{sr} \cos θ I_{a} - M_{sr} \sin θ i_{b}$

$ψ_{B} = L_{ss} I_{B} + M_{sr} \sin θ I_{a} + M_{sr} \cos θ i_{b}$

转子绕组：

$ψ_{a} = L_{rr} I_{a} + M_{sr} \cos θ I_{A} + M_{sr} \sin θ i_{B}$

$ψ_{b} = L_{rr} I_{b} - M_{sr} \sin θ I_{A} + M_{sr} \cos θ i_{B}$

上面式子可以表示成：

$[\begin{matrix} ψ_{s} \\ ψ_{r} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} \\ M_{rs} & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{s} \\ I_{r} \end{matrix}]$

$L_{s} = [\begin{matrix} L_{ss} & 0 \\ 0 & L_{ss} \end{matrix}] {, L}_{s} = [\begin{matrix} L_{rr} & 0 \\ 0 & L_{rr} \end{matrix}], M_{sr} = M_{sr} [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}], M_{rs} = {M_{sr}}^{T}$

电压方程：

$[\begin{matrix} u_{s} \\ u_{r} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & 0 \\ 0 & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{s} \\ I_{r} \end{matrix}] + p [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} \\ M_{rs} & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} I_{s} \\ I_{r} \end{matrix}]$

其中 $R_{s} = [\begin{matrix} R_{s} & 0 \\ 0 & R_{s} \end{matrix}] {, R}_{r} = [\begin{matrix} R_{r} & 0 \\ 0 & R_{r} \end{matrix}]$

电磁转矩：

$T_{e} = p_{0} {I_{s}}^{T} \frac{\partial M_{sr}}{\partial θ} I_{r} = p_{0} M_{sr} [(I_{B} I_{a} - I_{A} I_{b}) cosθ - (I_{A} I_{a} + I_{B} I_{b}) sinθ]$

转矩方程：

$T_{e} = T_{L} + R_{Ω} Ω + J \frac{d Ω}{dt}$

3.推导转子abc坐标系与定子ABC坐标系间的变换矩阵。

答：根据投影可以得到：

$i_{A} = \cos θ i_{a} + \cos (θ + 120 °) i_{b} + \cos (θ - 120 °) i_{c}$

$i_{B} = \cos (θ - 120 °) i_{a} + \cos θ i_{b} + \cos (θ + 120 °) i_{c}$

$i_{C} = \cos (θ + 120 °) i_{a} + \cos (θ - 120 °) i_{b} + \cos θ i_{c}$

则 $i_{ABC} = {Ci}_{abc}$

$C = [\begin{matrix} \cos θ & \cos (θ + 120 °) & \cos (θ - 120 °) \\ \cos (θ - 120 °) & \cos θ & \cos (θ + 120 °) \\ \cos (θ + 120 °) & \cos (θ - 120 °) & \cos θ \end{matrix}]$

同理，反变换矩阵为 $C^{- 1} = [\begin{matrix} \cos θ & \cos (θ - 120 °) & \cos (θ + 120 °) \\ \cos (θ + 120 °) & \cos θ & \cos (θ - 120 °) \\ \cos (θ - 120 °) & \cos (θ + 120 °) & \cos θ \end{matrix}]$

4.推导三相感应电机转子a、b、c坐标系变换到定子A、B、C坐标系时的运动方程。假定定转子三相电流之和等于零。

答：

磁链方程：

在ABC-abc坐标系，

$Ψ_{s} = L_{s} i_{s} + M_{sr} i_{r}$

$Ψ_{r} = M_{rs} i_{s} + L_{r} i_{r}$

将第三题里的 $i_{r} = {C^{- 1} i}_{rs}$

带入上式

得：

$Ψ_{s} = L_{s} i_{s} + M_{sr} {C^{- 1} i}_{rs}$

$Ψ_{rs} = C M_{rs} i_{s} + {CL}_{r} {C^{- 1} i}_{rs}$

其中： $i_{s} = [\begin{matrix} i_{A} \\ i_{B} \\ i_{C} \end{matrix}]$

$i_{rs} = [\begin{matrix} i_{rA} \\ i_{rB} \\ i_{rC} \end{matrix}]$

指的是转子电流变到定子坐标系中的值

$M_{sr}^{'} = M_{sr} C^{- 1} = M_{sr} [\begin{matrix} \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} \end{matrix}]$

$M_{rs}^{'} = {(M_{sr}^{'})}^{T} = M_{sr}^{'}$

$L_{r}^{'} = C L_{r} C^{- 1} = (L_{rr} + M_{r}) [\begin{matrix} \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} \end{matrix}]$

令D= $[\begin{matrix} \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{- 3}{4} \\ \frac{- 3}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{3}{2} \end{matrix}]$

则 $M_{sr}^{'} = M_{sr}^{'} D$

，

$M_{rs}^{'} = {(M_{sr}^{'})}^{T} = M_{sr}^{'} ， L_{r}^{'} = (L_{rr} - M_{r}) D$

$[\begin{matrix} Ψ_{s} \\ Ψ_{rs} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr}^{'} \\ M_{rs}^{'} & L_{r}^{'} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s} \\ i_{rs} \end{matrix}]$

电压方程：

在ABC-abc坐标系中， $[\begin{matrix} u_{s} \\ u_{r} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & O \\ O & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s} \\ i_{r} \end{matrix}] + p [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} \\ M_{rs} & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s} \\ i_{r} \end{matrix}]$

把下面式子代入上面式子

$i_{r} = C^{- 1} i_{rs}$

$u_{r} = C^{- 1} u_{rs}$

得到： $C^{- 1} u^{'} = R (C^{- 1} i^{'}) + L \frac{d (C^{- 1} i^{'})}{dt} + \frac{\partial L}{\partial θ} \dot{θ} (C^{- 1} i^{'})$

两边同乘以C得：

$u^{'} = (CR C^{- 1}) i^{'} + ({CLC}^{- 1}) \frac{d i^{'}}{dt} + CL \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} \dot{θ} i^{'} + C \frac{\partial L}{\partial θ} C^{- 1} \dot{θ} i^{'} = R^{'} i^{'} + L^{'} \frac{d i^{'}}{dt} + (V^{'} + F^{'}) {\dot{θ} i}^{'}$

$[\begin{matrix} u_{s} \\ u_{rs} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{S} & O \\ O & R_{r}^{'} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s} \\ i_{rs} \end{matrix}] + p [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr}^{'} \\ M_{rs}^{'} & L_{r}^{'} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s} \\ i_{rs} \end{matrix}]$

其中 $R^{'} = CR C^{- 1} = [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] [\begin{matrix} R_{s} I & R_{s} I \end{matrix}] [\begin{matrix} I & C^{- 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} I & R_{s} D \end{matrix}]$

$L^{'} = CL C^{- 1} = [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} \\ M_{rs} & L_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} I & C^{- 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} C^{- 1} \\ C M_{rs} & C L_{r} C^{- 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} D \\ M_{sr} D & (L_{rr} + M_{r}) D \end{matrix}]$

$F^{'} = C \frac{\partial L}{\partial θ} C^{- 1} = [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & \frac{\partial M_{sr}}{\partial θ} \\ \frac{\partial M_{rs}}{\partial θ} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} I & C^{- 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & \frac{\partial M_{sr}}{\partial θ} C^{- 1} \\ C \frac{\partial M_{rs}}{\partial θ} & 0 \end{matrix}]$

$\frac{\partial M_{sr}}{\partial θ} C^{- 1} = - M_{sr} [\begin{matrix} \sin θ & \sin (θ - 120 °) & \sin (θ + 120 °) \\ \sin (θ + 120 °) & \sin θ & \sin (θ - 120 °) \\ \sin (θ - 120 °) & \sin (θ + 120 °) & \sin θ \end{matrix}] C^{- 1} = \sqrt{3} M_{sr} [\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$C \frac{\partial M_{rs}}{\partial θ} = - M_{rs} C [\begin{matrix} \sin θ & \sin (θ + 120 °) & \sin (θ - 120 °) \\ \sin (θ - 120 °) & \sin θ & \sin (θ + 120 °) \\ \sin (θ + 120 °) & \sin (θ - 120 °) & \sin θ \end{matrix}] = \sqrt{3} M_{sr} [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]$

$V^{'} = CL \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} = [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] [\begin{matrix} L_{s} & M_{sr} \\ M_{rs} & L_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & M_{sr} \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} \\ 0 & C L_{r} \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} \end{matrix}]$

其中，

$M_{sr} \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} = \sqrt{3} M_{sr} [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]$

$C L_{r} \frac{\partial C^{- 1}}{\partial θ} = \sqrt{3} (L_{rr} + M_{r}) [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]$

进一步表示成：

$u^{'} = R^{'} i^{'} + L^{'} \frac{d i^{'}}{dt} + G^{'} \dot{θ} i^{'}$

其中， $G^{'} = (V^{'} + F^{'}) = [\begin{matrix} O & O \\ \sqrt{3} M_{sr} [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}] & \sqrt{3} (L_{rr} + M_{r}) [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}]$