中学数学教学设计
中国学生发展核心素养
中国学生发展核心素养研究以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为十八个基本要点。
核心素养一：人文底蕴
1、人文积淀
具有古今中外人文领域基本知识和成果的积累；能理解和掌握人文思想中所蕴含的认识方法和实践方法等。
2、人文情怀
具有以人为本的意识，尊重、维护人的尊严和价值；能关切人的生存、发展和幸福等。
3、审美情趣
具有艺术知识、技能与方法的积累；能理解和尊重文化艺术的多样性，具有发现、感知、欣赏、评价美的意识和基本能力；具有健康的审美价值取向；具有艺术表达和创意表现的兴趣和意识，能在生活中拓展和升华美等。
素心素养二：科学精神
1、理性思维
崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法；尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等。
2、批判质疑
具有问题意识；能独立思考、独立判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等。
3、勇于探究
具有好奇心和想象力；能不畏困难，有坚持不懈的探索精神；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等。
核心素养三：学会学习
1、乐学善学
能正确认识和理解学习的价值，具有积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法；能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。
2、勤于反思
具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验；能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法等。
3、信息意识
能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息；具有数字化生存能力，主动适应“互联网”等社会信息化发展趋势；具有网络伦理道德与信息安全意识等。
核心素养四：健康生活
1、珍爱生命
理解生命意义和人生价值；具有安全意识与自我保护能力；掌握适合自身的运动方法和技能，养成健康文明的行为习惯和生活方式等。
2、健全人格
具有积极的心理品质，自信自爱，坚韧乐观；有自制力，能调节和管理自己的情绪，具有抗挫折能力等。
3、自我管理
能正确认识与评估自我；依据自身个性和潜质选择适合的发展方向；合理分配和使用时间与精力；具有达成目标的持续行动力等
核心素养五：责任担当
1、社会责任
自尊自律，文明礼貌，诚信友善，宽和待人；孝亲敬长，有感恩之心；热心公益和志愿服务，敬业奉献，具有团队意识和互助精神；能主动作为，履职尽责，对自我和他人负责；能明辨是非，具有规则与法治意识，积极履行公民义务，理性行使公民权利；崇尚自由平等，能维护社会公平正义；热爱并尊重自然，具有绿色生活方式和可持续发展理念及行动等。
2、国家认同
具有国家意识，了解国情历史，认同国民身份，能自觉捍卫国家主权、尊严和利益；具有文化自信，尊重中华民族的优秀文明成果，能传播弘扬中华优秀传统文化和社会主义先进文化；了解中国共产党的历史和光荣传统，具有热爱党、拥护党的意识和行动；理解、接受并自觉践行社会主义核心价值观，具有中国特色社会主义共同理想，有为实现中华民族伟大复兴中国梦而不懈奋斗的信念和行动。
3、国际理解
具有全球意识和开放的心态，了解人类文明进程和世界发展动态；能尊重世界多元文化的多样性和差异性，积极参与跨文化交流；关注人类面临的全球性挑战，理解人类命运共同体的内涵与价值等。
核心素养六：实践创新
1、劳动意识
尊重劳动，具有积极的劳动态度和良好的劳动习惯；具有动手操作能力，掌握一定的劳动技能；在主动参加的家务劳动、生产劳动、公益活动和社会实践中，具有改进和创新劳动方式、提高劳动效率的意识；具有通过诚实合法劳动创造成功生活的意识和行动等。
2、问题解决
善于发现和提出问题，有解决问题的兴趣和热情；能依据特定情境和具体条件，选择制订合理的解决方案；具有在复杂环境中行动的能力等。
3、技术运用
理解技术与人类文明的有机联系，具有学习掌握技术的兴趣和意愿；具有工程思维，能将创意和方案转化为有形物品或对已有物品进行改进与优化等。
发展核心素养的意义：
核心素养之于学生的发展,具有根源性和支撑性的作用,它是学生发展之根基,是学生发展的支柱,支撑着学生未来发展。核心素养的培养,让学生有带得走的必备品格和关键能力,走向人生,走向未来。核心素养的提出,让课程改革充溢着新的生命活力,丰富了内涵让以人为本、以学生发展为核心的理念进步彰显。核心素养与课程改革的深化有着直接的、深度的关联。这种直接、深度的关联主要体现为,它规定了课程改革的方向与宗旨,是课程改革的核心目标,是教材编写、教育教学、考试评价、制度管理的根本依据。培养和发展学生的核心素养,是国家发展战略,尤其是国家人才发展战略在教育改革领域的主要体现和具体要求,同时,也是培育和践行社会主义核心价值观这一根本任务在教育领域落实的重要措施和必要途径。
数学学科核心素养
学科核心素养是育人价值的集中体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力,数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质关键能力以及情感、态度与价值观的綜合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想隶、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素玩相对独立、又相互交顾,是个有机的整体
1. 数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性属维的量要基础,反应了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习,学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题
2. 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比,一类是从一到特殊的推理,推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
逻辑推理主要表现为:握推理基本形式和规则,发现问题和提出命题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习,学生能掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,把捏事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,增强交流能力。
3. 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语亩表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题。
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力。
数学建模主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习,学生能有意识地用数学语言表达现实世界,发现和提出问题,感悟数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题,积累数学实践的经验，认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多領域的作用,提升实践能力,增强创新意识和科学精神。
4. 直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养。主要包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形捕述、分析数学问题建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。
直观想念是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习,学生能提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质。
5.数运运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问題的素养。主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果。
通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
6、数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术,是大数据时代数学应用的主要方法,也是“互联网+”相关领域的主要数学方法,数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为:收集和整理数据,理解和处理数据,获得和解释结论,概括和形成知识
通过高中数学课程的学习,学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力;适应数字化学习的需要,增强基于数据表达现实问题的意识,形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
教学模式
教学模式的含义
数学教学模式是指在一定的教育思想、数学课程理念的指导下,针对数学教学内容为实现教学目标所形成较稳定简明的教学活动的框架式样
常用教学模式
讲练结合，引导探究，讨论交流，指导自学，复习总结
课堂教学常见的教学模式：
①讲授式教学模式。讲度式教学模式也被称为“讲解一传授’模式或“讲解一接受“模式,自20世纪如年代以来,一直在我国中小学数学课堂教学中占有重要的位置。
2.讨论式教学模式。讨论式教新学模式自古就有，孔子与门徒讨论，苏格拉底与学生对话都是讨论。
③学生活动式教学模。活动式学生模式就是学生在教师的指导下， 通过实验(游戏参观、看电影和幻灯等活动形式包括通过感官和肢体动作，全身心地投入数字活动，以获取数学知识，提高数学能力的一种教学模式。
4.探究式教学模式。探究式教学模式也称为”引导一发现”模式，其主要目标是学习发现问题的方法，培养、提高创造性思维能力。
5.发现式教学模式。发现式教学模式是指学生在教师的指导下通过阅读、观察实验、思考、讨论等方式像数学家那样去发现问题研究问题，进而解决问题、总结规律，成为知识的发现者。
发展趋势:
(1)教学模式的理论基础进一步加强
(2)教学模式由“以教师为中心逐步”转向更多的“学生参与。
(3)现代教育技术成为改变传统教学模式的一个突破口。
(4)教字模式由单一化走向多样化和综合化，
(5)研究性字习列入课程之后,随着“创新教育”的倡导，探究和发现的数学教学模式将会有一个大的发展。
加涅ADDIE教学设计模型
一、ADDIE模型是什么？
ADDIE是指一套有系统地发展教学的方法。主要包含了：
① 要学什么？即学习目标的制定；
② 如何去学？即学习策略的运用；
③ 如何判断学习者已到达学习成效？即学习评量的实施。
在ADDIE五个阶段中，分析与设计属前提，发展与执行是核心，评估为保证，三者互为联系，密不可分。ADDIE模型是目前课程设计中最为经典的一个理论模型。
ADDIE五个字母分别表示：Analysis（分析）、Design（设计）、Develop（开发）、Implement（实施）、Evaluate（评价）。
Analysis—分析。对教学所要达到的行为目标、任务、受众、环境、绩效目标等等进行一系列的分析。
Design—设计。对将要进行的教学活动进行课程设计。
Development—开发。针对已经设计好的课程框架、评估手段等，进行相应的课程内容撰写、页面设计、测试等。
Implement－实施。对已经开发的课程进行教学实施，同时进行实施支持。
Evaluation—评估。对已经完成的教学课程及受众学习效果进行评估。
二、ADDIE模型如何用？
具体使用ADDIE模型时，可参考图提供的ADDIE操作流程。
三、对ADDIE模型的评价
优势：（1）具有清晰的学习目标，精确架构的内容；
（2）为确定需求、设计和开发、实施和评估提供了系统化流程；
（3）具有系统性和针对性，避免了片面性和盲目性。
局限：
（1）过多考虑内容的设计与开发，忽略了“交互”；
（2）没有明确的指南以帮助人们做出决策；
（3）设计开发步骤过于复杂，不够灵活。
数学原理性知识教学
数学原理教学的几种形式
学习数学原理不仅要学会原理的言语性知识,还要掌握原理的程序性知识。在数学原理课堂教学中一般有两种教学形式,即由原理到例子的教学和由例子到原理的教学。
由例子到原理的教学是教师先向学生提供丰富的例子,通过教师的适时指导,使学生从例证中顺利、准确地归纳总结出一般结论。这是一种独立发现式学习,对学习者认知水平要求较高,简称为“例子一原理法”。
由原理到例子的教学误教师先向学生呈现数学原理,让学生在掌握构成原理的各个概念、原理的基础上,运用实例来说明原理的准确性(有时需要逻辑证明),并指导学生运用原理解决问题,从而让学生掌握住原理。这是一种接受式学习,简称“原理一例子法”。对学习者认知水平要求不高,初中数学教学过程中主要取原理到例子的教形式,在掌握数学原理本质的基础上运用大量的例证说明原理所反映的关系。
因此，数学原理性知识的教学设计应该分为两步走.即原理结论的发现过程与原理结论的证明过程，数学教师尤其要重视原理结论发现这一步(数学教育理论家对这一过程是非常重视的).数学原理性知识教学准备工作的一般环节应该从以下三个次第层面入手：
1.精心设置“初始问题”
通过上述的具体分析我们认识到，数学原理性知识教学设计的第一个要点是:在探究原理结论时，教师要下足功夫鼓婚学生从数学化信息中(至少需要教师自己向学生)提出一个合适的“初始问题"。由前面的论述可知，这个环节特别重要。提出“初始问题"又可以分为两种途径:其一，教师直接向学生提出合适的“初始问题";其二,教师向学生提供相关数学化信息，鼓励学生仔细分析这些信息，从而启发学生从分析得出的结论中提出相应的恰当有效的“初始问题".第二种途径优于第一种的.
2启发学生萌生数学观念及其转化为解决问题的具体数学方法
数学原理性知识教学设计的第二个要点在于:对于稍微复杂些的数学原理性知识内容,从所设置的“初始问题"过渡到关于这个知识点的结论(证明之前产生的命题)，中间必然要经过某些数学观念的转化，才有可能成功也就是说。在解决“初始问题"的过程中，学生熟悉的那个(或几个)最容易首次直接出现的指令操作行为的“数学观念“往往(甚至可以肯定地说)是无效的，必须要摒弃这个首次出现的“数学观念"，从相关的数学化信息的问题所规定好了的材料中形成新的“过渡性问题”，在这个过渡性问题的刺激下，萌生新的“数学观念”，有关原理性知识合题结论的发现必须由这个(些)新的数学观念指令，在这个(些)新的“数学观念”的指令下，才可以达到目的。
3在命题结论发现过程中 为寻找逻辑证明的途径创造有利条件
数学原理性知识教学设计的第3个要点在于:从“初始问题”过渡到合适结论(命题)的发现过程中,力求为这个原理结论(命题)的证明创造有利条件,诸如做好利于发现证明思路的合适表征、提示证明将要采用的数学方法等。当然，由于具体知识的特点不同，决定了这种创造条件活动的方式也不同，有些知识的探究发现活动已经清晰地产生了证明结论的思路(如教科书中有关“一项式定理”派王的提示) .发现的过程同时就是证明的过程:但有流他中心而国那心唐只是要师暗转意我知识不是这样的(如下文的“正强定理”的课常青行师常信通面看空遭行道看师堂重例)，如此安持，不仅形成了发现活动与证明活动之间的紧密联系，还加强了课堂教学活动之间的结构性和情节性，更为重要的是，可以为课堂教学侧重点置于发现话动中提供时间的保证。
勾股定理教学设计
教材的地位与作用
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位;它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值，是几何中重要定理之一,是学生后续学习的重要基础。
学生特征分析
1、学生已学习了三角形、实数等的有关知识,具有一定的分析问题和解决问题的能力。
2、学生具有一定的形象思维能力和初步的逻辑推理能力以及初步的抽象思维能力。
3、学生对勾股定理有所耳闻,但并不系统、不深入,不会证明。
教学目标
1、掌握勾股定理,通过动手实践,理解勾股定理的证明过程,能利用勾股定理简单计算。
2、培养提高观察、抽象、概括能力、创造想象能力,动手操作能力以及科学探究问题的能力。
3、在探索勾股定理的过程中,经历观察、猜想、归纳、验证的数学思想,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、介绍中国古代在勾股定理研究方面取得的伟大成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的情感,激励学生发奋学习。
教学重难点:
重点:经历探索和验证勾股定理的过程,会利用两边求直角三角另一边。
难点:勾股定理的证明
教具学具的准备:
多媒体,学生准备两个不等边长的正方形卡纸,剪刀,双面胶
教学过程
一、创设情境,导入新课
1、多媒体展示2002年国际数学家大会会徽。
2、导言:为什么2002年国际数学家大会会徽,会选用这个图案呢?让我们一起走进今天的课堂来解开这个谜吧
二、观察交流,探索新知
1、讲述毕达哥拉斯到朋友家做客观察地面图案反映了等腰直角三角形三边的特殊关系。
(多媒体课件展示地面图案中的图形,即课本72页图18.1--1)
2、引导学生讨论总结:等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方。
3、思考:如果是其他一般的直角三角形,它的三边之间是否也具备这种特殊的关系呢?
(多媒体展示课件课本73页图18.1-2)
(1)学生回答计算图中正方形的面积。
(2)a2+b2与c2的关系。
4、归纳总结:一般的以整数为边长的直角三角形,也有两直角边的平方和等于斜边的平方
三、归纳验证,得出定理
1、学生猜想出命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2= c2
2、介绍古人赵爽及其弦图。(多媒体播放古人赵爽及其弦图)
3、学生小组合作:利用准备好的两个不等边长的正方形卡纸剪一剪、拼一拼,体验古人赵爽的证法。
4、学生展示利用弦图进行证明。(小组代表到前面展示)
5、通过验证,得出勾股定理并指出“勾、股、弦”的含义
6、揭开为什么24届国际数学家大会会徽图案选用赵爽弦图,对学生进行爱国主义教育。
四、应用知识,回归生活
1、多媒体出示例题(课本74页探究1)
2、学生尝试回答完成
五、总结收获,布置作业
1、通过本节课的学习,你有哪些收获?
2、作业:课本77页习题第一题,78页第二题
板书设计
余弦定理教学设计
一、教学目标
认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；
能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。
难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。
三、学情分析和教学内容分析
在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。
四、教学过程
环节一 【创设情境】
1、复习引入
让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。
2、情景引入
如图1，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
学生不难将这个实际问题转化到数学问题：
已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能使用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。
环节二 【导入新课】
问题：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。
教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演示结果。
如图2，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．
如图3，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．
经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2。
环节三 【新课探究】
探究1、在上一个问题中，我们已经知道，当∠C≠90°时，c2≠a2+b2。那么c2与a2+b2到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究。
教师引导学生分组合作学习，可让几个小组的学生研究当∠C为锐角时的结论，另外的小组研究当∠C为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。
如图4，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；
在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．
所以，AB2=AD2+BD2化为
c2=(b－acosC)2+(asinC)2，
c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，
c2=a2+b2－2abcosC．
可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系。
如图5，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D。
△ACB是两个直角三角形之差。
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．
在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．
BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．
所以AB2=AD2+BD2化为
c2=(AC+CD)2+BD2
=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2
=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)
=b2+2abcos(π－C)+a2．
因为cos(π－C)=－cosC，所以也可以得到c2=b2+a2－2abcosC。
教师点拨：以上两种情况，我们可以考察向量
在向量
方向上的正射影的数量：当
∠C分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反；当∠C是直角的时候，其向量
在直角边上的正射影的数量为零。因此，无论是∠C是锐角、直角还是钝角，都有
,
在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2=a2+b2－2abcosC，我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到
a2=b2+c2－2bccosA．
b2=c2+a2－2accosB．
于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容）
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
从以上的公式中解出
,则可以得到余弦定理的另外一种形式：
从以上分析过程，我们对∠C不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认识到，∠C为锐角和钝角时都有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中经常用到。
探究2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路提示。
教师点拨学生的思路，可以让学生分组讨论、探究，最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。
如图6，在△ABC中，设
，
教师点评：对于探究1，我们分∠C是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂；对于探究2，我们应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理，这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。
探究3、余弦定理在解三角形中的应用
教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？
（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：⑴已知三角形的两边及其夹角，求第三边；⑵已知三角形的三边，求三个内角。）
下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多媒体展示例题）
例1、在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120O,求c.
例2、在△ABC中，已知a=3,b=2,c=
,求此三角形三个内角的大小及其面积（精确到0.1）.
例3、△ABC的定点为A(6,5),B(-2,8),和C(4,1),求∠A(精确到0.1).
双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。
环节四 【练习与巩固】
环节五 【课堂反思总结】
环节六 【布置课后作业】
通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）
1、余弦定理的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；
2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；
3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。
（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）
五、教学反思
1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。
2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。
3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。
4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。
5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。
6、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题，教师及时的加以纠正，使教学更具针对性。
结合导数，分析如何在教学中培养数学抽象素养
一、【教材分析】
1. 本节内容：
《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.
2. 导数在高中数学中的地位与作用：
“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.
二、【学情分析】
1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．
2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．
三、【目标分析】
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具
体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量
的函数
当
时极限是否存在以及极限是什么的问题.
四、【教学法分析】
1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
2. 教学手段：多媒体辅助教学
【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．
五、【教学过程分析】
【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.
（一）教学环节
数学抽象是指舍去事物的一-切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学抽象主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。数学抽象能力的提高，能促使学生更好地理解数学概念、命题、方法和体系，有利于进一步去认识、理解、把握事物的数学本质。学生抽象概括能力越高，在学习中的迁移能力就越强，对新的知识的理解和掌握也就越快，他们的逻辑思维水平才能真正提高。
培养学生的数学抽象：1.概念教学要从实例出发，培养观察、发现和归纳的能力。2.培养学生类比联想能力。3.加强数学符号语言的训练。4.鼓励学生大胆猜想，促进抽象思维的发展。5.鼓励学生提出问题，培养问题意识。6.加强数学运算能力的培养，促进数学抽象的发展。7.重视数学应用和数学建模的训练。
数学归纳法教学设计
教材背景：
归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数
有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．
教学课题：数学归纳法
教材分析：
“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。
教学目标
1、知识和技能目标
(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）
(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。
(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。
2、过程与方法目标
通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标
通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
教学重点和难点
教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质 。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
教学难点：
（1）数学归纳法的原理；
教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法
教学过程：
（一）复习引入
问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）
问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）
（二）新课讲解
1、多米诺骨牌实验
要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
（1）第一张牌被推倒 （奠基作用）
（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）
于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
例1、证明：
证明：（1）当
时，左边=2，右边=2，等式成立。
（2）假设
时等式成立，即
那么，当
时，
所以，
时等式也成立。
由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数
都成立。
2、归纳总结
数学归纳法证明步骤：
(1)验证当
取第一个值
（如
=1或2时）命题正确。
(2)假设当
时
命题正确，证明
时命题也正确。
3．基础反馈
①用数学归纳法证明：
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ C ）
A．1 B.
C．
D.
②用数学归纳法证明命题时，假设
那么
③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？
证明：
证明：（1）当
时，左边=1，右边=
等式成立
（2）假设当
时等式成立即
当
时代入
得
所以当
时等式成立
由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
（三）、课堂小结
（1）理解数学归纳法的原理
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。
（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。
（四）、作业 : P37 2 P39 1
（五）、课后练习及探究:
练习：P37 (1)、(3)
探究：下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？
证明：（1）当
时 左边= 右边
（2）假设当
时命题成立即
那么
时, 左边
=右边
即
时命题成立
由（1）和（2）知，对一切自然数命题均成立。
（六）、预习：用数学归纳法证明不等式
（七）、课后反思
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
