2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第三次调研考试数学试题及答案

绝密★启用前 0 2020 届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期第三次调研考试数学试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题 1．已知集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则 A B＝_______． 答案：{﹣1，0，1，2} 直接利用集合的并集运算求解.解：

∵集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A B＝{﹣1，0，1，2}． 故答案为：{﹣1，0，1，2} 点评：

本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．设复数 z 满足(3﹣i)z＝10，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是_______． 答案：1 先利用复数的除法求出复数 z，再求复数的模得解.解：

∵(3﹣i)z＝10，∴10 10(3)3 10 10 3 10 10i3(3)(3)10 10 10i izi i i       ，∴2 23 10 10()()110 10z   ． 故答案为：1 点评：

本题主要考查复数的除法运算和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是____．

答案：

5 由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件2k 4k 0， 模拟程序的运行结果，即可得到输出的 k 值 解：

模拟执行程序，可得 k=1 不满足条件2k 4k 0,   执行循环体，k=2 不满足条件2k 4k 0,   执行循环体，k=3 不满足条件2k 4k 0,   执行循环体，k=4 不满足条件2k 4k 0,   执行循环体，k=5 满足条件2k 4k 0,   退出循环，输出 k 的值为 5 故答案为 5 点评：

本题考查程序框图的应用，明确每次循环，准确判断何时结束循环是关键，是基础题 4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了 20 名学生，则 n 的值是_______． 答案：55 根据分层抽样每个个体入样的可能性相同，计算可得； 解：

依题意可得20(4 4 3)554    ．

故答案为：

55 点评：

本题考查分层抽样的应用，属于基础题.5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种,则恰好选出 1 药 1 方的概率是_______.答案：35 根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可.解：

从“三药三方”中随机选出 2 种共2615 C  个基本事件,其中 1 药 1 方的事件数有1 13 39 C C  个.故概率 P＝9 315 5.故答案为：35 点评：

本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题.6．在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2 ＝4x 的准线是双曲线2 2212x ya (a＞0)的左准线,则实数 a 的值是_______． 答案：2 根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.解：

因为抛物线 y2 ＝4x 的准线是双曲线2 2212x ya (a＞0)的左准线,故2212aa  ,即  2 4 2 22 2 1 0 a a a a      ,因为 0 a  故解得 a＝2 ． 故答案为：2 点评：

本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.7．已知5cos()13   ，3sin5 ，， 均为锐角，则 sin  的值是_______． 答案：3365

计算得到12sin()13   ，4cos5 ，再利用和差公式计算得到答案.解：

∵ ， 均为锐角，∴   0,     ，从而 sin()0    ，cos 0  ，∵5cos()13   ，3sin5 ，∴12sin()13   ，4cos5 ，∴ sin sin[()] sin()cos cos()sin                  12 4 5 3 3313 5 13 5 65    .故答案为：3365.点评：

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8．公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为 V 1 ,正方体的体积为 V 2 ,则12VV的值是_______． 答案：56 设正方体的棱长为 2a 即可得出 V 2 ,再利用总体积减去正方体八个角上的三棱锥的体积求出 V 1 ,继而得出12VV即可.解：

解析：设正方体的棱长为 2a, 则 V 2 ＝8a3 , 2 3 3 31 21 1 4 208 83 2 3 3V V a a a a a         ，故313220538 6aVV a ． 点评：

本题主要考查了空间几何体的体积问题,属于基础题.9．已知 x＞1，y＞1，xy＝10，则1 4lg lg x y的最小值是_______． 答案：9 依题意可得 lg lg 1 x y  ，再由基本不等式计算可得； 解：

∵ 10 xy  , 1 x  ,1 y ，∴ lg lg 1 x y  ，lg 0 x ，lg 0  y，所 以1 4 1 4 l g 4 l g l g 4 l g()(l g l g)5 5 2l g l g l g l g l g l g l g l gy x y xx yx y x y x y x y         5 2 4 9   ，当且仅当lg 4lglg lgy xx y，即1310 x 时取“＝”． 故答案为：

9 点评：

本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题.10．已知等比数列  na 的前 n 项和为nS ,若24S ,4S ,32S  成等差数列,且2 32 a a   ,则6a 的值是_______． 答案：

32  根据等差等比数列的性质列式求解得 2 q   ,再利用等比数列各项的关系求解6a 即可.解：

∵24S ,4S ,32S  成等差数列,∴4 2 32 4 2 S S S   ,即4 2 2 3S S S S    , 所以3 4 3a a a   ,故432aa .∴ 2 q  .又2 32 a a   ,则  21 2 2 a   ,所以22 a  ,46 232 a a q   ． 故答案为：

32 

点评：

本题主要考查了等比数列的简单性质,等差中项的运用等,属于基础题.11．海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 S △ABC ＝()()()p p a p b p c   ，其中2a b cp ，若 a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径 r 的值是_______． 答案：2 63 首先根据海伦公式求得三角形 ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形 ABC的内切圆.解：

5 6 792 2a b cp     ，S △ABC ＝ 9(9 5)(9 6)(9 7)6 6       ，由于  12ABCS a b c r   ，所以2 2 6 6 2 65 6 7 3Sra b c     ． 故答案为：2 63 点评：

本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题.12．如图,△ABC 为等边三角形,分别延长 BA,CB,AC 到点 D,E,F,使得 AD＝BE＝CF．若 BA2AD ,且 DE＝13 ,则 AF CE 的值是_______． 答案：92 设 AD＝x,再在△BDE 中根据余弦定理求解得出 1 x  ,再利用数量积公式求解 AF CE即可.解：

易知△DEF 也为等边三角形,设 AD＝x,则 BD＝3x, △BDE 中,由余弦定理得：

   22113 3 2 32x x x x       ,解得 x＝1, 故 BD＝3,则9AF CE 3 3 cos1202       ． 故答案为：92 点评：

本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题.13．已知函数22(1), 0()2 , 0k xf x xx k x   ,若函数()()()g x f x f x    有且仅有四个不同的零点,则实数 k 的取值范围是_______． 答案：

  27, 根据题意可求得222, 0()4 , 02, 0kx k xxg x k xkx k xx       ,再分 0, 0, 0 k k k    三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.解：

由题, 2221 2 , 0()2 2 , 022 1 , 0k x k xxg x k k xx k k xx                  ,即222, 0()4 , 02, 0kx k xxg x k xkx k xx       , 当 k＝0 时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故 k≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(), 0kg x x k xx    有且仅有两个不同的零点, 当 k＜0,函数()g x 在(0, )单调递增,最多一个零点,不符题意,舍； 当 k＞0,322()(), 0x kg x xx   ，令()0 g x 有13x k ,故 x(0,13k)13k(13k, )()g x  ﹣ 0 ﹢()g x 单调递减 单调递增 要使()g x 在(0, )有且仅有两个不同的零点, 则1 23 3min 132()()0kg x g k k kk    ,因为 0 k  ,故2 13 33 3 k k k   ,解得 k＞27, 综上所述,实数 k 的取值范围是(27, )． 故答案为：(27, )点评：

本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.14．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2，﹣6)作直线交圆 O：x2 ＋y 2 ＝16 于 A，B 两点，C(0x，0y)为弦 AB 的中点，则2 20 0(1)(3)x y    的取值范围是_______． 答案：[10，42)求出点 C 的轨迹，转化条件2 20 0(1)(3)x y    为点 C(0x，0y)到点   1,3 Q  距离，数形结合即可得解.解：

因为 C(0x，0y)为弦 AB 的中点，所以 OC PC ，圆 O：x2 ＋y 2 ＝16 的圆心为  0,0 O，半径为 4，所以 4 36 2 10 OP   ，OP 的中点   1, 3 T ，C 在以 OP 为直径的圆即圆2 2:(1)(3)10 T x y     上，且 C 在圆 O 内，如图所示，圆 T 上的劣弧EF（不含端点）即为 C 的轨迹，2 20 0(1)(3)x y    可转化为点 C(0x，0y)到点   1,3 Q  距离，由图可知，min10 10 CQ TQ    , 联立方程   2 22 21 3 1016x yx y      可得4 6 6512 2 65xy 或4 6 6512 2 65xy ，所以点4 6 6 12 2 6,5 5E      ，4 6 6 12 2 6,5 5F      ，所以2 24 6 6 12 2 6(1)(3)425 5EQ FQ       ，所以2 20 0(1)(3)x y    的取值范围是[ 10，42)． 故答案为：[10，42).点评：

本题考查了直线与圆的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.二、解答题 15．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若5(sinC sinB)5sinA 8sinBa b c ．（1）求 cosC 的值；

（2）若 A＝C，求 sinB 的值． 答案：（1）45（2）2425（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由（1）4cos5C ，由同角三角函数的基本关系求出 sinC，再由诱导公式及二倍角公式计算可得； 解：

（1）由 正 弦 定 理 ：sin sin sina b cA B C ，且5(s i n C s i n B)5 s i n A 8 s i n Ba b c 得5()5 8 c b a ba b c ，整理得：

 2 2 25 8 a b c ab   ，故由余弦定理：2 2 24cos2 5a b cCab   ；（2）由（1）4cos5C ，又 C 为△ABC 内角，故23sin 1 cos5C C   ，A C ，则24sin sin()sin()sin2 2sin cos25B A C A C C C C          ． 点评：

本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.16．如图,在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,AC⏊BC,D,E 分别是 A 1 B 1 ,BC 的中点．求证：

（1）平面 ACD⊥平面 BCC 1 B 1 ；（2）B 1 E∥平面 ACD． 答案：（1）见解析（2）见解析(1)根据直三棱柱的性质,证明1, AC BC AC CC   进而得到 AC 平面1 1BCC B 即可.(2)取 AC 中点 F,连结 EF,DF,再证明四边形 B 1 DFE 为平行四边形即可.解：

证明：（1）直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,CC 1 ⊥底面 ABC,又 AC  底面 ABC 故 AC⊥CC 1 ,又因为 AC⊥BC,CC 1 ∩BC＝C CC 1 平面 BCC 1 B 1 ,BC 平面 BCC 1 B 1 所以,AC⊥平面 BCC 1 B 1 ,又因为 AC 平面 ACD 所以,平面 ACD⊥平面 BCC 1 B 1 ；（2）取 AC 中点 F,连结 EF,DF 因为 E,F 分别为 BC,AC 中点 所以,EF∥AB,EF＝12AB 三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,AB//A 1 B 1 ,AB＝A 1 B 1 又因为 D 为 A 1 B 1 中点,所以 B 1 D∥AB,B 1 D＝12AB 所以,EF∥B 1 D,EF＝B 1 D 因此,四边形 B 1 DFE 为平行四边形 所以 B 1 E//DF,又因为 DF 平面 ACD,B 1 E 平面 ACD 所以,B 1 E∥平面 ACD． 点评：

本题主要考查了根据线面垂直与平行的性质证明面面垂直以及线面垂直等,属于中档题.17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1cm，2cm 的两个同心圆的圆心，等腰△ABC 的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直线 BC 的同侧．若线段BC 与劣弧 BC 所围成的弓形面积为 S 1，△OAB 与△OAC 的面积之和为 S 2，设∠BOC＝2  ．

（1）当3  时，求 S 2 ﹣S 1 的值；（2）经研究发现当 S 2 ﹣S 1 的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos  的值．（求导参考公式：(sin2x)"＝2cos2x，(cos2x)"＝﹣2sin2x）答案：（1）5 34 3(2cm)；（2）1 52  依题意可得 2(0,)BOC     ，故(0,)2 ，1sin cos S     ，22sin S  ，（1）当3  时，代入计算可得；（2）由2 112sin sin22S S       ，(0,)2  令1()2sin sin22f       ，(0,)2 ，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值； 解：

过点 O 作 OD BC ^ 于点 D，则 D 为 BC 的中点，又 ABC 为等腰三角形，所以 A、O、D 三点共线，BOA AOC        2(0,)BOC     ，故(0,)2  11 12 1 1 sin2 sin cos2 2S OB OC             

 212 1 2sin 2sin2S         （1）3  时，133 4S ，23 S ，故2 15 34 3S S  ，答：当3  时，求2 1S S  的值为5 34 3(2cm)；（2）2 112sin sin22S S       ，(0,)2  令1()2sin sin22f       ，(0,)2  2()2cos 2cos 2 f        令()0 f  ，得1 5cos2 或1 5cos2 （舍去）记01 5cos2 ，0(0,)2    00,  0 0 ,2   ()f   ＋ 0 －()f  单调递增 极大值 单调递减 故0=  ，即1 5cos2 时，()f  最大，即2 1S S  的值最大，答：纪念章最美观时，cos  的值为1 52 ． 点评：

本题考查利用导数研究函数的最值，三角形面积公式的应用，属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2 22 21x ya b (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 的直线交椭圆于 M，N 两点．已知椭圆的短轴长为 2 2，离心率为63．

（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线 MN 的斜率为5 时，求1 1| | | | FM FN  的值；（3）若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(t，0)，求实数 t 的取值范围． 答案：（1）2 216 2x y （2）13 64（3）6[ 6,2 ]3t ．（1）设焦距 2c，由题得到关于 , , a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）先求出点 , M N 的坐标，再利用两点间的距离公式得解；（3）先讨论当直线 MN 斜率不存在时，623t  ；再讨论直线 MN 斜率存在的情况,联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再根据0 PM PN  得到2 22(6)(3 12 10)0tt t t    ，解不等式组综合即得解.解：

（1）设焦距 2c，2 2 2 22 2 2663bb a c aca    ，2 b ，故椭圆的标准方程为：2 216 2x y  ；（2）由（1）知，c＝2，则 F 2(2，0)2 295(2)43 6 54xy xx yy       或3252xy  即9 5 3 5(,),(,)4 4 2 2M N ，或9 5 3 5(,),(,)4 4 2 2N M ，因此，2 2 2 21 19 5 3 5 13 6| | | |(2)(0)(2)(0)4 4 2 2 4FM FN            ；（3）当直线 MN 斜率不存在时，MN：x＝2，| | MN ＝2 63，以 MN 为直径的圆方程为：2 22(2)3x y    , 其与 x 轴相交的右交点为(623，0)，即623t  ； 当 MN 的斜率存在时，设 MN：(2)y k x  ，M(1x，1y)，N(2x，2y)2 2 2 22 2(2)(3 1)12 12 6 03 6y k xk x k x kx y        ，所以224(1)k   ，21 22123 1kx xk ，21 2212 63 1kx xk，则221 2 1 2 1 2 1 222(2)(2)[ 2()4]3 1ky y k x k x k x x x xk        ，因为 P 在以 MN 为直径的圆上，则0 PM PN ，所以1 2 1 2()()0 x t x t y y     所以21 2 1 2 1 2()0 x x t x x t y y      所以2 2 222 2 212 6 12 203 1 3 1 3 1k k kt tk k k       所以2 2 2(3 12 10)6 t t k t    ，因为23 12 10 0 t t   ，所以22263 12 10tkt t .∵P 是右交点，故 t＞2，因此2 22(6)(3 12 10)0tt t t    ，解得6[ 6,2 ]3t ． 综合得6[ 6,2 ]3t .点评：

本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．已知  na 是各项均为正数的无穷数列，数列  nb 满足n n n kb a a (nN  )，其中常数 k 为正整数．（1）设数列  na 前 n 项的积(1)22n nnT，当 k＝2 时，求数列  nb 的通项公式；（2）若  na 是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且2 1b b  ＝4，求数列1nb   的前 2020 项的和；（3）若  nb 是等比数列，且对任意的 nN  ，22 n n k n ka a a  ，其中 k≥2，试问：

 na 是等比数列吗？请证明你的结论． 答案：（1）4 nnb = ；（2）202020202021S （3）数列  na 是等比数列．证明见解析（1）先求出12()nna n N  ，即得数列  nb 的通项公式；（2）通过分析得到 d＝1，得到na n ，再求出 k＝1，即得(1)nb n n  ，再利用裂项相消法求数列1nb   的前 2020 项的和；（3）设  nb 公比为 q 2，则对任意 nN  ，22kn k n k n kn n n kb a aqb a a   ，由已知得到kn knaqa，证明得到1 nnaqa，即得数列  na 是等比数列． 解：

（1）因为(1)22n nnT，所以(2)(1)212(2)n nnT n  ，两式相除，可得(1)(1)(2)122 2(2)n n n nnna n     ，当 n＝1 时，1 11 11 2 a T  ，符合上式，所以12()nna n N  ，当 k＝2 时，1 122 2 4n n nn n nb a a      ；（2）因为n n n kb a a ，且11 a ，所以1 1 1 1 k kb aa a  ，2 2 2 1(1)()k kb a a d a d    ，所以22 1 1(1)4kb b d d a    ，因为  na 是各项均为正数的无穷数列， na 是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，所以 d，k 均为正整数，所以 1 d ，所以1 21 2ka a d   ，所以2 21(1)4 3kd d a d d    ，解得 d≤1，所以 d＝1，即na n .所以21 1(1)4 2k kd d a a     ，即12ka，解得 k＝1，所以1(1)n n nb a a n n  ，则1 1 11nb n n ，记nb 的前 n 项和为nS，则1 1 1 1 1 1 1 11()()()12 2 3 3 4 1 1nSn n n           ，所以20201 202012021 2021S    ；（3）因为  nb 成等比数列，设公比为 q 2，则对任意 nN  ，22kn k n k n kn n n kb a aqb a a   ，因为 0na ，且22 n n k n ka a a  ，所以2 n k n kn n ka aa a ，所以kn knaqa，因为22 21 1 1 1 12()kn n n k n nkn n n k n nb a a a q aqb a a a q a        ，所以1 nnaqa，所以数列  na 是等比数列． 点评：

本题主要考查数列通项的求法，考查数列的求和问题，考查数列性质的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知函数ln()a xf xx，ln()xx ag xe，其中 e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 的极大值为1e，求实数 a 的值；

（2）当 a＝e 时，若曲线()y f x  与()y g x  在0x x  处的切线互相垂直，求0x 的值；（3）设函数()()()h x g x f x  ，若()h x ＞0 对任意的 x (0，1)恒成立，求实数 a 的取值范围． 答案：（1）a＝1；（2）01 x  ；（3）[1e，)．（1）利用导数求出()f x 的极大值1()af ee e ，即得 a 的值；（2）由0 0()()1 f x g x     得到00 0lnxx e e x e  ，设()lnxx xe e x   ，根据函数的单调性和(1)e   得到01 x  ；（3）由题得ln()lnxxae xae x 对任意 x (0，1)恒成立，设ln()xH xx，得到xae x 对任意 x (0，1)恒成立，即xxae，设()xxG xe，x (0，1)，求出()G x 的最大值得解.解：

（1）因为ln()a xf xx，则2(1 ln)()a xf xx ，因为ln()xx ag xe，所以 a＞0，则当 x (0，e)时，()0 f x ，()f x 单调递增，当 x (e，)时，()0 f x ，()f x 单调递减，所以当 x＝e 时，()f x 的极大值1()af ee e ，解得 a＝1；（2）当 a＝e 时，ln()e xf xx，1()xxg xe，则2(1 ln)()e xf xx ，()e xxg x ，由题意知，00 00 020(1 ln)()()1xe x xf x g xx e       ，整理得00 0lnxx e e x e  ，设()lnxx xe e x   ，则()(1)0xex x ex     ，所以()x  单调递增，因为(1)e  ，所以01 x  ；（3）由题意可知，ln ln()0xx a a xh xe x   对任意 x (0，1)恒成立，整理得ln()lnxxae xae x 对任意 x (0，1)恒成立，设ln()xH xx，由（1）可知，()H x 在(0，1)上单调递增，且当 x (1，)时，()0 H x ，当 x (0，1)时，()0 H x ，若 1xae x  ，则()0()xH ae H x  ，若 0 1xae  ，因为()()xH ae H x ，且()H x 在(0，1)上单调递增，所以xae x ，综上可知，xae x 对任意 x (0，1)恒成立，即xxae，设()xxG xe，x (0，1)，则1()0xxG xe  ，所以()G x 单调递增，所以1()(1)G x G ae  ，即 a 的取值范围为[1e，)． 点评：

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知 m R ，11    是矩阵12 1Mm   的一个特征向量，求 M 的逆矩阵1M  ． 答案：11 23 3M2 13 3      ． 根据特征向量定义及矩阵乘法运算，先求得矩阵 M ；设矩阵 M 的逆矩阵1Ma bc d   ，由矩阵乘法运算可得方程组，解方程组即可确定 M 的逆矩阵1M  ． 解：

设11    是属于特征值 n 的一个特征向量，则 M n   =，因为1 1 12 1 1 3m mM               ，11nn nn          ，所以 1 3 m n   ，解得 2 m ，所以矩阵1 22 1   M，设矩阵 M 的逆矩阵1Ma bc d   ，则11 22 12 2 1 0M2 2 0 1a b a c b dc d a c b dM                       所以2 12 02 02 1a cb da cb d     ，解得13232313abcd   ，所以11 23 3M2 13 3      ． 点评：

本题考查了矩阵特征向量的应用，逆矩阵的求法，属于中档题.22．在极坐标系中，圆 C 的方程为  2 sin 0 r r    .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为31 3x ty t   （t 为参数）．若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求 r的取值范围． 答案：

  2, 将圆的极坐标方程化为普通方程，确定圆心和半径，并将直线 l 的方程化为一般方程，利用圆心到直线 l 的距离不大于 r 可得出关于 r 的不等式，进而可求得正数 r 的取值范围.解：

因为圆 C 的极坐标方程为 2 sin r   ，所以22 sin r    ，因为2 2 2x y   ，sin y   ，所以2 22 x y ry  ，整理得  22 2x y r r   ，即圆 C 是圆心为   0,r，半径为 r 的圆，因为直线 l 的参数方程为31 3x ty t   ，消去 t 得 3 2 0 x y   ，所以，直线 l 的普通方程为 3 2 0 x y   ，因为直线 l 和圆 C 有公共点，所以圆心 C 到直线 l 的距离2 22 3 1r rd r    ，解得 2 r ，因此，r 的取值范围是   2,.点评：

本题考查利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，同时也考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，考查计算能力，属于中等题.23．已知 1 x ，1 y ，且 4 x y  ，求证：2 281 1y xx y  ． 答案：证明见解析 设 1 x m  ，1 y n  ，可得出 2 m n  ，然后利用基本不等式可证得2 281 1y xx y  .解：

设 1 x m  ，1 y n  ，因为 1 x ，1 y ，所以 0 m ，0 n ，且 2 2 m n x y     ，       2 22 22 22 21 1 4 42 16 81 1n mn m y x n mx y m n m n m n           .当且仅当 1 m n  ，即 2 x y   时，上述等号成立，原命题得证． 点评：

本题考查利用基本不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行化简变形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥匙（其中有且只有 1 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望   E X ；（2）求恰好成功打开 4 扇门的概率． 答案：（1）见解析，  3 E X  ；（2）80243．（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1、2、3、4，计算出随机变量 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的概率分布列，利用数学期望公式可求得   E X ；

（2）计算出每扇门被打开的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.解：

（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1、2、3、4，则  116P X  ， 5 1 126 5 6P X    ， 5 4 1 136 5 4 6P X     ， 5 4 3 1 5 4 3 2 146 5 4 3 6 5 4 3 2P X          ，所以随机变量 X 的分布列为：

X 1 2 3 4 P 16 16 16 12 所以随机变量的数学期望  1 1 1 11 2 3 4 36 6 6 2E X          ；（2）由（1）可知，每扇门被打开的概率为5 4 3 2 216 5 4 3 3P      ，设恰好成功打开四扇门为事件 A，则 4452 1 803 3 243P A C     ． 点评：

本题考查随机变量及其分布列以及数学期望的计算，同时也考查了独立重复试验概率的计算，考查计算能力，属于中等题.25．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线  22 0 y px p   的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 E ．过点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，EA、EB 分别与 y 轴相交于 M、N 两点，当 AB x  轴时，2 EA  ．（1）求抛物线的方程；（2）设 EAB 的面积为1S，EMN 面积为2S，求12SS的取值范围．

答案：（1）22 2 y x  ；（2） 4, ．（1）当 AB x  轴时，求出 AF，利用勾股定理可求得正数 p 的值，进而可得出抛物线的标准方程；（2）设直线 AB 的方程为22x my  ，设点  1 1, A x y、 2 2, B x y，求出点 M、N 的坐标，进而可求得1S、2S 关于 m 的表达式，可得出12SS关于 m 的表达式，利用不等式的基本性质可求得12SS的取值范围.解：

（1）当 AB x  轴时，直线 AB 的方程为2px ，联立222pxy px，可得 y p ，则 AF p ，且 EF p ，2 22 2 EA AF EF p     ，解得 2 p，因此，抛物线的标准方程为22 2 y x  ；（2）设直线 AB 的方程为22x my  ，由22 222y xx my ，得22 2 2 0 y my   ，设点  1 1, A x y、 2 2, B x y，所以1 22 2 y y m  ，1 22 y y ，直线 AE 方程为1122 22yy xx     ，令 0 x ，得1 1112 22 22 22My yymyx ，同理2 2222 22 22 22Ny yymyx ，所以   1 21 21 21 22 2 22 2 2 22 2M Ny y y yy ymy my my my      

  1 21 22 2y ymy my  其中     2 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 2 2 4 2 2 2 my my m y y m y y m m m            ，则1 2212124 4 412M NEF y ySmSEO y y   ，当 0 m  时等号成立，因此12SS的取值范围为   4, ． 点评：

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积比的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.

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