2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（三）

2021 年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（三）1．如图，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，G 是 上一动点，AG，DC 的延长线交于点 F，连接 AC，AD，GC，GD ．（1）求证：∠ FGC ＝∠ AGD ；（2）若 AD ＝6． ①当 AC ⊥ DG，CG ＝2 时，求 sin∠ ADG ； ②当四边形 ADCG 面积最大时，求 CF 的长． 2．定义：如果一个三角形中有两个内角 α，β 满足 α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ ABC 是“近直角三角形”，∠ B ＞90°，∠ C ＝50°，则∠ A ＝ 度；（2）如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若 BD 是∠ ABC 的平分线，①求证：△ BDC 是“近直角三角形”； ②在边 AC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出 CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，点 D 为 AC 边上一点，以 BD 为直径的圆交BC 于点 E，连结 AE 交 BD 于点 F，若△ BCD 为“近直角三角形”，且 AB ＝5，AF ＝3，求tan∠ C 的值．

3．如图 1，△ ABD 内接于⊙ O，AD 是直径，∠ BAD 的平分线交 BD 于 H，交⊙ O 于点 C，连接DC 并延长，交 AB 的延长线于点 E，（1）求证：

AE ＝ AD ；（2）若 ＝，求 的值；（3）如图 2，连接 CB 并延长，交 DA 的延长线于点 F，若 AH ＝ HC，AF ＝6，求△ BEC 的面积．

4．如图，以 AB 为直径作半圆 O，点 C 是半圆弧的中点，点 P 是 上的一个动点（点 P 不与点 A、C 重合），BP 交 AC 于点 E，延长 AP、BC 交于点 D，过点 C 作 CF ⊥ DE，垂足为 F ．（1）求证：

CF 是⊙ O 的切线；（2）若⊙ O 的半径为 1，当点 P 运动到 的三等分点时，求 AE 的长． 5．如图，AB 是⊙ O 的直径，D 是 的中点，DE ⊥ AB 于 E，交 CB 于点 F ．过点 D 作 BC 的平行线 DM，连接 AC 并延长与 DM 相交于点 G ．（1）求证：

GD 是⊙ O 的切线；（2）求证：

GD 2 ＝ GC • AG ；（3）若 CD ＝6，AD ＝8，求 cos∠ ABC 的值．

6．如图，⊙ O 过▱ ABCD 的三顶点 A、D、C，边 AB 与⊙ O 相切于点 A，边 BC 与⊙ O 相交于点 H，射线 AP 交边 CD 于点 E，交⊙ O 于点 F，点 P 在射线 AO 上，且∠ PCD ＝2∠ DAF ．（1）求证：△ ABH 是等腰三角形；（2）求证：直线 PC 是⊙ O 的切线；（3）若 AB ＝2，AD ＝，求⊙ O 的半径． 7．如图①，在平面直角坐标系中，直径为 2 的⊙ A 经过坐标系原点 O（0，0），与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C（0，）．（1）求点 B 的坐标；（2）如图②，过点 B 作⊙ A 的切线交直线 OA 于点 P，求点 P 的坐标；（3）过点 P 作⊙ A 的另一条切线 PE，请直接写出切点 E 的坐标．

8．如图，在△ ABC 中，以 AB 为直径的⊙ O，交 BC 于点 D，且 BD ＝ CD，交直线 AC 于点 E，连接 BE ．（1）如图 1，求证：∠ CAB ＝2∠ CBE ；（2）如图 2，过 D 作 DF ⊥ AB 于 F，求证：

BE ＝2 DF ；（3）如图 3，在（2）的条件下，在∠ BDF 的内部作∠ BDM，使∠ BDM ＝∠ ABE，DM 分别交AB、BE 于点 N、G，交⊙ O 于点 M，若 DF ＝ BN ＝2，求 MG 的长． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，OA 比 OC 大 2，点 E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的⊙ O ′交 x 轴于点 D，过 D 作 DF ⊥ EA ．交 AE 于点 F ．（1）求 OA、OC 的长及点 O ′的坐标；（2）求证：

DF 为⊙ O ′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△ AOE 是等腰三角形，由此他断定“直线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使△ AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在⊙ O ′外”．你同意他的看法吗？请说明理由．

10．如图，直径为 10 的⊙ O 经过原点 O，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，线段 OA、OB（OA ＞ OB）的长分别是方程 x 2 + kx +48＝0 的两根．（1）求线段 OA、OB 的长；（2）已知点 C 在劣弧 OA 上，连结 BC 交 OA 于 D，当 OC 2 ＝ CD • CB 时，求 C 点的坐标；（3）在⊙ O 上是否存在点 P，使 S △ POD ＝ S △ ABD ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案 1．证明：（1）∵ AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB，∴ CE ＝ DE，CD ⊥ AB，∴ AC ＝ AD，∴∠ ADC ＝∠ ACD，∵四边形 ADCG 是圆内接四边形，∴∠ ADC ＝∠ FGC，∵∠ AGD ＝∠ ACD，∴∠ FGC ＝∠ ADC ＝∠ ACD ＝∠ AGD，∴∠ FGC ＝∠ AGD ；（2）如图，设 AC 与 GD 交于点 M，∵，∴∠ GCM ＝∠ ADM，又∵∠ GMC ＝∠ AMD，∴△ GMC ∽△ AMD，∴ ＝ ＝ ＝，设 CM ＝ x，则 DM ＝3 x，由（1）知，AC ＝ AD，∴ AC ＝6，AM ＝6﹣ x，在 Rt△ AMD 中，AM 2 + DM 2 ＝ AD 2，∴（6﹣ x）2 +（3 x）2 ＝6 2，解得，x 1 ＝0（舍去），x 2 ＝，∴ AM ＝6﹣ ＝，∴sin∠ ADG ＝ ＝ ＝ ；

（3）S 四边形 ADCG ＝ S △ ADC + S △ ACG，∵点 G 是 上一动点，∴当点 G 在 的中点时，△ ACG 的的底边 AC 上的高最大，此时△ ACG 的面积最大，四边形 ADCG 的面积也最大，∴ GA ＝ GC，∴∠ GAC ＝∠ GCA，∵∠ GCD ＝∠ F +∠ FGC，由（1）知，∠ FGC ＝∠ ACD，且∠ GCD ＝∠ ACD +∠ GCA，∴∠ F ＝∠ GCA，∴∠ F ＝∠ GAC，∴ FC ＝ AC ＝6． 2．解：（1）∠ B 不可能是 α 或 β，当∠ A ＝α 时，∠ C ＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立； 故∠ A ＝β，∠ C ＝α，α+2β＝90°，则 β＝20°，故答案为 20；

（2）①如图 1，设∠＝ ABD ∠ DBC ＝β，∠ C ＝α，则 α+2β＝90°，故△ BDC 是“近直角三角形”； ②存在，理由：

在边 AC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ BCE 是“近直角三角形”，AB ＝3，AC ＝4，则 BC ＝5，则∠ ABE ＝∠ C，则△ ABC ∽△ AEB，即，即，解得：

AE ＝，则 CE ＝4﹣ ＝ ；（3）①如图 2 所示，当∠ ABD ＝∠ DBC ＝β 时，则 AE ⊥ BF，则 AF ＝ FE ＝3，则 AE ＝6，AB ＝ BE ＝5，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H，设 BH ＝ x，则 HE ＝5﹣ x，则 AH 2 ＝ AE 2 ﹣ HE 2 ＝ AB 2 ﹣ HB 2，即 5 2 ﹣ x 2 ＝6 2 ﹣（5﹣ x）2，解得：

x ＝ ； cos∠ ABE ＝ ＝ ＝cos2β，则 tan2β＝，则 tanα＝ ； ②如图 3 所示，当∠ ABD ＝∠ C ＝β 时，过点 A 作 AH ⊥ BE 交 BE 于点 H，交 BD 于点 G，则点 G 是圆的圆心（BE 的中垂线与直径的交点），∵∠ AEB ＝∠ DAE +∠ C ＝α+β＝∠ ABC，故 AE ＝ AB ＝5，则 EF ＝ AE ﹣ AF ＝5﹣3＝2，∵ DE ⊥ BC，AH ⊥ BC，∴ ED ∥ AH，则 AF ：

EF ＝ AG ：

DE ＝3：2，则 DE ＝2 k，则 AG ＝3 k ＝ R（圆的半径）＝ BG，点 H 是 BE 的中点，则 GH ＝ DE ＝ k，在△ BGH 中，BH ＝ ＝2 k，在△ ABH 中，AB ＝5，BH ＝2 k，AH ＝ AG + HG ＝4 k，∵∠ C +∠ ABC ＝90°，∠ ABC +∠ BAH ＝90°，∴∠ C ＝∠ BAH，∴tan C ＝tan∠ BAH ＝ ＝ ＝，综上，tan C 的值为 或 ． 3．解：（1）∵ AD 是直径，∴∠ ACD ＝90°，即 AC ⊥ ED，AC 是∠ BAD 的平分线，故 AE ＝ AD ；（2）＝，则设 BE ＝3 a，AB ＝2 a，AD ＝ AE ＝5 a，O 交 BD 于点 G，∵ AC 是∠ BAD 的平分线，则，则 OC ⊥ BD，故 OC ∥ AB，则 OC 是△ ADE 的中位线，则 OG ＝ AB ＝ a，OC ＝ AD ＝，则 CG ＝ OC ﹣ OG ＝，∵ CG ∥ AB，则 ＝ ；（3）设：

OG ＝ m，则 AB ＝2 m，当 AH ＝ HC 时，由（2）知，△ AHB ≌△ CHG（AAS），则 AB ＝ CG ＝2 m，则 OC ＝3 m，即圆的半径为 3 m，∵ AB ∥ CO，则，即，解得：

m ＝1，故 AB ＝2，AD ＝6，BE ＝4，则 BD ＝ ＝4，∵ EC ＝ DC，则△ BEC 的面积＝ S △ EBD ＝ × BE × BD ＝ ×4×4 ＝4 ． 4．证明：（1）如图 1，连接 OC，∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ APB ＝∠ ACB ＝90°，∴∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，∵ C 是半圆弧的中点，∴，∴ AC ＝ BC，且∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，∠ DAC ＝∠ CBE，∴△ ACD ≌△ BCE（ASA），∴ CD ＝ CE，又∵ CF ⊥ DE，∴ CF平分∠ ACD，∴，∵ AC ＝ BC，O 为 AB 的中点，∴ CO平分∠ ACB，∴，∴∠ OCF ＝∠ ACO +∠ ACF ＝90°，∴ CF ⊥ OC，∴ CF 为⊙ O 的切线；（2）∵⊙ O 的半径为 1，∴ AB ＝2，又∵∠ ACB ＝90°，AC ＝ BC，∴∠ CAB ＝∠ CBA ＝45°，∴ AC ＝ BC ＝，当 ＝ 时，∴∠ PBA ＝15°，∴∠ PBC ＝30°，且∠ ACB ＝90°，∴ EC ＝，∴ AE ＝ AC ﹣ EC ＝ ﹣，当 ＝，如图 2，过点 E 作 EH ⊥ AB 于点 H，∵ ＝，∴∠ ABP ＝30°，∴∠ ABP ＝30°，∴ BH ＝ EH，∵∠ CAB ＝45°，EH ⊥ AB，∴∠ AEH ＝∠ EAH ＝45°，∴ AH ＝ EH，AE ＝ EH，∵ AB ＝ AH + BH ＝ EH + EH ＝2，∴ EH ＝ ﹣1，∴ AE ＝ ﹣ 综上所述：

AE ＝ ﹣ 或 ﹣ ． 5．（1）证明：连接 OD，如图所示：

∵ D 是 的中点，∴ OD ⊥ BC，OD平分 BC，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°，即 AG ⊥ BC，∵ DM ∥ BC，∴ DM ⊥ OD，∴ GD 是⊙ O 的切线；（2）证明：∵ GD 是⊙ O 的切线，AG 是⊙ O 的割线，∴ GD 2 ＝ GC • AG ；（3）解：∵ D 是 的中点，∴ BD ＝ CD ＝6，∴ BN ＝ BC，AB ＝ ＝ ＝10，∵∠ DCH ＝∠ BAH，∠ CHD ＝∠ AHB，∴△ CDH ∽△ ABH，∴ ＝ ＝，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝∠ ADB ＝90°，∵，∴，∴ BH ＝ BD ＝ ×6＝，∴ DH ＝ BH ＝，∴ AH ＝ AD ﹣ DH ＝8﹣ ＝，∴ CH ＝ AH ＝，∴ BC ＝ BH + CH ＝ + ＝，∴cos∠ ABC ＝ ＝ ＝ ．

6．（1）证明：∵四边形 ADCH 是圆内接四边形，∴∠ ADC +∠ AHC ＝180°，又∵∠ AHC +∠ AHB ＝180°，∴∠ ADC ＝∠ AHB，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ ADC ＝∠ B，∴∠ AHB ＝∠ B，∴ AB ＝ AH，∴△ ABH 是等腰三角形；（2）证明：连接 OC，如右图所示，∵边 AB 与⊙ O 相切于点 A，∴ BA ⊥ AF，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD，∴ CD ⊥ AF，又∵ FA 经过圆心 O，∴，∠ OEC ＝90°，∴∠ COF ＝2∠ DAF，又∵∠ PCD ＝2∠ DAF，∴∠ COF ＝∠ PCD，∵∠ COF +∠ OCE ＝90°，∴∠ PCD +∠ OCE ＝90°，即∠ OCP ＝90°，∴直线 PC 是⊙ O 的切线；（3）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DC ＝ AB ＝2，∵ FA ⊥ CD，∴ DE ＝ CE ＝1，∵∠ AED ＝90°，AD ＝，DE ＝1，∴ AE ＝，设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝ OD ＝ r，OE ＝ AE ﹣ OA ＝4﹣ r，∵∠ OED ＝90°，DE ＝1，∴ r 2 ＝（4﹣ r）2 +1 2 解得，r ＝，即⊙ O 的半径是 ． 7．解：（1）如图①，连接 BC，∵∠ BOC ＝90°，∴ BC 是⊙ A 的直径，∴，∵，∴ ． ∴ OB ＝ ＝3，∴ B（3，0）；（2）如图②，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D，∵ PB 为⊙ A 的切线，∴ ． ∴∠ OBC ＝30°，∴∠ AOB ＝30°． ∴∠ OPB ＝180°﹣∠ POB ﹣∠ ABO ﹣∠ ABP ＝30°． ∴ OB ＝ BP ＝3，在 Rt△ PBD 中，∠ PDB ＝90°，∠ PBD ＝60°，BP ＝3，∴，． ∵ OB ＝3，∴ ． ∴ ；（3）由（2）得，∠ OPB ＝30°，∵ PE、PB 是⊙ A 的切线，∴∠ EPA ＝∠ OPB ＝30°，∴∠ EPB ＝60°，又∠ PBD ＝60°，∴ PE ∥ OD，∴ ．

8．（1）证明：连接 AD ∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝90°，∴ AD ⊥ BC，又∵ BD ＝ CD，∴ AD 垂直平分 BC，AB ＝ AC，∴ AD平分∠ BAC，∴∠ CAB ＝2∠ CAD，∵∠ CAD ＝∠ CBE，∴∠ CAB ＝2∠ CBE，（2）证明：延长 DF 交⊙ O 于 K，连接 DE，∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝90°，∵ BD ＝ CD，∴ DE ＝ BC，∴ DE ＝ BD ＝ CD，∴ DE ＝ DB，∵ AB ⊥ DK，且 AB 为⊙ O 的直径，∴ DF ＝ FK，BK ＝ BD，∴ DK ＝2 DF，BK ＝ DE，∴ BK + EK ＝ DE + EK，∴ DK ＝ BE，∴ DK ＝ BE，∴ BE ＝2 DF，（3）解：连接 AD，连接 ED，∵ BE ＝2 DF，DF ＝2，∴ BE ＝4，∵ BN ＝2，∴ BN ＝，∵∠ BDM ＝∠ ABE ∠ ADE ＝∠ ABE，∴∠ ADE ＝∠ BDM，在△ DAE 与△ DNB 中，∴△ DAE ≌△ DNB，∴ AE ＝ NB ＝，在 Rt△ AEB 中，AB ＝ ＝3，tan∠ ABE ＝ ＝，∴ AC ＝ AB ＝3，tan∠ BDG ＝，∴ CE ＝ AC + AE ＝4，在 Rt△ CEB 中，tan∠ CBE ＝ ＝，过 G 作 GH ⊥ BD 于 H，则在 Rt△ GHD 中，tan∠ GDH ＝ ＝，设 GH ＝ a，DH ＝4 a，∴在 Rt△ GHB 中，tan∠ GBH ＝ ＝ ＝，∴ BH ＝ a，∴ BD ＝ BH + DH ＝ a +4 a ＝6，∴ a ＝，∴ DH ＝，GH ＝，在 Rt△ DHG 中，DG ＝ ＝ ＝，连接 BM，∵ DB ＝ DE，∴∠ DEB ＝∠ DBE，∵∠ DEB ＝∠ M，∴∠ DBG ＝∠ M，∵∠ GDB ＝∠ BDM，∴△ GDB ∽△ BDM，∴，即，∴ DM ＝5，∴ MG ＝ DM ﹣ DG ＝ ．

9．（1）解：在矩形 OABC 中，设 OC ＝ x，则 OA ＝ x +2 ∴ x（x +2）＝15 ∴ x 1 ＝3，x 2 ＝﹣5 ∵ x 2 ＝﹣5（不合题意，舍去）∴ OC ＝3，OA ＝5； ∵点 E 为 BC 的中点，∴ EC ＝，∵ O ′是 OE 的中点，∴ O ′（，）；（2）证明：如图，连接 O ′ D ； 在△ OCE 和△ ABE 中，∵，∴△ OCE ≌△ ABE（SAS），∴ EA ＝ EO，∴∠1＝∠2； ∵在⊙ O ′中，O ′ O ＝ O ′ D，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴ O ′ D ∥ AE ； ∵ DF ⊥ AE，∴ DF ⊥ O ′ D，∵点 D 在⊙ O ′上，O ′ D 为⊙ O ′的半径，∴ DF 为⊙ O ′切线；（3）解：不同意．理由如下：

①当 AO ＝ AP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧交 BC 于 P 1 和 P 4 两点

过 P 1 点作 P 1 H ⊥ OA 于点 H，P 1 H ＝ OC ＝3； ∵ AP l ＝ OA ＝5，∴ AH ＝4，∴ OH ＝ l，则点 P 1（1，3），同理可得：

P 4（9，3）； ②当 OA ＝ OP 时，同上可求得 P 2（4，3），P 3（﹣4，3），故在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在⊙ O ′内的点 P 1，又存在⊙ O ′外的点 P 2、P 3、P 4，它们分别使△ AOP 为等腰三角形． 10．解：（1）连接 AB，∵∠ BOA ＝90°，∴ AB 为直径，根与系数关系得 OA + OB ＝﹣ k，OA × OB ＝48； 根据勾股定理，得 OA 2 + OB 2 ＝100，即（OA + OB）2 ﹣2 OA × OB ＝100，解得：

k 2 ＝196，∴ k ＝±14（正值舍去）． 则有方程 x 2 ﹣14 x +48＝0，解得：

x ＝6 或 8． 又∵ OA ＞ OB，∴ OA ＝8，OB ＝6；（2）若 OC 2 ＝ CD × CB，则△ OCB ∽△ DCO，∴∠ COD ＝∠ CBO，又∵∠ COD ＝∠ CBA，∴∠ CBO ＝∠ CBA，所以点 C 是弧 OA 的中点． 连接 O ′ C 交 OA 于点 D，根据垂径定理的推论，得 O ′ C ⊥ OA，根据垂径定理，得 OD ＝4，根据勾股定理，得 O ′ D ＝3，故 CD ＝2，即 C（4，﹣2）；（3）设直线 BC 的解析式是 y ＝ kx + b，把 B（0，6），C（4，﹣2）代入得：，解得：

． 则直线 BC 的解析式是：

y ＝﹣2 x +6，令 y ＝0，解得：

x ＝3，则 OD ＝3，AD ＝8﹣3＝5，故 S △ ABD ＝ ×5×6＝15． 若 S △ ABD ＝ S △ OBD，P 到 x 轴的距离是 h，则 ×3 h ＝15，解得：

h ＝10． 而⊙ O ′的直径是 10，因而 P 不能在⊙ O ′上，故 P 不存在．

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