中学数学,压三个题目,（含解析）

作者：宇仟超 | 发布时间：2020-11-23 06:39:15 收藏本文下载本文

压 2020 年高考三个题目 1．如图几何体 ABCDEF 中，等边三角形 ADE 所在平面垂直于矩形 ABCD 所在平面，又知 2 AB，EF // , 1 AB EF .（1）若 ED 的中点为 M，N 在线段 AB 上，MN //平面 BCF，求 BN ；（2）若平面 ABFE 与平面 BCF 所成二面角  的余弦值为77，求直线 AE 与平面BCF 所成角  的正弦值；（3）若 AD 中点为 O，2 33AD ，求 O 在平面 BCF上的正投影． 2．已知函数  sin , 0ln , 0a x xf xx x   ，其中 a 是实数，设   1 1, x f x ，   2 2, x f x  为该函数图象上的两点，且1 2x x  ．（1）若函数   f x 的图象在点 ， 处的切线互相垂直，且20 x ，求2 1x x  的取值范围；（2）若     ,0 0, x     时，  f x 的图象在点 ， 处的切线重合，求 a 的取值范围． 3．已知函数  3 21 2133 2xa bf x x x x x          ，（, ab R  且 0 a ）.（1）当1 21, 0     时，若已知1 2, x x 是函数   f x 的两个极值点，且满足：1 21 2 x x   ，求证：

  1 3 f   ；（2）当1 20, 1     时，①求实数       3 1 ln3 0 y f x x x     的最小值；②对于任意正实数 , , a b c，当 3 a b c    时，求证：

3 3 3 9a b ca b c      .1．（1）32BN  ；（2）217；（3）O 在平面 BCF 上的正投影为 F.【解析】【分析】（1）设 CF 的中点 W，可得, , , M W B N 四点共面，从而可证得// MN BW，即得 BN MW ，即可得解；（2）设 AD 的中点为 O，可证得 OA OG OE、、两两垂直，设 2 AD t ，分别以 OA OG OE、、为 xy z、、轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角列方程可得 t，从而再利用空间向量建立线面角的公式求解即可；（3）由 BC 平面 OGFE，可证得 OF BC ，再通过勾股定理在 OFG  中，可证得 OF FG ，进而可找到O 在平面 BCF 上的正投影为 F.【详解】(1)设 CF 的中点 W，连接 , , MW MN BW，因为 // // MW CD AB；所以 , , , M W B N 四点共面，又因为 // MN平面 BCF，MN  面 MWBN，平面 BCF平面 MWBN BW  所以 // MN BW；所以3=2 2EF CDBN MW .(2)设 AD 的中点为 O，BC 的中点为 G，连接 OG ；因为 ADE  为等边三角形，所以 EO AD  又因为平面 ADE 平面 ABCD，平面 ADE平面 ABCD AD ，所以 EO 面 ABCD 设 2 AD t ，分别以 OA OG OE、、为 xy z、、轴建立空间直角坐标系，则   ,0,0 A t， 0,0, 3 E t，  ,2,0 B t，  ,2,0 C t ， 0,1, 3 F t 则   ,0, 3 AE t t  ，  0,2,0 AB  设   , , m x y z  为平面 ABFE 的法向量，则0 m AE  ，0 m AB  ；得 3 0 ty tx  ，0 y ，所以   3,0, m t .同理得平面 BCF 的法向量   0, 3 ,1 n t  所以21 772 1 3m ncosm nt  ，12t ，所以 1 AD 又因为1 3,0,2 2AE     ，所以217AE nsinAE n (3)由(2)知易证：

BC 平面 OGFE，所以 OF BC  又因为2 33AD ，所以2 3 313 2OE    又因为在 OFG  中，2 OG ，2 22 OF OE EF   ，1 1 2 FG   ，所以 OF FG ，所以 OF 平面 BCF，所以 O 在平面 BCF 上的正投影为 F.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.试题解析：（1）设  点处的切线斜率为1k， 点处的切线斜率为2k，则1 21 k k   不妨设20 k ，10 k ，因为 cos , 01, 0x xf xxx   ，20 x ，2210 kx ，1 1cos 0 k x  

132 ,22 2x k k       （k，0 k ）依题意，121cos 1 xx   得2 1cos x x   所以2 1 1 1cos x x x x    ，132 ,22 2x k k       （k，0 k ）令  1 2 1 1 1L cos x x x x x    ，132 ,22 2x k k       （k，0 k ）求导可得， 1 1L sin 1 0 x x    ，所以  1L x 在32 ,22 2k k      （k，0 k ）上单调递减 L 2 22 2k k        ，3 3L 2 22 2k k        （k，0 k ）所以2 1x x  的取值范围是32 , 22 2k k        （k，0 k ）…………5 分（2）设  点处的切线斜率为1k， 点处的切线斜率为2k， 处的切线为1l， 处的切线为2l 若1x，2x 均大于 0，则1 21 1x x，1 2x x  矛盾；同理1x，2x 不能均小于 0 又1 2x x ，10 x  且20 x ，由 cos , 01, 0x xf xxx   ，则1 1cos k x ，221kx 那么1l 的方程为：1 1 1 1cos cos sin y x x x x a x     2l 的方程为：2211 ln y x xx   依题意，122 1 1 11cos 01 ln cos sinxxx x x a x       而     ,0 0, x    ，则1,02x      所以  1 1 1 11 ln cos cos sin a x x x x    ，1,02x     

令    1 1 1 1 11 ln cos cos sin x x x x x     ，1,02x       11 1 1 1 11 1sin 1sin sin 0cos cosxx x x x xx x          所以    1 1 1 1 11 ln cos cos sin x x x x x      在 ,02    上单调递减而   0 1  ， 1cos 0,1 x ，则  1x  的值域为   1,   所以 a 的取值范围是   1,   考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的性质．等，属于常考题型.3．（1）详见解析（2）① 3ln3  ②详见解析【解析】试题分析：（1）先求导数    21 1 f x ax b x     ，再根据一元二次方程实根分布得  1 0{2 0ff即得可行域0{ 42 1 0a ba b   ，而   1 2 f a b   ，可根据线性规划求最小值，也可利用不等式等量代换求最小值，即以算代证（2）①利用导数求函数最值，先求导数     3 ln 1 3 ln3 1xy x x     ，再确定导函数零点 1 x，最后列表分析最值取法②分析要证结论与已知结论关系是解决本题的关键：由①知：

  3 3 1 ln3 3ln3xx x    ，当 x 分别取 , , a b c 时有       3 3 1 ln3 3ln3, 3 3 1 ln3 3ln3, 3 3 1 ln3 3ln3a b ca a b b c c            ，又 3 a b c   ，所以三式相加即得 3 3 3 9a b ca b c       试题解析：（1）当1 21, 0     时，     3 2 21, 1 13 2a bf x x x x f x ax b x       ，已知1 2, x x 是函数   y f x  两个极值点，则1 2, x x 是方程   0 f x   的两根点由1 20, 1 2 a x x    ，∴  1 0{2 0ff，即0{ 42 1 0a ba b   ，      1 2 3 4 2 1 3 3 f a b a b a b           

或线性规划可得   1 3 f  .（2）①当1 20, 1     时，  3 x f x x  ，得   3 3 1 ln3xy x x    ，则：

    3 ln 1 3 ln3 1xy x x      令：

      3 ln3 1 3 ln3 1xg x x    ，    0, 0 g x x   ，所以xy 是   0, 增函数，且 1 x 是它的一个零点，也是唯一的一个零点，所以：当 0 1 x   时，0 y，当 1 x 时，0 y ，∴当 1 x 时， 3 3 1 ln3xy x x     有最小值为 3ln3  ②由①知：

  3 3 1 ln3 3ln3xx x    ，当 x 分别取 , , a b c 时有       3 3 1 ln3 3ln3, 3 3 1 ln3 3ln3, 3 3 1 ln3 3ln3a b ca a b b c c            ，又 3 a b c   ，所以三式相加即得 3 3 3 9a b ca b c       考点：函数极值，利用导数求函数最值，利用导数证不等式【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a 恒成立，只需 f（x）min≥a 即可；f（x）≤a 恒成立，只需 f（x）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.